비열이 온도에 따라 변할 때 어떻게 열 에너지의 변화를 계산할 수 있습니까?

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많은 물질은 특히 온도 변화가 커짐에 따라 온도에 따라 변하는 비열이 있습니다. 이 경우 물체가받는 열 에너지를 어떻게 계산합니까? 시작 온도 또는 종료 온도에서 비열 용량을 간단히 사용할 수 있습니까?

— 최대 닝
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지속적인 상황에서 지렛대 힘을 계산하는 것에 대한 나의 대답과 비슷한 맥락에서 ; 통합을 사용해야합니다.

익숙한 표준 열 법칙을 취하고 를 미분 값 바꾸는 것으로 시작합니다 이 새로운 방정식은 다음과 같습니다. 온도의 무한대 (매우 작은) 변화에 대해 열에 무한대 (매우 작은) 변화가 나타납니다. 무한한도의 한계에서는 모든 것이 선형이므로이 간단한 선형 방정식은 여전히 유효합니다. 이제 통합 사용하여 열 유속의 무한한 변화를 모두 요약하면 실제로 통합을 원하지 않으면 괜찮습니다. Matlab 은이 작업을 수행하는 데 아무런 문제가 없으며 Matlab 접근 방식은 를 설명하는 분석 함수가없는 경우에도 작동합니다

Δ Q = c m Δ T

$\Delta Q=c\ m\ \Delta T$

Δ

$\Delta$

d Q = c (T) m d T .

$dQ=c(T)\ m\ dT.$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} c (T) d T .

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}c(T)\ \ dT.$

c (T)

$c(T)$ (즉, 데이터 만 있음). Matlab에 액세스 할 수 없으면 Python 을 사용하십시오 . 무료이며 오픈 소스이며 믿을 수 없을만큼 강력합니다.

— 크리스 뮬러
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나를 잘못 생각하지 마라. 나는 파이썬의 열렬한 팬이지만 GNU Octave 는 MATLAB의 무료 대안 역할에 더 잘 맞는 것처럼 보인다. 우선, .mat 파일과 호환됩니다.

— Air

@Air 그것은 사실 일 수 있습니다. 나는 실제로 Octave를 사용한 적이 없다. Matlab에서 Python으로 전환하는 것은 어려운 일이 아니며 Octave보다 더 잘 개발 된 언어라고 생각합니다. 또한 파이썬의 숫자 통합 루틴 (SciPy의 일부)은 여러 번 사용했기 때문에 강력합니다.

— Chris Mueller

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둘 다. 이러한 상황에서는 "간단한"선형 솔루션이 없습니다. 당신은 도중에 각 온도에서 흡수되는 증분 열을 더하기 위해 적분법을 사용해야합니다. 이 계산이 단순한 곱셈이되는 유일한 시간은 적분되는 양 (비열)이 적분 범위에 걸쳐 일정 할 때입니다.

— 데이브 트위드
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둘 다.

이미 지적했듯이, 이것은 쉬운 일이 아니지만 제안 된 방법은 다음과 같습니다.

특정 양의 연료를 정확하게 측정 한 다음 해당 연료를 태우고 매우 일정하거나 잘 알려진 비열 용량을 가진 재료를 사용하여 온도를 기록하여 시험편이 시간에 얼마나 많은 에너지를 받는지 결정합니다.
동일한 장치에서 동일한 기하학적 특성이지만 다른 재료의 시험편으로 동일한 양의 연료를 사용하고 실험을 반복하십시오. 이번에는 1 단계를 기준으로 테스트 피스가받는 에너지를 가정하고 기록 된 온도를 사용하여 재료의 특정 열 용량을 결정합니다.
이제이 재료에 대한 특정 열 용량 곡선이 있으므로 다른 재료처럼 사용하지만 측정 한 온도 범위에 걸쳐 곡선을 통합하여 흡수되는 열 에너지의 양을 결정하십시오.

이 방법은 완벽하지 않고, 열 교환의 일부 요소가 비선형 의존성을 가지기 때문에 온도에 대해 완벽하게 유효하지 않은 선형 중첩에 의존하지만 기본 수준에서 재료를 "교정"하는 나쁜 방법은 아닙니다.

— 아무도
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재료를 모델에 맞추려고합니다. 디바이 모형은 "표준"입니다. (죄송합니다. 위키 기사는 약간 위에 있습니다.) Debye 모델에서 재료는 하나의 "Debye 온도"에 맞을 수 있습니다.

요청에 따라 수정하십시오. (그러나 나는 내 대답보다 위키 기사를 신뢰할 것이다.) 고온에서 (너무 높지는 않지만) 재료는 3kT * N과 같은 열 용량을 가지며, 여기서 N은 원자의 수이다. (열용량을 계산하는 것은 전자가 아니라 원자 일 뿐이다. 흥미 롭다 ...) 온도가 떨어지면 원자가 떨리는 것을 멈추고 일부 진동 모드는 "동결"된다. 모드는 높은 에너지를 소비하므로 여기에 충분한 열 에너지가 없습니다. Debye 온도는 모드가 정지되는 대략적인 측정 값이며 열 용량이 감소하기 시작합니다.

— 조지 헤롤드
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링크가 아닌 정보를 조금 더 추가 할 수 있습니까?

— hazzey

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방정식 인 경우 이래로 문제가 간단합니다 (통합이 문제를 일으키지 않는 한 Chris Mueller가 대답했습니다. $Cp=f(T)$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} C p (T) d T

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}Cp(T)\ \ dT$

및 만 알고 있음을 인정하십시오 . 따라서 선형 보간하여 를 얻습니다. 그러면 통합하면 는 알려진 의 평균값 만 사용해야한다는 것을 보여줍니다 . $Cp(T_i)$ $Cp(T_f)$

C p (T) = C p (T_{i}) + \frac{C p (T_{f}) - C p (T_{i})}{T_{f} - T_{i}} (T - T_{i})

$Cp(T)=Cp(T_i)+\frac{Cp(T_f)-Cp(T_i)}{T_f-T_i} (T-T_i)$

Δ Q = m \frac{C p (T_{f}) + C p (T_{i})}{2} (T_{f} - T_{i})

$\Delta Q=m\, \frac{Cp(T_f)+Cp(T_i)}2 \,(T_f-T_i)$

C p

$Cp$

— 클로드 레이 보비치
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이것은 함수가 선형 일 때 정확히 맞습니다 . 다른 모든 경우에 그것은 좋은 또는 나쁜 근사치에 따라 근사치,의 와에이 방법 과 많은 기능 변화와

c_{p}

$c_p$

δ T

$\delta T$

c_{p}

$c_p$

T

$T$

— mattia.b89

@ mattia.b89. 당신은 완전히 정확하지만 실제적인 관점에서 제한된 온도 범위에서 는 거의 일정하며 선형 근사치가 상당히 좋습니다. 그렇지 않은 경우에는 더 많은 정보가 필요합니다 (실험 데이터에 적합하고 통합).

C p

$Cp$

— Claude Leibovici