복잡한 임피던스

복잡한 임피던스를 갖는 것은 무엇을 의미합니까?

예를 들어 (Laplace 도메인에서) 커패시터의 임피던스는 1 / sC (I 믿습니다)로 주어집니다. 이는 과도 특성이있는 와 같습니다. 소홀히. 임피던스가 상상된다는 것은 무엇을 의미합니까?$\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$

저는 현재 2 년제 대학에서 전기 공학을 공부하고 있습니다. 가능하다면 연구 자료 (웹 및 종이 자료)를 참조하여 문제가되지 않으면 수학적으로 타당하고 철저한 답변을 부탁드립니다.

미리 감사드립니다.

TL; DR 임피던스의 허수 부분은 임피던스의 반응성 성분을 나타냅니다. 이것은 전류와 전압의 위상차와 회로에서 사용하는 무효 전력의 차이에 대한 책임이 있습니다.

기본 원리는 모든주기적인 신호를 동일한 간격의 주파수를 갖는 고조파라고하는 (때로는) 무한 사인파의 합으로 취급 할 수 있다는 것입니다. 그들 각각은 자체 신호로 개별적으로 취급 될 수 있습니다.

이러한 신호에 대해 다음과 같은 표현을 사용합니다.

$$v(t) = V_{0} \cos (2 \pi f t + \phi) = \Re \{ V_{0}e^{j 2 \pi f t + \phi} \}$$

그리고 복소수 지수를 사용하여 회전을 나타낼 수 있기 때문에 복소수 영역에서 이미 점프 한 것을 알 수 있습니다.

따라서 임피던스는 활성 (저항) 또는 반응성 (반응) 일 수 있습니다. 정의에 의해 제 한 신호의 위상 (영향을주지 않지만 ) 리액턴스는 복소수를 사용하는 것이 가능하므로, 리액턴스에 의해 도입 된 위상의 변화를 평가하기 않는다.$\phi$

따라서 다음을 얻습니다.

$$V = I \cdot Z = I \cdot |Z| \cdot e^{j \theta}$$

여기서 | Z | 임피던스의 크기는 다음과 같습니다.

$$|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$$

쎄 타는 임피던스에 의해 도입 된 위상이며 다음과 같이 주어진다 :

$$\theta = \arctan \left( \frac{X}{R} \right)$$

이전 함수에 적용되면 다음과 같이됩니다.

$$v(t) = \Re \{ I_{0}|Z|e^{j 2 \pi f t + \phi + \theta } \} = I_{0} |Z| \cos (2 \pi f t + \phi + \theta )$$

이상적인 커패시터를 생각해 봅시다. 임피던스는 상상적이고 부정적인 ω C ; 삼각주의 둘레에 넣으면 -90 °의 위상을 얻습니다. 즉, 순전히 정전 용량 부하를 사용하면 전압이 전류보다 90 ° 뒤떨어집니다.$\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

왜?

두 개의 임피던스 100 Ohm과 50 + i50 Ohm (또는 복소수없이 ) 을 합산한다고 가정 해 봅시다 . 그런 다음 복소수를 사용하면 실수 부와 허수 부를 합하여 150 + i50 Ohm을 얻습니다.$70.7 \angle 45 ^\circ$

복소수를 사용하지 않으면 코사인과 사인을 사용할 수 있지만 (복수를 사용하는 것과 동일) 규모와 위상의 혼란에 빠질 수 있기 때문에 훨씬 더 복잡합니다. 그것은 당신에게 달려 있습니다 :).

이론

질문을 해결하려는 몇 가지 추가 개념 :

• 신호의 고조파 표현은 일반적으로 푸리에 시리즈 분해로 해결됩니다 .

$$v(t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n}e^{jnt} , \text{ where } c_{n} = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi} v(t)e^{-jnt} \, dt$$

• 복잡한 지수는 오일러의 공식에 의해 코사인과 관련이 있습니다 .

$$cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

나는 이것이 당신의 질문에 완전히 대답하지는 않을 것이라고 확신합니다. 사실 이것은 이것이 무시되는 것처럼 보이는 주어진 답변을 보완하기를 바랍니다 : 복잡한 숫자의 사용에 대한 개념 (이미 말했듯이, 유형에 대한 멋진 이름 일뿐입니다) 수학적 "수량"의 ​​경우).

