2 차원의 강성 텐서

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평면 변형 / 응력 관계는 일반적으로 2D 재료에 사용됩니다. 2D 공간에서 2D 재료가 작용한다고 생각하는지 궁금합니다. 고전에 부과 된 평면 변형 / 응력 관계보다는 3D의 강성 텐서. 그러한 공식이 현실 세계에 적합한 상황이 있습니까? 통찰력에 감사드립니다!

[\begin{array}{ccc} {기음}_{1111} & {기음}_{1122} & {기음}_{1112} \\ {기음}_{2222} & {기음}_{2212} \\ {기음}_{1212} \end{array}]

$\begin{equation*} \left[ \begin{array}{ccc} C_{1111} & C_{1122} & C_{1112} \\ & C_{2222} & C_{2212} \\ & & C_{1212} \end{array} \right] \end{equation*}$

elastic-modulus

— 남자
소스

나는 당신이 무엇을 요구하는지 이해하기 위해 정말로 이해하고 있습니다. "2D"재료 란 무엇입니까? 비행기가 아닌 "2D"공간을 계획하고 있습니까?

— agentp

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위에서 Apostolos가 언급했듯이 실제 세계는 복잡합니다. 여러분이 작성한 강성 텐서, 특히 등방성 재료를 다룰 때 평면 응력 또는 변형을 가정하면 대부분의 응용 분야에 충분합니다. 가정하지 않으면 6 개의 상수를 찾아야합니다. 반드시 쉬운 것은 아닙니다.

강성 텐서를 3D로 확장하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

[\begin{matrix} σ_{1} \\ σ_{2} \\ σ_{삼} \\ σ_{4} \\ σ_{5} \\ σ_{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {기음}_{11} & {기음}_{12} & {기음}_{13} & {기음}_{14} & {기음}_{15} & {기음}_{16} \\ {기음}_{21} & {기음}_{22} & {기음}_{23} & {기음}_{24} & {기음}_{25} & {기음}_{26} \\ {기음}_{31} & {기음}_{32} & {기음}_{33} & {기음}_{34} & {기음}_{35} & {기음}_{36} \\ {기음}_{41} & {기음}_{42} & {기음}_{43} & {기음}_{44} & {기음}_{45} & {기음}_{46} \\ {기음}_{51} & {기음}_{52} & {기음}_{53} & {기음}_{54} & {기음}_{55} & {기음}_{56} \\ {기음}_{61} & {기음}_{62} & {기음}_{63} & {기음}_{64} & {기음}_{65} & {기음}_{66} \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{1} \\ ε_{2} \\ ε_{삼} \\ ε_{4} \\ ε_{5} \\ ε_{6} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \varepsilon_{4} \\ \varepsilon_{5} \\ \varepsilon_{6} \end{bmatrix}$

행렬이 대칭이 아니라고 가정하면 36 개의 상수를 찾아야하기 때문에 2D 경우보다 훨씬 나쁩니다. 이것은 재료의 가장 완벽한 특성입니다. 문제는 테스트가 매우 어렵다는 것입니다! 따라서 필요한 상수의 수를 단순화하고 줄이기 위해 가정합니다.

$E$ $\nu$ $G$

[\begin{matrix} ε_{1} \\ ε_{2} \\ ε_{삼} \\ ε_{4} \\ ε_{5} \\ ε_{6} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{1}{{이자형}_{1}} & - \frac{ν_{21}}{{이자형}_{2}} & - \frac{ν_{31}}{{이자형}_{삼}} & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{ν_{12}}{{이자형}_{1}} & \frac{1}{{이자형}_{2}} & - \frac{ν_{32}}{{이자형}_{삼}} & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{ν_{13}}{{이자형}_{1}} & - \frac{ν_{23}}{{이자형}_{2}} & \frac{1}{{이자형}_{삼}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2 지_{23}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2 지_{13}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2 지_{12}} \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{1} \\ σ_{2} \\ σ_{삼} \\ σ_{4} \\ σ_{5} \\ σ_{6} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \varepsilon_{4} \\ \varepsilon_{5} \\ \varepsilon_{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{21}}{E_2} & -\frac{\nu_{31}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{12}}{E_1} & \frac{1}{E_2} & -\frac{\nu_{32}}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu_{13}}{E_1} & -\frac{\nu_{23}}{E_2} & \frac{1}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G_{23}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G_{13}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2G_{12}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6} \end{bmatrix}$

— enea19
소스

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현실에서는 이것이 완벽하고 균질 한 것이 없기 때문에 이것이 "실제"강성입니다. 우리는 전체적인 그림이 없거나 이해하기 쉽지 않기 때문에 평면 응력이나 얼룩을 가정하여 상황을 단순화합니다.

생각해 볼 간단한 예는 나무입니다. 목재는 각 방향 (이방성 재료)에서 강성이 다릅니다.

— Apostolos Grammatopoulos
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