먼지가 공기 중에 침전되는 데 얼마나 걸립니까?

이를 관리하기 쉬운 질문으로 만들기 위해 몇 가지 단순화를 추가해 보겠습니다.

먼지 입자는 반경 과 밀도 의 균일 한 구체로 잘 설명 할 수 있습니다 . $R$ $\rho$
공간이 밀폐되어 있으며 대량 흐름이 없습니다. 즉, 공기는 여전히 거시적 인 의미입니다.
공기는 표준 온도 및 압력 (STP)에 있습니다 . 및 입니다. $T=20\ ^\circ\mathrm{C}$ $P=1\ \mathrm{atm}$

이러한 조건에서 먼지 입자의 침전 시간은 얼마입니까? Brownian의 공기 운동은 어떤 크기 / 밀도에서 중요합니까?

fluid-mechanics air-quality

— 크리스 뮬러
소스

답변:

공기 중 고체 입자 침전 시간은 주로 입자의 크기에 따라 다릅니다. 말하는 크기 범위에 따라 다른 힘이 중요해 지므로 간결하고 정확한 대답을하기가 어렵습니다.

앵무새를 참조하는 것이 아니라 중요한 점을 합성하기 위해 최선을 다하겠습니다. 대기 질 분야의 실제 응용 분야에 관한 한, 내가 추천하는 텍스트는 Cooper & Alley의 대기 오염 제어 입니다. 특히, 3.3 절 : 유체의 입자 거동에서이 답변에 대한 많은 세부 정보를 얻을 것입니다.

중력 정착 개요

먼지는 갈릴레오의 보체 공 처럼 행동하지 않습니다 . 다른 크기의 작은 입자는 다른 속도로 떨어집니다. 고체 입자의 경우, 침강 속도의 변화는 주로 항력의 영향으로 인한 것입니다.

브라운 운동은 매우 작은 입자를 "주저 앉아"움직이지 않도록 할 수 있습니다. 충분히 작은 먼지 입자 는 무기한으로 혼입 될 수 있지만, 실제로 말하면, 공기와 관련이있는 것은 실제로 브라운 운동과는 달리 완벽하게 정지되어 있지 않습니다. 대기 질과 관련하여, 우리는 주로 충격 (예를 들어, PM 습식 세정기의 물방울 ) 또는 침착 (예 : 도로 근처의 단풍 )을 고려할 때 브라운 운동을 고려 합니다. 이러한 메커니즘 중 어느 것도 순수한 중력 침강의 경우와 관련이 없습니다.

실제로, 고체 입자가 불연속 공기 분자의 움직임을 고려하기에 충분히 작아지면, 우리는 그것이 실제로 스토크 스 법칙이 암시하는 것보다 약간 더 빨리 정착한다는 것을 알게 됩니다. 실험적으로 결정된 Cunningham 슬립 보정 계수 를 적용 하여 Stokes 항력 계수를 줄입니다. 공기의 보정 계수는 다음과 같이 입자 직경 및 평균 자유 경로 이 있습니다. $d_p$ $\lambda$

C = 1 + 2.0 \frac{λ}{d_{p}} [1.257 + 0.40 \exp (- 0.55 \frac{d_{p}}{λ})]

$C = 1 + 2.0 \frac{\lambda}{d_p} \left [ 1.257 + 0.40 \exp(-0.55 \frac{d_p}{\lambda}) \right ]$

"충분히 작은"실제로 의미하는 바에 관해서, Cooper & Alley 텍스트는 다음과 같이 말합니다 :

1 미크론보다 작은 입자의 경우, 슬립 보정 계수는 항상 중요하지만 입자 크기가 5 미크론 이상으로 증가함에 따라 1.0에 빠르게 접근합니다.

그것은 당신이 관심있는 모든 것이 상대적으로 큰 입자 일 때 보정 계수를 계산하는 데 필요한 시간 또는 처리주기를 절약하기에 충분할 수 있습니다.

