RMS 전압에 RMS 전류를 곱하여 평균 전력을 제공한다는 수학적 증거

10

평판이 좋은 출처에서 읽었 기 때문에 이것이 사실이라는 것을 알고 있습니다. 또한 전력은 저항 부하에 대한 전압 또는 전류의 제곱에 비례하고 RMS의 "S"는 "제곱"에 대해 직관적으로 이해합니다. 나는 어려운 수학적 증거를 찾고 있습니다.

하자 $I_i$ 순간에 현재 나타내는 $i$ , 마찬가지로 $V_i$ 그 순간의 전압을 의미한다. 모든 순간에 전압과 전류를 측정 할 수 있고 $n$ 순간이있는 경우 피상 전력은 다음과 같습니다.

P = \frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

우아한 수학적 증거는 무엇입니까?

P = I_{R M S} V_{R M S}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

저항 부하에 대해 동일한 결과를 얻습니까?

power math rms

— 필 프로스트
소스

올바르게 기억한다면, 관심 기간 동안 RMS가 신호의 실제 값에 가장 가까운 근사값을 나타내는 증거가 있어야합니다. 이를 사용하여 임을 증명할 수 있습니다. 불행히도, 그 증거가 담긴 책을 잃어버린 것 같습니다. :(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo

RMS 전류 시간 RMS 전압은 평균 전력과 같지 않습니다. 그것은 피상 전력과 같습니다. 비저항 부하가 있으면 차이가 생길 수 있습니다.

— 누군가가 모니카를 지원함

16

옴의 법칙

1 : V (티) = 나는 (티) 아르 자형

$1: V(t) = I(t)R$

순간 전력 손실은 전압과 전류의 곱

2 : 피 (티) = V (티) 나는 (티)

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

전압 또는 전류의 관점에서 저항을 통해 순간 전력을 얻기 위해 1을 2로 대체하십시오.

삼 : 피 (티) = {나는}^{2} (티) 아르 자형 = \frac{V^{2} (티)}{아르 자형}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

평균 전력은 일정 기간 동안의 순간 전력을 해당 기간으로 나눈 적분입니다. 전압과 전류 측면에서 평균 전력을 얻기 위해 3을 대체하십시오.

4 : 피_{ㅏ V 지} = \frac{\int_{0}^{티} 피 (티) 디 티}{티} = \frac{아르 자형 \int_{0}^{티} {나는}^{2} (티) 디 티}{티} = \frac{\int_{0}^{티} V^{2} (티) 디 티}{아르 자형 티}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

RMS 전류 정의

5 : {나는}_{아르 자형 미디엄 에스} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{티} {나는}^{2} (티) 디 티}{티}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$ 양변

6 : {나는}_{아르 자형 미디엄 에스}^{2} = \frac{\int_{0}^{티} {나는}^{2} (티) 디 티}{티}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$ 평균 전력

대한 식 4를 구하기 위해 R을 곱합니다

7 : {나는}_{아르 자형 미디엄 에스}^{2} 아르 자형 = \frac{아르 자형 \int_{0}^{티} {나는}^{2} (티) 디 티}{티} = 피_{ㅏ V 지}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$ RMS 전압

정의

8 : V_{아르 자형 미디엄 에스} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{티} V^{2} (티) 디 티}{티}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$ 정사각형 양변

9 : V_{아르 자형 미디엄 에스}^{2} = \frac{\int_{0}^{티} V^{2} (티) 디 티}{티}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$ 평균 전력

대한 식 4를 구하기 위해 R로 나눕니다

10 : \frac{V_{아르 자형 미디엄 에스}^{2}}{아르 자형} = \frac{\int_{0}^{티} V^{2} (티) 디 티}{아르 자형 티} = 피_{ㅏ V 지}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$ 평균 전력

대한 식 7과 10을 곱합니다

11 : 피_{ㅏ V 지}^{2} = V_{아르 자형 미디엄 에스}^{2} {나는}_{아르 자형 미디엄 에스}^{2}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$ 양변의 제곱근

12 : 피_{ㅏ V 지} = V_{아르 자형 미디엄 에스} {나는}_{아르 자형 미디엄 에스}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ QED

— 스티븐 콜링 스
소스

6

매우 간단한 증거 (문제의 불연속 샘플링 경우)는 RMS 방정식에서 I를 E / R로 대체하는 것입니다.

{엑스}_{아르 자형 미디엄 에스} = \sqrt{\frac{1}{엔} ({엑스}_{1}^{2} + {엑스}_{2}^{2} + 엑스 + \dots + {엑스}_{엔}^{2})} .

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

그리고 아주 간단한 대수.

그리고 그렇습니다. 순전히 저항 부하를 가지므로 위상 각 문제가없고 I에도 존재하지 않는 I에는 고조파가 존재하지 않기 때문에 이것은 사실입니다.

