푸리에, 라플라스 및 Z 변환의 관계 및 차이점

나는이 주제들에 대해 약간 혼란스러워졌다. 그들은 모두 나에게 똑같이 보이기 시작했습니다. 선형성, 이동 및 스케일링과 같은 속성이 동일한 것으로 보입니다. 개별적으로 배치하고 각 변환의 목적을 식별 할 수 없습니다. 또한이 중 어느 것이 주파수 분석에 사용됩니까?

이 특정 문제를 해결하는 완전한 답변을 Google에서 찾을 수 없었습니다. 같은 페이지에서 그것들을 비교하여 명확하게 볼 수 있기를 바랍니다.

라플라스 푸리에 변환은 연속적인 연속 함수의 (정수) 변환한다.

Laplace 변환은 함수 를 복합 변수 s 함수 에 매핑합니다 . 여기서 입니다.$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

미분 는 매핑 되므로 선형 미분 방정식의 라플라스 변환은 대수 방정식입니다. 따라서 라플라스 변환은 무엇보다도 선형 미분 방정식을 푸는 데 유용합니다.$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

복소수 변수 s 의 실제 부분 을 0, 으로 설정하면 결과 는 본질적 으로 의 주파수 도메인 표현 인 푸리에 변환 이것은 유의하십시오 의 값에 대해 의 라플라스 변환을 얻는 공식 이 존재하는 경우 (즉, 무한대로 가지 않음)F ( j 개의 ω ) F ( t ) σ의 F ( t $\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

Z이 변환은 따라서, 해결하는데 유용 할 수 있으며, 본질적으로 변환 라플라스의 이산 버전이며 차분 방정식의 이산 버전 미분 방정식. Z 변환은 시퀀스 을 복소수 의 연속 함수 에 매핑합니다 .F ( z ) z = r e j $f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

z 의 크기 를 unity, 로 설정하면 결과 는 본질적으로 의 주파수 도메인 표현 인 이산 시간 푸리에 변환 (DTFT) 입니다 .F ( j 개의 Ω ) F [ N $r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

라플라스 변환은 CTFT에 대한 슈퍼 세트로 간주 될 수 있습니다. 이전 함수에서 언급했듯이 전달 함수의 근이 가상 축에있는 경우 (예 : s = σ + jω, σ = 0) ROC에서 Laplace 변환의 문제가 Continuous Time Fourier Transform으로 줄어 듭니다. 푸리에 변환 (Fourier Transforms)이있을 때 라플라스 변환이 왜 처음으로 진화했는지 아는 것이 좋습니다. 함수 (신호)의 수렴은 푸리에 변환 (Fourier Transform)이 존재하기위한 필수 조건이지만 (물론 요약 가능) 물리적 세계에는 이러한 수렴 신호를 가질 수없는 신호도 있습니다. 그러나, 그것들을 분석하는 것이 필요하기 때문에, 우리는 단조로 감소하는 지수 e ^ σ를 곱하여 수렴하게 만들고, 그것들은 본질적으로 수렴합니다. 이 새로운 σ + jω는 새로운 이름 's'로 주어지며, 우리는 종종 인과 적 LTI 시스템의 사인파 신호 응답을 'jω'로 대체합니다. s 평면에서 라플라스 변환의 ROC가 가상 축을 덮으면 신호가 수렴되기 때문에 푸리에 변환이 항상 존재합니다. 이 신호는 가상의 축에서 주기적 신호 e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (By Euler 's)로 구성됩니다.

같은 방식으로 z-transform은 DTFT를 확장 한 것입니다. 먼저, 우리 삶을 훨씬 쉽게 만들기 위해 두 번째로 수렴시킵니다. ae ^ jω (r, 서클 반경 ROC를 설정하지 않은 것)보다 az를 다루기가 쉽습니다.

또한 Laplace 변환은 일방적 (단면) 변환으로 사용될 때 삶이 훨씬 쉬워지기 때문에 원인이 아닌 신호에 대해 Laplace보다 푸리에 변환을 사용할 가능성이 높습니다. 양쪽에서도 사용할 수 있으며 결과는 수학적 변형과 동일하게 작동합니다.

푸리에 변환은 주파수 영역에서 시변 함수를 변환 / 표현하기위한 것입니다.

라플라스 변환은 "통합 도메인"에서 시변 함수를 변환 / 표현하기위한 것입니다.

Z- 변환은 라플라스와 매우 유사하지만 이산 시간 간격 변환으로 디지털 구현에 더 가깝습니다.

변환하는 데 사용되는 방법이 매우 유사하기 때문에 모두 동일하게 나타납니다.

전기 회로를 기반으로 한 예제를 통해 Laplace와 Fourier 변환의 차이점을 설명하려고합니다. 따라서 알려진 미분 방정식으로 설명되는 시스템이 있다고 가정합니다. 예를 들어 공통 RLC 회로가 있다고 가정 해 봅시다. 또한 공통 스위치를 사용하여 회로를 켜거나 끕니다. 이제 정현파 상태에서 회로를 연구하려면 푸리에 변환을 사용해야합니다. 그렇지 않으면 분석에 스위치 ON 또는 스위치 OFF가 포함되면 미분 방정식에 대해 라플라스 변환을 구현해야합니다.

다시 말해 Laplace 변환은 초기 상태에서 최종 정현파 정상 상태로의 시스템 반응의 일시적인 진화를 연구하는 데 사용됩니다. 시스템 초기 상태의 과도 현상뿐만 아니라 최종 정현파 정상 상태도 포함됩니다.

작업마다 다른 도구. 16 세기 말에 천문학 자들은 불쾌한 계산을 시작했습니다. 곱셈과 나눗셈을 더하기 쉬운 뺄셈으로 변환하기 위해 로그를 먼저 계산했습니다. 마찬가지로 Laplace 및 Z 변환은 불분명 한 미분 방정식을 대수 방정식으로 변환하여 해결할 가능성이 있습니다. 푸리에 시리즈는 원래 벽돌과 다른 부분 미분 방정식의 열 흐름을 해결하기 위해 발명되었습니다. 진동 줄, 오르간 파이프 및 시계열 분석에 대한 적용은 나중에 이루어졌습니다.

전달 함수를 계산하는 모든 LTI 시스템에서 우리는 푸리에 또는 z 변환 대신 라플라스 변환 만 사용합니다. 푸리에에서는 제한된 출력을 얻습니다. 무한대로 가지 않습니다. z 변환은 이산 신호에 사용되지만 LTI 시스템은 연속 신호이므로 z 변환을 사용할 수 없습니다. 따라서 라플라스 변환을 사용하면 모든 LTI 시스템의 전달 함수를 계산할 수 있습니다.