S = VI * / 2 도출

복잡한 전력 공식 S = VI * / 2에 대한 유도를 어디에서 찾을 수 있는지 궁금합니다. 여기서 S, V 및 I는 복잡한 위상입니다.

나는 사람들이 방정식에 들어가서 그것이 작동한다는 것을 보여주는 많은 검증을 보았습니다.

여기에 내가 무엇을 알고 지금까지, 만약 와 과 , 다음 및 및 S = Vm∠ø_v * Im∠ø_i / 2 $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$
$V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— 사용자
소스

S, V, I 및 "* /"가 의미하는 것을 정의해야합니다.

— Olin Lathrop

@OlinLathrop, I (전류)의 복합 공 액체의 경우 I *이고 둘 다 사인파 (V 및 I *)이므로 둘 다 RMS 변환을 갖기 때문에 2로 나눕니다.

— Kortuk

V 와 I를 부하의 순간 전압과 전류로 하자 . 전력, 전압 및 전류 의 정의 에서 순간 전력에 대한 관계가 있습니다.

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

즉, 주어진 순간 의 전력은 해당 순간 의 전압과 전류의 곱과 같습니다. $t$

페이저 표현이 실제로 무엇을 의미하는지 잘 알고 있다고 가정하겠습니다. 간단히 말해, 페이저는 주어진 알 수없는 주파수에서 정현파를 표현하기위한 수학적 속기입니다.

따라서 는 의 약어입니다 . 마찬가지로 : 는 합니다. $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

곱 에 대한 모든 , 우리의 파형 제공 순시 모든 대 . 그 곱셈 작업 : $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

마찬가지로 와 및 , 위 방정식을 단순화하여 다음을 수행 할 수 있습니다. $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

이 파형은 그 자체로 꽤 흥미 롭습니다 . 정현파에 의해 합산 된 상수 값 . $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

이것은 순간적인 힘 이 시간에 따라 일정 하지 않다는 것을 분명히 보여줍니다 .

이 결과를 바탕으로, 평균 전력이 비 것을 알 수 있습니다 (수학적으로 증명하기 ) $s(t)$ $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

이 결과와 의 매우 달콤한 기하학적 해석에 의해 그 가치는 실제 힘 , 즉 실제로 전달되는 힘 으로 정의되었습니다 하중. 이제 소위 실제 전력 은 부하에서의 평균 전력에 지나지 않습니다. $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

이 개념으로 조금 뛰어 들기 (여기서 그릴 수는 없지만, 시도해 볼 것입니다) :

v 를 크기가 || v || 인 벡터로 하자. 그리고 위상 이고 나는 크기가 || i || 및 단계 || i || 의해 v에 대한 i 의 투영이 있습니다. 반면에, 의 구성이라고합니다 전 에서 직교 와 V . $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

이제 평균 전력이 멋진 기하학적 해석을 갖는 이유를 이해할 수 있습니다. 평균 전력은 위상 공간에서 전압에 대한 전류의 투영으로 곱한 전압입니다.

이것은 다음과 같이 복잡한 힘 S 의 생성에 동기를 부여 했습니다.

S = P + jQ

이 정의에서 벡터의 실제 부분은 정확히 부하에 전달되는 평균 전력이고 복잡한 부분은 무효 전력이라고하는 구적 이라고하는 전력입니다 (이 결과의 기하학적 해석을 보려면 Power Triangle에 대한 Google). .

이제 정의로 및 정의에 따라 S는 $s(t)$ $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

우리는 처음에 증명하고 싶었습니다.

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

그래서, 당신은 가고 싶었습니다.)

편집 : Q의 물리적 해석은 무엇입니까?

위에서 복잡한 전력의 실제 부분, 즉 부하에 전달되는 평균 전력에 대한 물리적 해석이 무엇인지 위에 나타났습니다. 그러나 정확히 Q는 무엇입니까? 어떻게 시각화 할 수 있습니까? cos와 sin이 직교 한다는 사실에 기초 하고 있으며 계산에 포함 된 두 개의 파형이 직교 인 경우 중첩의 원리를 거듭 제곱에 적용 할 수 있습니다. 수학에 들어가 보자. 그것이 정말로 중요하기 때문이다.

