왜 시간이 63.2 %이고 50 % 나 70 %가 아닌가?

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RC 및 RL 회로에 대해 공부하고 있습니다. 시간 상수가 출력 전압의 63.2 %와 같은 이유는 무엇입니까? 왜 다른 값이 아닌 63 %로 정의됩니까?

회로가 출력 전압의 63 %에서 작동하기 시작합니까? 왜 50 %가 아닌가?

— 발라 수 브라마 니안
소스

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1-e ^ -1 = 0.6321 ...

— Andrew Morton

3

1 / 대역폭과 일치하며 1 차 시차 또는 입니다. 방사성 붕괴에서는 50 % ( '반감기')를 사용합니다.

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

— Chu

1

@AndrewMorton : 나는 그것이 제목에 대한 답이라고 생각한 것이 나에 대해 어떻게 말하는지 완전히 확신하지 못합니다.

— Ilmari Karonen

4

@code_monk : 습니까?

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$

— 명목 동물

3

단지 nitpick : 시간 상수는 63 %로 정의 되지 않았습니다 . 지수 함수의 지수에서 계수의 역수로 정의됩니다 (이 스레드의 탁월한 답변 참조). 그 결과 시간 상수 와 동일한 시간 범위 이후의 수량 값이 초기 값의 대략 2 % 정확도로 63 % 인 것으로 밝혀졌습니다 .

— Lorenzo Donati는 Monica

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다른 답변은 아직 무엇이에 명중하지 않은 전자 특별 : 배 드롭 뭔가에 필요한 시간과 같은 시간 상수 정의 전자 수단을 시간의 순간에, 변화의 속도는 that-- 될 것이라고 하는 경우 속도는 계속 된 한 시정 될 것 아무것도 부패에 필요한 고마웠다 시간.

예를 들어 1uF 캡과 1M 저항이있는 경우 시간 상수는 1 초입니다. 커패시터가 10V로 충전되면 전압은 10V / 초의 속도로 떨어집니다. 5 볼트로 충전되면 전압은 5 볼트 / 초의 속도로 떨어집니다. 전압이 변화함에 따라 변화율이 감소한다는 사실은 전압이 실제로 1 초 안에 아무것도 쇠퇴하지 않는다는 것을 의미하지만, 순간의 감소율은 전류 전압을 시간 상수로 나눈 값이됩니다.

시간 상수가 다른 단위 (예 : 반감기)로 정의 된 경우 붕괴율은 더 이상 시간 상수와 잘 맞지 않습니다.

— 슈퍼 캣
소스

3

이것은 " 어떻게 "를 계산 하는 대신에 " 왜? " 라는 질문에 실질적인 방법으로 대답하기 때문에 가장 좋은 대답 일 수 있습니다.

— Bort

굉장히, 나는 이것을 결코 배운 적이 없다고 믿을 수 없다! (BTW, 그래프는이 답변을 더욱 멋지게 만들 것입니다).

— Reinstate Monica

1

그것은 훌륭한 직관적 통찰력입니다. +1

— Spehro Pefhany

1

"언제든지 순간의 감소율은 전류 전압이 될 것입니다."나는이 맥락에서 "전류"가 모호하지만 두 가지 의미가 작동한다고 가정합니다.

— Accumulation

11

@supercat-예제 그래프를 추가했습니다. 변경 사항을 자유롭게 제안하십시오.

— Reinstate Monica

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1 차 시스템과 관련된 지수 붕괴의 수학에 내장되어 있습니다. 응답이 t = 0에서 1에서 시작하면 하나의 "시간 단위"후에 응답은 입니다. 상승 시간을 볼 때 0.63212 또는 63.2 %를 제공하여 단일성을 뺍니다. $e^{-1} = 0.36788$

"시간 단위"는 시스템의 "시간 상수"로 지칭되며, 일반적으로 τ (tau)로 표시된다. 시간에 따른 시스템 응답의 전체 표현 (t)은

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

따라서 시간 상수는 알아야 할 유용한 양입니다. 시간 상수를 직접 측정하려면 최종 값의 63.2 %에 도달하는 데 걸리는 시간을 측정하십시오.

전자 장치에서 옴, 패럿 및 헨리를 구성 요소 값의 단위로 사용하는 경우 RC 회로의 시간 상수 (초)는 RxC 또는 RL 회로의 L / R과 같습니다. 즉, 시간 상수를 알고 있으면 다른 값을 알고 있으면 구성 요소 값 중 하나를 파생시킬 수 있습니다.

— 데이브 트위드
소스

1

지수 붕괴 또는 상승의 경우 단계 응답을 사용하여 복잡성을 줄여야합니다. 그래서 e-1이 고려됩니다.

— Bala Subramanian

@BalaSubramanian : 그렇습니다.

— Dave Tweed

그러나 타이머 또는 카운터 용 RC 회로를 설계 할 때와 같은 의심의 여지가 있습니다. 특정 기간에 방전 및 충전됩니다. 기간이 시간 상수와 동일합니까? 필요한 IC 또는 장치가 전압의 63 %에서 작동하지 않습니까?