여기서 우리가 대답해야 할 첫 번째 질문은 왜 숫자가 복잡한 지입니다. 그리고이 질문에 답하기 위해 우리는 자연수에서 실수까지 다양한 숫자 세트의 필요성을 이해해야합니다.

초기부터 자연수는 사람들이 예를 들어 시장에서 사과와 오렌지를 셀 수 있도록 허용했습니다. 그런 다음 음수를 사용하여 "부채로"개념을 다루기 위해 정수가 도입되었습니다 (이 시점에서 이해하기 어려운 개념이었습니다). 이제는 합리적인 숫자와 분수로 "수량"을 표현해야 할 필요성이 점점 커지고 있습니다. 이 숫자에 대한 흥미로운 점은 두 개의 정수가 필요하지만 하나는 물론 자연수 및 정수와 같이 3/8이 필요하다는 것입니다. "수량"을 나타내는이 방법은 예를 들어 5 개가 이미 먹었을 때 8 개 조각 파이에 남은 조각 수 (3)를 설명하는 데 매우 유용합니다 (정수로는이 작업을 수행 할 수 없습니다!).

이제 비이성적이고 실수를 뛰어 넘고 복소수로갑니다. 전자 엔지니어들은 선형 회로 (즉, 저항, 커패시터 및 인덕터로 제조)에서 다른 유형의 "양자", 정현파 전압 (및 전류)을 설명하고 작동해야하는 과제에 직면 해있었습니다. 그들은 복잡한 숫자가 해결책이라는 것을 알았습니다.

$\omega$$\phi$

$$y(t) = A \cdot sin(\omega t + \phi)$$

$\omega$

커패시터의 임피던스가 이라고 말할 때$\frac{1}{j \omega C}$

최신 정보

Michael D. Alder의 "엔지니어를위한 복잡한 분석 소개"를 읽는 것이 좋습니다. 이것은 주제에 대한 매우 친근한 접근법입니다. 특히 첫 장을 추천합니다.

복소수를 사용하는 것은 전압과 관련된 전류 인 위상 성분과 위상 성분을 모두 나타내는 수학적 방법입니다. 상상의 임피던스는 임피던스가 존재하지 않는다는 것을 의미하지 않으며, 이는 전류와 전압이 서로 위상이 다르다는 것을 의미합니다. 마찬가지로 실제 임피던스는 일상적인 의미에서 실제를 의미하는 것이 아니라 전류가 전압과 위상이 같다는 것입니다.

1. RCL 문맥에서 "복잡한"양을 의미하는 것을 비 신화하기위한 SEEK 아래의 설명. '상상적인'구성 요소의 개념은 사람들에게 단순한 근본 현실에 대해 눈을 멀게하는 경향이있는 유용한 은유입니다. 아래의 텍스트는 RC 용어로 말하는 것이 실제로 더 이상 신비하지 않은 LC의 신비에 대해서는 언급하지 않습니다.

2. 이 질문은 반응 형 AC 회로의 기본에 매우 근본적이기 때문에 다른 사람들로부터 설명을 찾기 전에 교과서 또는 인터넷 검색 엔진을 사용하여 자신이 제기 한 대부분의 요점을 해결하기 위해 최선을 다하는 것이 더 큰 이점이 될 것입니다 구성 요소. 어려운 질문을 다루는 것은 교육 전반에 걸쳐 비슷한 것들을 다루는 방법과 인터넷에이 주제를 다루는 수백만 페이지가있을 것입니다 (Gargoyle은 ~ = 1,100만이지만 누가 말할 수 있습니까?). 당신이 요구하는 세부 사항과 철저 함은 "정말로"많은 양의 세부 사항이 주어지면 이와 같은 사이트에서 비현실적입니다. 사이트 소유자가 Wikipedia의 하위 집합을 복제하려고하지 않는 한.

그래서-기본 사항을 이해하는 것이 좋은 생각이므로 그것을 집어 들고 거기에서 실행할 수 있다는 것이 좋습니다. 그래서 ...

