삼각파에는 유한 또는 무한 정현파 성분이 있습니까?

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불연속은 신호에 무한 정현파 성분을 갖지만 삼각형 파는 연속적이지만, 강사는 삼각형 파가 연속적이기 때문에 유한 한 수의 사인 성분으로 나타낼 수 있고 또한 순수한 삼각형 파의 모양을 제공하는 여러 주파수의 정현파의 유한 한 추가.

내가 생각하고있는 유일한 문제는 삼각형 파의 파생 파가 구형파이므로 연속적이지 않으므로 무한 정현파 합이 필요하므로 푸리에 일련의 삼각형 파의 공식의 양변을 유도하면 유한 한 정현파의 합으로 구형파를 얻을 수 있습니다. 부정확하지 않습니까?

fourier

— Syed Mohammad 아스 자드
소스

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삼각파는 무한한 푸리에 시리즈를 가지고 있습니다.

— 자폐증

당신이 그에게 물었을 때 강사는 무엇을 말했습니까?

— Solar Mike

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@Syed Mohammad Asjad : 파생 상품에 대한 귀하의 추론이 정확합니다. 아마도 당신은 강사보다 문제에 대해 더 잘 이해하고있을 것입니다.

— Curd

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사실, 유한 푸리에 계열을 가지려면 함수 와 그 파생물 이 모두 연속적이어야합니다. 정현파의 모든 파생물은 연속적이며, 이는 정현파의 유한 합에 대해서도 마찬가지입니다.

— Dave Tweed

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답은 아니지만 유한 계수를 갖는 푸리에 계열은 매우 제한적입니다. 대부분의주기 함수에는 무한 푸리에 계열이 있습니다. 그러나 함수가 부드러울수록 무한대에서 계수의 감쇠가 더 빠릅니다. 함수가 경계 도함수와 k 배 미분 가능한 경우, 유도로 볼 수 있듯이 푸리에 계수 (c_n)는 1 / n ^ (k + 1)만큼 빠르게 감쇠합니다. 분석 기능 (수렴형 Taylor 계열의 기능, 즉 무한하게 차별화 할 수있는 것보다 더 부드러운 기능)의 경우 붕괴는 기하 급수적입니다. 삼각형에는 정확히 1 / n ^ 2 인 푸리에 계열이 있습니다.

— Alexandre C.

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삼각파는 연속적이다

여기 에서 인용 :-

삼각파에는 불연속 점프가 없지만 기울기가 사이클 당 2 회 불 연속적으로 변경됩니다.

경사가 불 연속적으로 변하는 것은 무한 범위의 정현파 성분을 의미합니다.

예를 들어, 구형파를 시간 통합 한 경우 삼각형 파가 생성되지만 시간 통합 후에도 원래 구형파의 모든 고조파가 여전히 존재합니다.

— 앤디 일명
소스

같은, graohical 표현은 많이, 감사합니다 :) 도움을 생각하고 있었다

— 에드 모하마드 Asjad

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강사는 삼각파가 연속적이기 때문에 유한 한 수의 사인으로 나타낼 수 있다고 말했다.

당신은이 권리를 얻지 못했거나 강사가 잘못했습니다. 신호 자체가 연속적이면 충분하지 않지만 모든 도함수도 연속적이어야합니다. 미분에서 불연속성이있는 경우 반복 신호는 무한한 일련의 고조파를 갖습니다.

삼각형은 연속적이지만 첫 번째 도함수는 구형파이며 연속적이지 않습니다. 따라서 삼각파에는 무한한 일련의 고조파가 있습니다.

— 올린 라스 롭
소스

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아니이 잘못 듣고하지 않았다, 어느 쪽도 아니 그가 두 번했다 또한 그가 말한 후 어떤 클래스를 물었고, 내가 :) 생각했던 정확히 무엇 때문에 그가 잘못 말한 한

— 에드 모하마드 Asjad을

@SyedMohammadAsjad 당신은 둘 다 맞습니다. 구글에서; misspeak : "불충분하게 명확하거나 정확한 방식으로 자신을 표현하십시오." 여러분 중 한 사람은 "충분히 명확하지 않은"것을 사용하고 다른 한 사람은 "충분히 정확하지 않은"을 사용한다고 생각합니다.

— uhoh

이 답변의 문구가 다소 암시하지만 모든 파생 상품이 존재한다는 사실 (따라서 다음 파생 상품의 존재로 인해 연속적 임)은 유한 한 푸리에 계열을 갖기에 충분하지 않습니다. 주기적인 신호를위한 대부분의 푸리에 시리즈는 매끄럽지 만 (클래스 $ \ mathcal C ^ \ infty $ 또는 심지어 분석적) 무한히 많은 성분이 없습니다. "죄와 코사인의 유한 한 합"이외의 것들에 대한 설명은 생각해 내기 어렵다. 그 부드러움이 의미하는 모든 계수가있는 A는 경향이 0

— 마크 반 리웬

브릭 필터는 고조파의 수를 유한하게 만들 수 있으며 여전히 최소 \ 20 이상으로 / \ / \ / \ / \ / \ / 기본 모양으로 보입니다.

— Tony Stewart Sunnyskyguy EE75

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수학 증명 :

유한 한 일련의 사인 / 코사인 성분의 가중치 합계로 구성된 기능을 수행합니다.

이의 파생어는 유한 한 일련의 사인 / 코사인 성분의 가중치 합계입니다. 여러 번 파생해도 동일합니다.

