통계 - 혁명의 볼륨 [닫힌]

주어진 문제는 아래 그림의 볼륨을 묻습니다.

반경이 각각 20 및 12 cm 인 2 개의 원형베이스 포물선과 y 축을 중심으로 회전 할 때 16 cm의 고도를 다소 형성하는 평면도가 있습니다. 이 책에 따르면 그 대답은 15388 입방 센티미터이고 나의 첫 시도에 대한 나의 대답은 4352 입방 센티미터였다. 저자의 실수인지 내 것인지 알고 싶습니다.

나는 사용했다. Pappus-Guldinus 정리 II - 혁명의 단색 수동으로 계산하고 답을 검증하기 위해 2 개의 원형베이스 포물선 수식을 사용했습니다. 그러나 나는 아직도 4352pi cu cm을 얻는 것을 끝내었다.

tl; dr : 나는 너와 같은 대답을 가지고있다. 책이 잘못 나온 것 같습니다.

먼저, 정점이 원점에 있다고 가정하여 포물선을 풀어야합니다. $$ f (x) = y = a (x-h) ^ 2 + k $$ $ h = k = 0 $ 인 경우 : $$ f (20) = y + 16 = a (20) ^ 2 $$ $$ f (12) = y = a (12) ^ 2 $$ $ f (20) - f (12) $는 다음을 제공합니다 : $$ a (400) -a (144) = y + 16-y $$ $$ a (256) = 16 $$ $$ a = \ frac {16} {256} = \ frac {1} {16} $$ 따라서 $ y = \ frac {1} {16} x ^ 2 $는 포물선을 움직이는 방정식입니다.

이제 복합 모양의 중심을 찾으십시오. 문제와 포물선 방정식으로부터 이미지를주의 깊게 분석 한 결과 우리는 위의 공식에 의해 정의되고 $ y $ 축과 $ y = 9 $와 $ y = 25 $. 또한 $ y $ 축 ($ \ bar {X} $)에 대한 복합 모양의 중심이 다음과 같습니다.

$$ \ bar {X} = \ frac {\ sum \ bar {x} A} {\ sum {A}} $$ 여기서 $ \ bar {x} $는 구성 요소 모양의 $ y $ 축에 대한 중심이며 $ A $는 구성 요소 모양의 영역입니다.

다음을 사용하여 반 파라볼 릭 영역의 중심을 찾으십시오.

우리가 얻는 $ y $ (또는 $ h $)를 풀기 위해 $ y = \ frac {1} {16} x ^ 2 $를 사용하면 :

\ frac {2 (a_1)} {3} \ right) - \ $ \ bar {X} = \ frac {\ left (\ frac {3} 왼쪽 (\ frac {2 (a_2)} {8} \ right) \ left (\ frac {2 (a_2) (h_2)} {3} \ right) )} {3} \ right)} \\ left (\ frac {2 (a_2)}

$ \ bar {X} = \ frac {\ left (\ frac {3 (20)} {8} \ right) \ left (\ frac {2 (20) (25}} {3} \ right) 왼쪽 (\ frac {3 (12)} {8} \ 오른쪽) \ left (\ frac {2 (12) (9)} {3} \ right) )} {3} \ right)} $$ (3) \ right) \ left (\ frac {2 (12) (9)

$ 4.5 \ right {\ left (333.333 \ right)} - ​​$$ \ bar {X} = \ frac {\ left (7.5 \ 오른쪽) \ left (333.333 \ right) \ left (72 \ right)} $$

$$ \ bar {X} = 8.326 $$

마지막으로, 축을 중심으로 스윕 된 영역의 체적이 상기 축을 중심으로 회전 할 때 중심에 의해 스크라이브 된 원의 외접과 동일한 길이를 따라 돌출 된 동일한 영역의 체적과 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

스윕 될 영역은 $ 333.333-72 = 261.333 $이고, y 축에 대해 회전 된 중심에 의해 스크라이브 된 원의 원주는 $ 2 \ pi (8.326) \ approx52.313 $이며 $ 13,671.3 $ 또는 $ 4352 \ pi $ $ cm ^ 3 $.