Navier-Stokes 방정식의 점성 응력 텐서에서 두 번째 항의 물리적 해석은 무엇입니까?

나는이 답변을 잠시 동안 찾고있다. 나는 많은 텍스트를 읽었고 심지어 온라인에서 강의를 보았지만 종종 설명하고 방금 언급하지 않는 경우가 종종 있습니다. Navier-Stokes 방정식의 점성 응력 항은 다음과 같습니다.

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{유} + (\nabla \vec{유})^{티})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

이제 라는 용어 는 단지 속도 확산이기 때문에 이해하기 쉽지만 . 이 용어를 확장 한 후 나는 결국 $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{유})^{티} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial 엑스} \nabla \cdot \vec{유} \\ \frac{\partial}{\partial 와이} \nabla \cdot \vec{유} \\ \frac{\partial}{\partial 지} \nabla \cdot \vec{유} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

이것은이 효과가 발산이없는 속도 장에 존재하지 않는다는 것을 암시하는 것처럼 보이지만,이 용어가 실제로 무엇을 의미하는지에 대해서는 여전히 물리적 인 직관을 찾을 수 없습니다. 이 용어가 실제로 무엇을 나타내는 지 이해하는 사람이 있습니까?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— 아담 오브라이언
소스

추가 :이 용어는 비 압축 흐름에없는 것이 맞습니다. 밀도의 기울기로 인한 운동량의 확산을 고려한 것처럼 보입니다. 인접한 두 개의 유체 구획은 속도는 같지만 운동량은 다를 수 있으며, 이들 사이에 전단 응력은 없지만 운동량이 확산됩니다.

— Dan

이 질문은 공학 주제입니다. 이 질문에 대한 다른 사이트를 제안하는 몇 가지 의견을 제거했습니다. 부분적으로 방정식에 대한 이해를 요구하기도하지만 이것이 연속체 역학의 일부이기 때문입니다. 이 괜찮습니다 것을 기억하십시오 사이트의 비트 질투

관련 메타 토론 : meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

0이 아닌 밀도 구배로 인해 모멘텀 구배에 관한 점이 좋았습니다. 답변 해 주셔서 감사합니다.

— Adam O'Brien

답변:

물리적 해석을 위해 두 용어를 분리해서는 안됩니다. 용어 는 변형률 텐서 입니다. 유동 유체가 존재하기 때문에 운동량 플럭스 (또는 응력)는 . NS 방정식에서 두 항은 힘 밀도 (단위 부피당 힘)로 생각할 수 있습니다. 비 압축 흐름의 경우 두 번째 항이 0 인 것이 맞습니다 ( 여기 참조 ). $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

업데이트 : 변형률 텐서의 완전한 파생은 복잡하며 여기서 범위를 벗어날 수 있습니다. 관심이 있으시면 Whitaker의 Fluid Mechanics 소개를 참조하십시오. 간단히 말해, 텐서 는 변형률과 회전 운동과 같은 견고 함을 나타냅니다. 모든 텐서는 다음과 같은 방법으로 분해 할 수 있습니다. $\nabla \vec{u}$ 첫 번째 항은 일반적으로 변형률 텐서라고하며 대칭이며 강성이없는 회전 운동을 포함하지 않음을 알 수 있습니다. 두 번째 용어는 일반적으로 와동 텐서라고 불리우며, 비대칭이며, 변형률에 영향을 미치지 않으며 회전 운동과 같이 강성을 나타냅니다.

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

— 살로몬 터그 먼
소스

이것이 내가 찾은 것이지만, 정답과 전치 행렬을 포함하는 이유를 이해하기 위해 대답을하기 전에 변형률 텐서의 유도와 같은 것을 찾으려고했습니다.

— Trevor Archibald

감사합니다. 제안한대로 지오메트리에서 변형률 텐서 파생을 통해 많은 도움이되었습니다.

— Adam O'Brien

@sturgman에 동의합니다. 개별 부분을 보지 말고 ints 컨텍스트에서 이해하려고 노력하십시오.

Navier-Stokes-Equation의 매우 기본적인 버전을 살펴보면 ( Einstein-Notation 사용 ) :

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = ρ k_{i} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

원래의 밑줄 부분은 다시 쓸 수 있습니다.

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}]) = η (\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

어느 것이나

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = \underset{I}{\underset{⏟}{ρ k_{i}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial x_{i}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

기호 표기법에서는 다음과 같아야합니다.

ρ \frac{D \vec{u}}{D t} = ρ \vec{k} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{u}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
소스

죄송합니다 :-( 의도가 아닙니다.

— peterh-Monica Monica