— Bala Subramanian

2

@BalaSubramanian : 아니요, 반드시 그런 것은 아닙니다. 각 타이머에는 고유 한 임계 값 선택 방법이 있습니다. 예를 들어 (in) famous 555는 1/3 및 2/3 Vcc를 임계 값으로 사용합니다. 이는 작동 모드에 따라 시간 간격이 0.693⋅R⋅C 또는 1.1⋅R⋅C임을 의미합니다. 및 입니다.

- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

— Dave Tweed

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Vo에 커패시터가 충전 된 RC 병렬 회로의 붕괴

v (t) = 여기서 는 시간 상수 R C입니다. $Vo(1-e^{-t/\tau})$ $\tau$ $\cdot$

따라서 v ( ) / Vo는 대략 0.63212055882855767840447622983854입니다. $\tau$

다시 말해서, 시상수 는 RC 곱 (또는 L / R 비율)에 의해 정의되며, 임의의 전압은 그 정의와 지수 붕괴 또는 충전이 발생하는 방식의 결과입니다.

지수 붕괴는 방사성 붕괴, 일부 종류의 냉각 등과 같은 다양한 물리적 프로세스에 공통적이며 1 차 정규 미분 방정식 (ODE)으로 설명 할 수 있습니다.

전압이 초기 전압의 0.5 (또는 0에서 충전하는 경우 최종 전압) 인 시간 을 알고 싶다고 가정합니다 . (위로부터)

t =- 또는 약 0.693RC $\ln(0.5)\tau$

어느 쪽이든, 비이성적 인 숫자가 나타나고 RC = 다루는 것이 "자연스러운"방법입니다. $\tau$

— 페페 페니
소스

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그것은 매우 대략적인 근사치입니다.

— 아스날

1

@Arsenal MATLAB을 사용하여 원하는 경우 소수점 이하 수천 자리까지 가져올 수 있습니다.

— Spehro Pefhany

2

@Arsenal, 22/7도 당신에게 충분하지 않다고 생각합니까? : D

— Wossname

3

22/7은 e에 대한 끔찍한 근사치입니다. 19/7이 훨씬 좋습니다.

— alephzero

2

@SpehroPefhany 난 항상 수학 사람들이 아니라, 내가 크로스 워드 퍼즐 그들을 위해 너무 쉽게 생각 시간을 (보내고 싶어 방법을 깜짝 놀라게 :-) (당신이 연결된 그 근사치에 WRT)!

— 로렌조 도나티 모니카 지원

3

Dave Tweed, supercat 및 Spehro Phefany의 다른 훌륭한 답변을 보완하는 것처럼 2 센트를 추가합니다.

먼저 주석에 쓴 것처럼 약간의 nitpicking은 시간 상수가 63 %로 정의 되지 않았습니다 . 공식적으로 지수 함수의 지수 계수의 역수로 정의됩니다. 즉, Q가 관련 수량 (전압, 전류, 전력 등)이고 Q가 다음과 같이 시간이 지남에 따라 감소하는 경우 :

Q (t) = Q_{0} e^{- k t} (k > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

그런 다음 붕괴 과정의 시간 상수는 로 정의됩니다 . $\tau = 1 / k$

다른 사람들이 지적했듯이, 이것은 경우 수량이 약 63 % 감소했습니다 (즉, 수량은 시작 값의 약 37 %입니다). $t = \tau$

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0.367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

다른 답변이 거의 만지지 않은 것은 그 선택이 이루어진 이유 입니다. 대답은 간단합니다 . 시간 상수는 유사한 프로세스의 진화 속도를 쉽게 비교할 수있는 방법을 제공합니다. 전자 제품에서 시간 상수는 종종 회로의 "반응 속도"로 해석 될 수 있습니다. 두 회로의 시간 상수를 알고 있으면 해당 상수를 비교하여 "상대 속도"를 쉽게 비교할 수 있습니다.

또한, 시정 수는 직관적 인 방식으로 쉽게 이해할 수있는 양입니다. 예를 들어, 회로가 시간 상수 정착한다고하면, 시간 이 지나면 (또는 아마도 임을 쉽게 이해할 수 있습니다 , 당신이하는 일의 정확성에 따라) 과도 상태가 끝났다고 생각할 수 있습니다 ( 및 는 일반적인 과도 지속 시간의 경험 법칙으로 가장 일반적으로 선택됩니다). $\tau = 1 \mu s$ $3\tau=3\mu s$ $5\tau=5\mu s$ $3\tau$ $5\tau$

다시 말해, 시간 상수는 현상이 발생하는 시간 척도를 전달하는 쉽고 이해하기 쉬운 방법입니다.

— Lorenzo Donati는 Monica를 지원합니다
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-1

이것은 상수 값 에서옵니다 . $e$ $1-e^{-1} \approx 0.63$

— 마티즈 휘 스먼
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