사인과 코사인은 연속적이기 때문에 함수와 모든 파생 함수는 연속적입니다.

따라서, 임의의 파생물에서 불연속성을 갖는 함수는 유한 한 일련의 사인 / 코사인 성분으로 구축 될 수 없습니다.

— 푸우
소스

정확히 내가, 감사합니다 :) 생각했던 것

— 에드 모하마드 Asjad

연속성이 아니라 "사인과 코사인이 매끄러 워야"합니다. 그러나 요점은 정확합니다. 유한 한 사인과 코사인의 합이 매끄 럽기 때문에 파생 상품에서 불연속성을 가질 수 없습니다

— nimish

1

@nimish 그는 모든 파생물이 (코) 사인의 유한 합임을 증명하므로 부드러움이 아니라 (코) 사인의 연속성 만 필요합니다 :-)

— yo '

그렇습니다. $ z \ in \ mathbb {C} $에 대한 $ \ exp (z) $의 분석에서 어쨌든 그것은 사소하게 따릅니다.

— nimish

수학을 붙여 넣는 대신 설명 하는 수학 답변에 대한 조언 !

— uhoh

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여기에는 좋은 답변이 많이 있지만 실제로 "로 표현 될 수 있음" 의 해석에 따라 다릅니다 .

삼각파는 실제로 존재할 수없는 이론적 인 수학적 구성이라는 것을 이해해야합니다.

수학적으로 말하면 순수한 삼각파를 얻으려면 무한한 수의 고조파 사인파가 필요하지만 삼각파의 표현을 얻으려면 대부분의 구성 요소가 너무 작아서 배경 소음으로 인해 손실됩니다. 시스템 또는 더 이상 전송할 수없는 고주파입니다.

따라서 실제로 사용 가능한 표현을 얻으려면 유한 숫자 만 필요합니다. 그 표현이 얼마나 좋은지에 따라 얼마나 많은 고조파를 사용해야하는지 결정합니다.

— Trevor_G
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그것은 실제로 볼 것들 중 하나입니다. 선생님이 당신이 옳았 기 때문에 실제로는 사각 파가 아닌 무한한 주파수로 가지 않는다는 것을 의미하는지 분명히 선생님 께 물어볼 것입니다. t) :)

— Syed Mohammad Asjad

삼각파는 수학 구조 인 것이 옳지 만, 당신의 추론은 잘못되었습니다. 유한하게 많은 고조파로 만들 수 없다는 사실은 전혀 만들 수 없다는 증거를 제공하지 않습니다.

— yo '

@yo '는 정말 많은 사람들이 어려움을 겪고 있다고 생각하는 것 중 하나입니다. 어떤 시점에서 삼각파 = 무한 사인파 수이면 고조파를 추가하거나 통과 할 수 없습니다. 삼각 파일 뿐이라면 ... 다른 수단에 의해 생성 된 다음에 ... 어떻게 ... 어떻게 송신합니까? 그리고 그것을 전달하는 것이 어떻게 차이를 알 수 있습니까? 기본적으로, 단지 짧은 와이어 또는 PCB 트레이스 일지라도 왜곡하지 않고서는 안됩니다.

— Trevor_G

1

간단히 말해서 수학적 이상과 실제 세계의 차이.

— peterG

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다른 접근법.

x (t)를 삼각파라고하고 y (t)를 미분 파인 미분 파라고하겠습니다. 따라서 불 연속적입니다.

x (t)가 정현파 신호의 유한 합인 경우, 그 연산의 선형성에 의한 그것의 도함수는 정현파 신호의 파생 수, 즉 다시 정현파 신호의 유한 합이 될 것이다.

그러나이 후자의 신호는 정현파 신호의 유한 합이 연속적이기 때문에 구형파 y (t) 일 수 없습니다. 따라서 모순이 있습니다.

따라서 x (t) 는 무한한 푸리에 성분을 가져야 합니다 .

— Lorenzo Donati는 Monica를 지원합니다
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실제로 사용하기 위해 훨씬 간단한 테스트를 제안합니다. 파동에 날카로운 모서리가 있으면 무한한 정현파 구성 요소가 필요합니다.

왜? 유한 한 일련의 sinusiod는 날카로운 모서리를 만들 수 없기 때문입니다. 이것은 합의 분해 규칙에 대한 유도 (즉, 모든 유한 합산 및 모든 무조건 수렴 무한 합산에 대한 Σ (a + b) = Σ a + Σ b)에 대한 유도에서 입증됩니다.

— 여호수아
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유한 한 푸리에 시리즈로 표현할 수있는 함수 세트는 다음과 같습니다.

에프 : = {에프 (엑스) = {에이}_{0} + \sum_{엔}^{엔 \in 엔} ({에이}_{엔} 코사인 엔 엑스 + 비_{엔} 죄 엔 엑스)}

$F:=\{f(x)=a_0+\sum_{n}^{n \in N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\}$

모든 유한 인덱스 세트 N에 대해 . 용어 별 미분은 미분이 (1) 연속적이고 (2) F에 있음을 나타 냅니다. 삼각파의 미분은 연속적이지 않기 때문에 삼각파의 기능은 F에 없습니다 .

이 증명은 불연속성을 기반으로하지만 대부분의 연속 함수는 F에 속하지 않습니다 . 다항식 또는 지수 함수는 유한 합과 코사인의 합으로 표현 될 수 없으므로, F 의 유일한 멤버는 위의 형식으로 명시 적으로 작성된 것입니다.

— 자레드 고간
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