이 책은 나이키 스트 샘플링 기준에 대해 잘못입니까?

책의 다음 내용이 잘못 되었습니까?

신호의 최고 주파수 성분의 두 배로 샘플링하면 신호를 완전히 복구하는 데 충분하다고 생각했습니다. 그러나 위에 두 번 샘플링하면 톱니 모양의 파도가 생성됩니다. 책이 잘못 되었나요?

신호의 최고 주파수 성분의 두 배로 샘플링하면 신호를 완전히 복구하는 데 충분하다고 생각했습니다. 그러나 위에 두 번 샘플링하면 톱니 모양의 파도가 생성됩니다. 책이 잘못 되었나요?

이 책은 잘못되었지만 당신이 생각하는 이유는 아닙니다. 샘플을 나타내는 점에서 눈을 가늘게 뜨면 표시된 주파수의 두 배로 샘플링됩니다.

따라서 먼저 신호를 그려서 직접 샘플링해야합니다 (또는 연필과 종이를 사용하지 않는 경우 수학 패키지를 사용하십시오).

둘째, 나이키 스트 정리는 신호 내용의 스펙트럼이 샘플링 속도의 1/2보다 낮다 는 것을 이미 알고 있다면 이론적 으로 신호를 재구성하는 것이 가능 하다고 말합니다 .

저역 통과 필터링으로 신호를 재구성합니다. 필터링하기 전에 신호가 왜곡 될 수 있으므로 결과를 확인하기 위해보고있는 내용을 알아야합니다. 또한 신호 컨텐츠의 스펙트럼이 나이키 스트 한계에 가까울수록 앤티 앨리어싱 및 재구성 필터에서 컷오프가 더 선명해야합니다. 이론 상으로는 괜찮지 만 실제로 시간 영역에서 필터의 응답은 통과 대역에서 정지 대역으로 얼마나 급격하게 전환되는지에 비례하여 더 길어집니다. 일반적으로 가능하다면 나이 퀴 스트보다 훨씬 높은 곳에서 샘플링합니다.

다음은 책에서 말한 내용과 함께 제공되는 사진입니다.

사례 A : 사이클 당 하나의 샘플

사례 B : 교차점에 착륙하는 사이클 당 두 개의 샘플- 사이클 당 하나의 샘플 과 동일한 출력 이지만 교차점에서 첫 번째 샘플을 샘플링했기 때문입니다.

사례 C : 다시 한 번 사이클 당 두 개의 샘플이 있지만 이번에는 극단입니다. 신호 성분 주파수의 정확히 두 배로 샘플링 하면 재구성 할 수 없습니다. 이론적으로는 약간 낮게 샘플링 할 수 있지만 재구성 할 수 있도록 충분한 결과에 걸쳐있는 임펄스 응답을 갖는 필터가 필요합니다.

사례 D : 신호 주파수의 4 배 샘플링. 점을 연결하면 삼각형 파가 발생하지만 정확하지는 않습니다. 샘플링 된 시간에는 샘플이 "점"에만 존재합니다. 당신이 괜찮은 재구성 필터를 통해이를 넣어 경우 사인파 다시를 얻을 수 있습니다,주의 및 당신이 당신의 다음 출력이 똑같이 단계에서 이동 될 것입니다 샘플링의 위상을 변경할 수 있지만, 경우의 진폭이 변경되지 않습니다.

그림 B는 매우 잘못되었습니다. 출력 신호에 매우 날카로운 모서리가 있습니다. 매우 날카로운 모서리는 샘플 주파수보다 훨씬 높은 매우 높은 주파수와 같습니다.

나이 퀴 스트 샘플 이론을 충족 시키려면 재구성 된 신호를 저역 통과 필터링해야합니다. 저역 통과 필터링 후에는 신호 B가 삼각형처럼 아닌 입력 신호처럼 보입니다 (모든 날카로운 모서리가 저역 통과 필터를 통과 할 수 없기 때문에).

정확하게하려면 입력 신호와 출력 신호를 모두 저역 통과해야합니다. 더 높은 주파수를 "폴딩"하지 않으려면 입력 신호를 샘플 주파수의 최대 절반으로 저역 통과 필터링해야합니다.

안타깝게도 샘플링이 작동하는 방식에 대한 일반적인 오해입니다. 보다 정확한 설명은 재구성을 위해 sinc 함수를 사용합니다 (sinc 함수 검색을 권장합니다).