편집하다

{엑스}_{아르 자형 미디엄 에스} = \sqrt{\frac{1}{엔} ({엑스}_{1}^{2} + {엑스}_{2}^{2} + \dots + {엑스}_{엔}^{2})}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

V_{아르 자형 미디엄 에스} = \sqrt{\frac{1}{엔} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{엔}^{2})}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

{나는}_{아르 자형 미디엄 에스} = \sqrt{\frac{1}{엔} ({나는}_{1}^{2} + {나는}_{2}^{2} + \dots + {나는}_{엔}^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

{나는}_{나는} = V_{나는} / 아르 자형

$I_i = V_i/R$

{나는}_{아르 자형 미디엄 에스} = \sqrt{\frac{1}{엔} ((V_{1} / 아르 자형)^{2} + (V_{2} / 아르 자형)^{2} + \dots + (V_{엔} / 아르 자형)^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

그때:

{나는}_{아르 자형 미디엄 에스} = \sqrt{\frac{1}{엔} (V_{1}^{2} / {아르 자형}^{2} + V_{2}^{2} / {아르 자형}^{2} + \dots + V_{엔}^{2} / {아르 자형}^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

1 / R ^ 2 꺼내기

{나는}_{아르 자형 미디엄 에스} = \frac{1}{아르 자형} \sqrt{\frac{1}{엔} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{엔}^{2})}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

그래서:

V_{아르 자형 미디엄 에스} ※ {나는}_{아르 자형 미디엄 에스}

$V_{RMS} * I_{RMS}$

1 / 아르 자형 (\frac{1}{엔} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{엔}^{2}))

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

1 / R 배포 :

(\frac{1}{엔} (V_{1}^{2} / 아르 자형 + V_{2}^{2} / 아르 자형 + \dots + V_{엔}^{2} / 아르 자형))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

옴의 법칙 대체를 다시 사용 :

(\frac{1}{n} (V_{1} I_{1} + V_{2} I_{2} + \dots + V_{n} I_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

which is:

\frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

— George White
소스

대수학이 단순하다면 우리에게 보여줄 수 있습니까? LaTeX 마크 업을 사용하여 수학을 조판 할 수 있습니다.

— Phil Frost

4

Thanks for the encouragement. I hadn't used LaTex since 1983.

— George White

0

핵심은 저항성 부하의 경우 전압과 전류가 같은 위상에 있다는 것입니다.

전압과 전류가 모두 $\sin(t)$ 그런 다음 그들의 제품은 평등에 의해 주어진다 $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ . 전력은 주파수의 두 배인 사인파이며 $1/2$ . 이것은 시간에 따른 평균입니다 ( "사각형"의 "평균"). 평균 제곱근은 $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$ . 그것이 우리가 그 마법 번호를 얻는 곳입니다.

제곱 평균 제곱 전압 또는 전류는 시간이 지남에 따라 동일한 전력 소비를 생성하는 DC 등가 전압 및 전류입니다 . 평균 전력 소비가 $1/2$ W, 그런 식으로 전력 소비를 꾸준히 생산할 수 있습니다. $\sqrt{2}/2$ VDC 곱하기 $\sqrt{2}/2$ DC.

전류와 전압이 90도 위상이 아닌 경우 (순수한 반응성 부하) $\cos(t)$ 그리고 다른 존재 $\sin(t)$ . 적용 가능한 평등은 $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ . 전력 파형이 더 이상 진동하기 위해 "편향"되지 않습니다. $1/2$ ; 평균은 0입니다. 전력 파형이 양과 음으로 스윙함에 따라 전력이 교대로 반주기 동안 부하로 들어오고 나옵니다.

따라서 RMS 전압과 전류는 평균 전력을 기준으로 정의됩니다. 각 전력은 평균 전력의 제곱근에서 파생됩니다. 평균 검정력의 제곱근에서 얻은 두 값을 곱하면 평균 검정력이 회복됩니다.

— 카즈
소스

I think Stephen Colling's answer is the best. It does not rely on the details of the waveform and covers the continuos case. Also, "The root mean square voltage or current are the DC equivalent voltage and current that will produce the same power dissipation over time" seems to answer the question by assuming the answer and then going in a circle to get the answer.

— George White

-2

Lets simplify more this issue without math. Take this simple circuit that is produce a square waveform with a period of 10 sec.

enter image description here

The voltage is like this

enter image description here

and current is

enter image description here

Then the power waveform will be

enter image description here

When switch is open no power is delivered to the resistor so the total energy is 10 watts X 5 seconds= 50 Joules, and it is the same as we apply 5 watts in 10 seconds enter image description here

and this is the average power. The average voltage is 5 volts and the average current is 0.5 ampere. Doing simple calculation, the average power results 2.5Watt or 25 Joules which is not true.

So let’s make this trick WITH THIS ORDER:

First square the voltage (and current)
Second take the average of the square
Then take the square root of the average

The square of the voltage waveform will be

enter image description here

And the average is 50V^2 (not 50^2 volt). From this point forget about the waveform. Only values. Square root of the above value is 7,071…volt RMS. Doing the same to the current will found 0,7071..A RMS And the average power will be 7,071V x 0,7071A= 5 Watt

If you are try to do the same with RMS power the result will be a meanigless 7,071Watt.

So the only equivalent heating power is the average power and the only way to calculate is to use the rms values of voltage and current

— GR Tech
소스

저항에서 소비되는 평균 전력을 순간 전력의 평균으로 계산할 수 없습니까? OP가 요청한 수학적 증거는 어디에 있습니까?

— Joe Hass

For some complex waveforms off course we have to integrate them using time intervals close to zero for exact average values. I avoide to use any math at all, that's why I use square wave which is very easy to see the meaning of average. RMS is also an average value.

— GR Tech

It seems to me that you show that the actual average power is 5 watts and that RMS V * RMS I = 5 watts demonstrating, for this case, that the OP is correct. You also show that, in this case, average V * average I = 2.5 watts.

— George White

OK I understand. Language problem again. What I was try to say is that the calculation Vavg x Iavg is not correct. Thanks for discourage me!

— GR Tech

If "RMS is also an average value" then why isn't the RMS value of the power line voltage equal to 0.0V just like the average value?

— Joe Hass