운동 방정식

다음과 같이 한 차원에서 운동 방정식을 도출 할 수 있습니다.

유체의 상대 속도로 입자에 뉴턴의 2 번째 법칙을 적용합니다. * $m_{p} v_{r}^{'} = F_{g} - F_{B} - F_{D}$ $m_p v_r' = F_g - F_B - F_D$
스톡스 법칙 (Stokes 'law)은 유체의 점도 및 입자의 속도 및 직경과 관련하여 항력을 제공한다. 부력은 변위 된 유체의 무게와 같습니다. $m_{p} v_{r}^{'} = m_{p} g - m_{a i r} g - 3 π μ d v_{r}$ $m_p v_r' = m_p g - m_{air} g - 3 \pi \mu d v_r$
입자의 질량으로 나눕니다. $v_{r}^{'} = g - \frac{m_{a i r}}{m_{p}} g - \frac{3 π μ d}{m_{p}} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{m_{air}}{m_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{m_p} v_r$
입자의 부피와 변위 된 공기의 부피가 동일한 부피 및 밀도의 곱으로 질량을 표현합니다. $v_{r}^{'} = g - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}} g - \frac{3 π μ d}{ρ_{p} V} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{\rho_{air}}{\rho_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{\rho_p V} v_r$
사용 , 항력 용어를 단순화하고 왼쪽으로 이동한다. $V_{sphere} = \frac{1}{6} \pi d^3$ $v_{r}^{'} + \frac{18 μ}{ρ_{p} d^{2}} v_{r} = (1 - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}}) g$ $v_r' + \frac{18 \mu}{\rho_p d^2} v_r = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

이것은 입자를 침전시키기위한 다음 특성 시간 을 나타내는 알려진 계수 (STP에서)를 가진 선형 ODE입니다 .

τ = \frac{ρ_{p} d^{2}}{18 μ}

$\tau = \frac{\rho_p d^2}{18 \mu}$

특성 시간은 레이놀즈 수를 사용하여 다른 시스템이 유사한 흐름 체계를 가질 때를 식별하는 방법과 유사하게 유체에 분산 된 다른 입자 시스템의 동작을 비교하는 데 유용한 매개 변수입니다. Cunningham 슬립 보정 계수를 적용하면 슬립 보정 시간 및 다음 섹션에서 사용할 모션 방정식이 나타납니다. $\tau' = C \tau$

v_{r}^{'} + \frac{v_{r}}{τ^{'}} = (1 - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}}) g

$v_r' + \frac{v_r}{\tau'} = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

_{*이 예의 좌표계는 하강 속도가 양수가되도록 정의됩니다.}

터미널 속도

공기 중에 떨어지는 고체 입자의 경우 은 0에 가깝습니다. 이 가정 하에서, 운동 방정식에서 으로 설정 하면 입자의 최종 침전 속도가 나타납니다. $\dfrac{\rho_{air}}{\rho_p}$ $v_r' = 0$

v_{t} = τ^{'} g

$v_t = \tau' g$

이 터미널 속도를 사용하여 운동 방정식의 해를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\frac{v_{r}}{v_{t}} = 1 - e^{\frac{- t}{τ^{'}}}

$\frac{v_r}{v_t} = 1 - e^{-t \over \tau'}$

시간 에 의해, 입자는 이미 그의 종말 속도의 98 %에 도달했다. 먼지 입자의 특성 시간을 계산하면 몇 분의 1 초 밖에 걸리지 않음을 알 수 있습니다. 먼지 입자는 대부분의 침전 시간을 터미널 속도에서 떨어지게합니다. 속도 자체는 입자 직경에 따라 크게 달라 지지만 미세 입자 가 몇 미터 만 정착하는 데 몇 시간에서 며칠이 걸릴 수 있습니다 . $t = 4 \tau'$

큰 먼지

이것은 작은 먼지에도 잘 맞지만 눈에 들어와 기침을 일으키는 더 큰 물건은 어떻습니까? Cooper & Alley의 나쁜 소식 :

최종 속도에서 10-20 미크론보다 큰 입자의 경우, 레이놀즈 수는 너무 높아 스토크 스 체제 분석이 유효하지 않습니다. 이 더 큰 입자의 경우 침전 속도를 얻기 위해 경험적 수단이 필요합니다 ...