위에서 얻은 결과를 사용하여 : $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

첫 번째 경우 : 순전히 저항성 부하이므로

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

이는 동일한 진폭 으로 을 중심으로하는 정현파입니다 (최소값은 0이고 최대 값은 ). P 라고합시다 $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ $V_{M}I_{M}$

두 번째 경우 : 순전히 유도 성 부하이므로

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

이것이 평균값이 0 인 순전히 진동하는 파형입니다 . 이 결과를 Q 라고하겠습니다 .

세 번째 경우 : 일반적인 경우

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

이 경우, s (t)는 위에서 논의한 일반적인 방정식입니다. 그러나 다음과 같이 이전 두 사례의 결과를 이용하기 위해 다시 작성할 수 있습니다.

먼저, ( ) 에 따라 방정식을 다시 작성합니다 . 알고 있음 : , 및 $\theta$ $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

용어 재정렬 :

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

위의 두 가지 첫 번째 결과를 사용하여 :

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

놀라운 결과입니까? 그게 무슨 뜻이야?

우리가하고있는 작업으로 돌아가 봅시다 : 인 일반적인 경우에 대한 검정력 계산 , 즉 방정식을 푸십시오. $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

형식으로 를 다시 쓸 수 있습니까 ? $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$

해보자:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$ ) \ $

시키는 및 $\omega t + \phi_V = u$ $\theta = v$

관계와 함께 :

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

우리는 :

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

우리가 원하는 것은 i (t)를 두 가지 구성 요소의 합계로 다시 작성하는 것입니다. 하나는 v (t)와 위상, 하나는 v (t)와 직교입니다!

이제, 케이스 3의 결과가 설명 될 수있다 : i (t)는 상기 도시 된 바와 같이 2 개의 구성 요소로 분해 될 수 있고, i (t)에 의해 생성 된 전력은 이들 구성 요소들 각각에 의해 개별적으로 생성 된 전력과 동일하다 . 우와, 겹치지 만 힘 ( 이것은 사실 일 뿐이며, 왜냐하면 cos와 sin이 직교하기 때문에 위에서 증명되었습니다 )

따라서 Q 는 v (t)와 직교하는 i (t)의 성분에 의해 생성 된 전력량입니다. 순전히 진동하며 평균값이 없습니다.

P 는 v (t)와 위상이 같은 i (t)의 성분에 의해 생성 된 전력량입니다. 진동하지만 부하에 전달되는 평균 전력과 동일한 평균값을 갖습니다.

총 전력 인 복소수 S 는 정확히이 두 성분의 합입니다

— 카스티 호
소스

좋은 외식에 감사합니다! 그래도 몇 가지 질문이 있습니다. 1 . 나는이 용어가 무효 전력이라고 생각했다. Q; 그러나 입니다. 2. tp . 그것은 마치입니다 인 페이하지만, 그것은 단지 상수입니다. 귀하의 답변에 다시 한번 감사드립니다!

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$

— user968243

네. 무효 전력은 전압과 장력 사이의 위상차 측면에서만 정의되며 이는 위상으로서 S의 정의와 직접 관련이있는 값입니다. 전압과 함께 직교하는 전류에 의해 전달되는 전력입니다. 시변 구성 요소는 고려되지 않습니다. 이러한 의미에서 실제로 중요한 것은 부하의 평균 전력이기 때문입니다. 다양한 부분이 존재하지만 실제로는 백열 전구를 볼 수 있지만 시간이 지남에 따라 전력은 s (t)의 정적 부분에만 관련됩니다. ;)

— Castilho

자,이 다양한 부분에는 특별한 이름이 있습니까? 어쨌든, 그것을 올바르게 이해하면 V 방향으로의 I의 양은 실제 힘이고, V에 수직 인 I의 양은 복잡한 힘입니다.

— user968243 April

거의 V에 V를 곱한 방향으로 I의 양은 실제 전력 P이고, V에 수직으로 곱한 V에 수직 인 I의 양은 무효 전력 Q, P + jQ는 복소 전력 또는 피상 전력입니다.)

— Castilho

알겠습니다. 실제로 나의 이전 의견에서, 나는 이것의 이름이 무엇인지 묻고 있었다 : −VMIM2cos (2ωt + ϕV + ϕI) 나는 그것이 그것이 무효 전력이라고 생각했다.

— user968243 April