실제 응용 분야에서는 "완벽한"저역 통과 필터를 사용할 수 없습니다 (아래의 모든 주파수를 통과하고 위를 차단). 이는 일반적으로 재생하고자하는 최대 주파수의 2.2 배 이상의 주파수로 샘플링한다는 것을 의미합니다 (예 : 20kHz 최대 주파수를 허용하기 위해 44.1kHz에서 샘플링 된 CD 품질). 이러한 차이조차도 아날로그 필터를 만들기가 어려울 것입니다. 대부분의 실제 응용 프로그램은 디지털 영역의 저역 통과 필터와 마찬가지로 "오버 샘플링"됩니다.

샘플링 정리는 샘플링 주파수가 신호의 최고 주파수 내용보다 엄격하게 높으면 신호가 완벽하게 재구성 될 수 있다고 명시합니다. 그러나 그 재구성은 각 샘플에서 (무한한) sinc 펄스 삽입에 기반합니다. 이론적 인 관점에서 이것은 매우 중요한 결과이지만 실제로는 정확하게 달성하는 것은 불가능합니다. 책 페이지에서 설명하는 것은 샘플들 사이에 직선을 그리는 것에 기초한 재구성 방법이며, 이는 완전히 다른 것입니다. 그래서 나는 그 책이 정확하다고 말하지만, 표본 정리와는 아무런 관련이 없습니다.

아주 좋은 개요 논문은 Unser : Sampling-Shannon 이후 50 년 입니다. 순수한 무한 사인 신호가 Shannon 샘플링 정리에 포함되지 않기 때문에 문제가 발생합니다. 주기적 신호에 적용 가능한 정리는 초기 나이 퀴 스트 샘플링 정리입니다.

섀넌 샘플링 정리 로서 표현 될 수있는 함수를 적용

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

여기서 X 는 제곱 적분 함수입니다. 그런 다음이 신호를 개별 샘플에서 다음과 같이 정확하게 나타낼 수 있습니다.

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$

푸리에 변환은 Dirac-delta 분포로 구성되므로 순수한 사인 함수는 해당 클래스에 포함되지 않습니다.

초기 나이 퀴 스트 샘플링 정리 는 신호가주기 T 및 최고 주파수 W = N / T 로주기적인 경우 삼각 다항식임을 나타냅니다.

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

과 2N + 1 (비 단순) 계수들 및 이들 계수로부터 (선형 대수로) 재구성 될 수 2N + 1 기간 내의 샘플.

순수한 사인 함수의 경우는이 클래스에 해당합니다. NT 에 시간이 지남에 따라 2N + 1 개의 샘플을 취 하면 완벽한 재구성이 가능합니다 .

이 책에서 공유 한 내용은 "Nyquist Sampling Criterion"에 대해 아무 말도 하지 않습니다. 단지 가상 ADC로 사인파를 포인트 샘플링 한 다음 (내재적으로) 샘플 값 사이에 선형 보간을 수행하는 간단한 DAC.

이러한 맥락에서 '그림 6.10'이라는 논문은 일반적으로 정확하고 잘 설명되어 있습니다.

ADC의 샘플링 주파수가 증가함에 따라 디지털화 된 신호의 충실도가 향상됩니다.

이상적인 재구성 의 충실도에 대해 이야기하고 싶다면 완전히 다른 문제입니다. 나이 퀴 스트 비율에 대한 논의는 다시 그림에 언급되지 않은 sinc 보간법 을 사용함을 의미합니다 .

이 그림의 실제 결함은 포인트 샘플이 엔지니어링에서 의미있는 개념이라는 아이디어입니다. 실제로 ADC는 일정 기간 동안 실제 입력 신호를 누적하여 작동하는 센서 구성 요소에 연결됩니다.

그러나 도표에 표시된 특정 샘플링 주파수에 대해서는 이 수치 가 명백히 잘못된 것입니다 (2의 요인으로 인해). 표시된 "출력"은 'C'의 경우에만 영향을받습니다.

위의 인용문을 사용하여 EEG 파형 처리에 대한 토론에서 "신경 생리학 수술 중 모니터링에 대한 실용적인 접근 방법"에서 엄청나게 유사한 다이어그램을 발견했습니다. 그 가치있는 점에 대해서는 다음과 같은 토론이 포함됩니다.

ADC가 아날로그 신호를 충실히 표현하는 데 필요한 최소 샘플링 주파수를 설명하는 정리를 나이키 스트 정리라고합니다. ADC의 샘플링 주파수는 파형에서 가장 빠른 주파수 성분의 샘플링 주파수의 두 배보다 커야한다고 명시되어 있습니다.