입력 단자를 직렬 저항의 커패시터에 연결하고 다른 커패시터를 "접지"하면 직렬 RC 회로가 나타납니다.
Vin-저항-커패시터-접지.

입력에 스텝 전압을 적용하면 커패시터 전류가 일치하도록 스텝되지만 커패시터는이 전압을 사용하여 충전되어 저항에 전류를 생성합니다. 커패시터로 흐르는 전류가 Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries에 의해 설정되기 때문에 전압 증가는 기하 급수적입니다. 즉, Vcap이 상승하면 저항 양단의 전위가 떨어지고 전류가 감소합니다. 이론적으로 Vcap이 Vin에 도달하는 데는 무한한 시간이 걸리 겠지만 실제로
t = RC = Iin이 초기 값의 1 / e로 떨어지는 데 걸리는 시간은 약 3 개의 시간 상수에서 "약간" 입니다. 참고 문헌을 읽은 후 이미 알고 있거나 할 1 / e 용어의 의미와 이유.

이제 구형파 신호를 적용하면 입력이 양수일 때 커패시터가 위와 같이 충전되고 입력이 접지되거나 음수 일 때 비슷한 지수 방식으로 방전됩니다. 커패시터 전류는 Vin을 따르고 Vin이 고 / 저 또는 저 최고로 천이 할 때 최대가되지만, 상술 한 이유로 커패시터 전압은 입력 전압보다 뒤 떨어질 것이다. 정상 상태에 도달하면 Vcap과 I cap을 플로팅하면 하나의 전체 입력주기가 360 도인 최대 90도 또는 최소 각도만큼 두 개의 파형 오프셋을 찾을 수 있습니다. 커패시터 전압이 전류보다 지연되는 거리는 입력 주파수와 RC 시간 상수에 따라 다릅니다.

처음에는 이것이 마술처럼 보일 수 있습니다 (또는 thiotimoline * 사용). 전압이 발생하기 전에 사이클의 최대 1/4까지 전류 파형이 발생하지만 이것은 논리적 인 이유가 위에 설명되어 있지 않기 때문입니다. 검사시 직관적으로 명백합니다.

다양한 방식으로 커패시터와 저항 및 인덕터를 결합하기 시작하면 다양한 파형의 상대 위상을 수학적으로 처리 할 수 ​​있어야합니다. [처음 소개 할 때 페이저가 기절 한 것으로 보입니다.]

일부 유능한 인물, 또는 주제에 대한 천만 개 정도의 웹 페이지 중 일부를 살짝 살펴보면 위상 관계가 서로 다른 두 개의 파형이 있고 상호 지수 관계를 기반으로하는 두 개의 파형이있는 경우 각각의 파형은 [R, 쎄타 (Theta)] 형태의 극 표현으로 표현 될 수 있으며, 용어는 극을 반영하는 X 및 Y 성분을 갖는 복소수로 표현 될 수있다.

주어진 상황에서 전압과 전류 관계를 나타내는 극좌표 "벡터"는 기준에 대한 팔의 길이와 위상 각을 제공하는 회전 벡터 팔 "유"를 사용합니다. 이“유도”는 극좌표의 크기가 R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)에 의해 주어지고 각도 θ가 tan ^ -1 (X / Y에 의해 주어짐) 인 X 및 Y 성분으로 대체 될 수 있습니다 ) 이것은 아래의 다이어그램 형식으로 볼 수 있습니다.

여기에서

경고 -용어에 속지 마십시오.

"복합 수"라는 용어는 단순히 전문 용어입니다. sqrt (-1)의 사용은 은유의 유용한 부분으로 산술이 작동 할 수 있지만 실제 관련된 양은 전적으로 실제적이고 "일반적인"것입니다. 인덕터 및 커패시터와 같은 반응성 요소가 사용될 때 전력은 더 이상 단순히 전압 및 전류 벡터의 크기 항의 곱이 아닙니다. 즉 V.sin (fred) x I.sin (Josepine)의 전력은 (보통) = VI가 아닙니다. 이것은 관련된 변수에 대해 특별하거나 마술 적이거나 복잡하거나 상상적인 것을 암시하지 않습니다. 단지 변수가 시간 변형이며 피크 크기가 일치하지 않을뿐입니다.