"실증적 수단"은 그것을 스스로 알아 내거나 이전 실험의 결과에 못생긴 십진 지수로 적합 곡선을 그리는 차트를 읽는 데 익숙해 지는 좋은 방법입니다 .

— 공기
소스

개별 입자의 경우 스톡스 법칙을 사용할 수 있습니다 . 여기서 는 공기의 동적 점도이며 계산하기 쉽습니다 . 스토크 스 법칙을 사용하면 먼지 입자의 초기 높이를 알고 있다고 가정하고 각 입자가 완전히 다른 위치에서 시작될 수 있기 때문에 대량으로는 편리하지 않을 수 있습니다. 즉, 이는 큰 입자 시스템의 모델이 아닙니다.

v_{terminal} = \frac{2 g R^{2} (ρ_{particle} - ρ_{air})}{9 μ}

$v_{\text{terminal}}=\frac{2gR^2(\rho_{\text{particle}}-\rho_{\text{air}})}{9\mu}$

μ

$\mu$

반감기로 주어진 다른 반경의 입자에 대한 더 정확한 데이터 를 찾았 습니다. 약간 더 많은 데이터가 여기 있습니다 .

여기 에는 먼지 반경과 침전 시간 사이의 비선형, 역 지수 관계를 보여주는 석탄, 철 및 시멘트의 침전 시간 그래프가 제시되어 있습니다 .

정착 이론은 여기 에서 태양 성운에 적용 됩니다 . 여기에 얼마나 많은 수식을 적용 할 수 있는지 잘 모르겠지만 일부는 유용 할 수 있습니다.

t = \frac{ρ_{dust}}{ρ_{air}} \frac{R}{v_{thermal}}

$t=\frac{\rho_{\text{dust}}}{\rho_{\text{air}}}\frac{R}{v_{\text{thermal}}}$ 여기서 조건을 STP로 설정하면 적용 범위가 크게 다르지만 더 나은 답변을 얻을 수 있습니다!

v_{thermal} = \sqrt{\frac{8 k_{B} T}{π μ m_{particle}}}

$v_{\text{thermal}}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi \mu m_{\text{particle}}}}$

— HDE 226868
소스

"개별 입자의 경우 ..."로 시작합니다. 이 아이디어는 입자가 짙은 안개에도 유효합니까?

— Trilarion

@Trilarion 그것은 그렇습니다, 그러나 당신은 각각에 대해 다른 계산을해야 할 것입니다.

— HDE 226868

@Air Whoops, 수학을 고쳤다. 높이에 대한 의미는 단순히 터미널 속도 만 알면 침전 시간을 계산할 수 없다는 것입니다. 초기 조건을 알아야합니다.

— HDE 226868

진실. 이 성운 슬라이드는 정말 흥미 롭습니다. 이들은 "균일 구"접근법의 또 다른 한계를 야기하는데, 이는 서브 미크론 입자가 서로 결합하여 더 큰 서브 미크론 및 미세 입자를 형성하는 경향이 있다는 것이다. 그것의 일부는 반응성이거나 공기 중의 전구체로부터 형성된다. 많은 복잡성과 지속적인 연구가 많은 영역.

— Air

@Air 천체 물리학을 얼마나 좋아하는지, 그리고 특정 영역 (파편 디스크)이 연구되고 있다는 것을 감안할 때, 매우 다른 대기 질을 연구 할 때 새로운 것을 배우는 것은 매우 놀라운 일이었습니다.

— HDE 226868