---

추가 자료 – 권장 사항 :

전기 임피던스

RC 회로

LC 회로

복잡한 임피던스 계산기

• 아시모프

가상 저항으로 커패시턴스 및 인덕턴스를 표현하면 저항으로 선형 문제를 해결하는 잘 알려진 방법을 사용하여 저항, 커패시터 및 인덕터의 선형 문제를 해결할 수 있다는 이점이 있습니다.

이러한 선형 문제와 잘 알려진 방법은 예를 들어

1. 문제 : 직렬로 두 저항의 저항 계산
   방법 : R = R1 + R2
   는 다른 저항 / 커패시터 / 인덕터와 직렬로 저항 / 커패시터 / 인덕터의 임피던스 계산에 사용될 수 있습니다.

2. 문제점 : 병렬로 두 저항의 저항 계산
   방법 : R = R1 * R1 / (R1 + R2)
   는 다른 저항 / 커패시터 / 인덕터와 병렬로 저항 / 커패시터 / 인덕터의 임피던스를 계산하는 데에도 사용될 수 있습니다.

3. 문제점 : 저항, DC 전압 및 DC 전류 소스를 포함하는 네트워크 해결
   방법 :
   저항, 커패시터, 인덕터, AC 또는 DC 전압 및 AC 또는 DC 전류 소스를 포함하는 네트워크를 해결하기 위해 선형 방정식의 동시 시스템을 사용하는 것도 가능합니다.

4. 기타

실제 저항 값 (저항 만)과 DC 소스로 작동하는 모든 공식 / 방법은 복잡한 값 (저항, 인덕터, 커패시터) 및 AC 소스와 마찬가지로 잘 작동합니다.

동 위상 신호와 비 위상 신호의 조합을 나타 내기 위해 복소수를 사용하는 것이 반드시 직관적 인 이유는 없지만, 복소수에 대한 산술 규칙은 실제 동작과 매우 잘 맞습니다. 저항기, 커패시터 및 인덕터의 상호 작용

복소수는 실수 부분과 "가상"부분의 두 부분의 합으로, 실수에 i를 곱한 값으로 표현할 수 있으며 -1의 제곱근으로 정의됩니다. 복소수는 A + Bi 형식으로 작성 될 수 있으며 A 와 B 는 모두 실수입니다. 그런 다음 다항식 산술 규칙을 사용하여 i 를 변수로 처리하여 복소수에 작용할 수 있지만 i² 을 -1로 대체 할 수도 있습니다 (예 : Pi × Qi 의 곱) -P × Q 임).

특정 주파수에서 각 항목의 유효 임피던스를 계산 한 다음 옴의 법칙을 사용하여 직렬 및 병렬 조합의 유효 저항을 계산하고 전압 및 전류를 통해 저항, 인덕터 및 커패시터 네트워크가 작동하는 방식을 결정할 수 있습니다. 그들. 또한 저항, 커패시터 및 인덕터는 모두 선형 장치이므로 각 특정 주파수로 수행 할 작업을 계산 한 다음 결과를 합산하여 주파수 조합을 주입 할 때 네트워크의 동작을 계산할 수 있습니다. 필터와 같은 동작을 분석 할 때 복잡한 산술은 입력의 함수로 필터의 출력을 계산할 수 있으므로 매우 유용합니다. 실수 의 입력 신호를 v어떤 주파수 ( 에서의 볼트f , 임의의 특정 노드에서 전압 또는 전류를 계산할 수 있고; 실제 부분은 주입 된 파형과 위상이 같고 가상 부분은 위상이 90 도입니다. 회로 동작을 해결하기 위해 멋진 미분 방정식을 사용해야하는 대신 복잡한 숫자로 비교적 기본적인 산술을 수행 할 수 있습니다.

복소수는 전기 공학에서 크기와 위상을 가진 수량에 사용됩니다. 전기 임피던스는 전류 대 전압의 비율입니다. AC 전류 및 전압의 경우 전류 및 전압 파형이 위상이 아닐 수 있습니다. 임피던스의 위상은이 위상차를 알려줍니다.