레이놀즈 수 계산에서 특성 길이를 결정하는 방법은 무엇입니까?

레이놀즈 수는 식 의해 주어진다는 것을 이해합니다 $Re=\frac{\rho v L}{\mu}$ , 여기서 $\rho$ 는 밀도, $v$ 는 유체 속도, $\mu$ 는 동적 점도입니다. 주어진 유체 역학 문제에 대해 $\rho$ , $v$ 및 $\mu$ 가 사소하게 주어집니다. 그러나 특성 길이은 정확히 무엇 $L$ 입니까? 정확히 어떻게 계산합니까? 특성 길이를 자동으로 결정하기 위해 주어진 문제에서 무엇을 사용할 수 있습니까?

fluid-mechanics

— 폴
소스

왜 Reynoldsnumber가 유동 문제를 설명하는 유사성인지 설명 할 수 있습니까?

— rul30

답변:

몇 가지 의견과 답변에서 논의 된 것처럼 유익한 수학적 관점 에서이 질문에 접근하고 싶습니다. 주어진 답변이 유용하지만 추가하고 싶습니다.

일반적으로 사용 가능한 가장 작은 길이 스케일은 특성 길이 스케일입니다.
때로는 (예를 들어 동적 시스템에서) 특성 길이 스케일로 선택할 고정 길이 스케일이 없습니다. 이러한 경우 종종 동적 길이 스케일을 찾을 수 있습니다.

특징적인 길이 스케일 :

TL; DWTR는 : 에 대한 , 특성 길이 규모이고; 위한 , 특성 길이 스케일이다. 이것은 더 작은 길이 스케일이 (일반적으로) 특성 길이 스케일임을 의미합니다. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

다른 답변에서 논의 된 파이프 흐름 사례를 고려하십시오. 파이프 의 반경 과 길이 이 있습니다. 일반적으로 파이프 직경을 특성 길이 스케일로 사용하지만 항상 그렇습니까? 이것을 수학적인 관점에서 보도록하겠습니다. 무 차원 좌표를 정의합시다 : $R$ $L$

\bar{x} = \frac{x}{L} \bar{y} = \frac{y}{R} \bar{u} = \frac{u}{U} \bar{v} = \frac{v}{V} \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}

$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$

여기서 , , , 는 - 좌표 및 속도 스케일이지만 반드시 특성 스케일 일 필요는 없습니다. 압력 스케일 의 선택은 에만 유효합니다 . 사례 은 재조정이 필요합니다. $L$ $R$ $U$ $V$ $x$ $y$ $P=\rho U^2$ $\mathrm{Re}\gg1$ $\mathrm{Re}\ll1$

연속성 방정식을 무 차원 수량으로 변환 :

\nabla \cdot u = 0 \to \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \bar{v} = 0

$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$

이는 또는 이라고 가정하는 경우에만 해당됩니다 . 이것을 알고, 레이놀즈 수는 재정의 될 수 있습니다 : $\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$ $\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

R e = \frac{U R}{ν} = \frac{U}{V} \frac{R}{L} \frac{V L}{ν} = \frac{V L}{ν} = \hat{R e}

$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$

마찬가지로 Navier-Stokes 방정식 ( 성분 만 짧게 유지)을 변환 해 봅시다 : 여기서 레이놀즈 수는 자연스럽게 스케일링 과정. 그러나 기하 비율 에 따라 방정식의 크기를 다시 조정해야 할 수도 있습니다. 두 가지 경우를 고려하십시오. $x$

u \cdot \nabla u = - \frac{1}{ρ} \nabla p + ν △ u

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$

\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} [\frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u} + \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}]

$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$

R / L

$R/L$

파이프 반경은 파이프 길이보다 훨씬 작습니다 (예 : ). $R/L\ll1$

변환 된 방정식은 다음과 같습니다. 여기서 우리는 이라는 용어 가 매우 클 수 있고 적절하게 스케일링 된 방정식에는 계수 이하 만 있기 때문에 문제가 있습니다. 따라서 좌표, 속도 및 압력 의 재조정이 필요합니다 .
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{L}{R} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$ $O(1)$ $\bar{x}$ $\bar{v}$ $\bar{p}$ $\hat{x} = \bar{x} {(\frac{R}{L})}^{α} \hat{v} = \bar{v} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ 이렇게 조정 된 수량을 선택하면 연속 방정식이 다음과 같은 형식으로 유지됩니다. Navier-Stokes 재조정 된 수량에 대한 방정식은 다음과 같습니다. 이는 적절히 스케일링되고 값을 취할 때 이하의 계수 . 이는 압력 스케일에 재조정이 필요하지 않지만 길이 및 속도 스케일이 재정의되었음을 나타냅니다. $\partial_{\hat{x}} \bar{u} + \partial_{\bar{y}} \hat{v} = 0$ $\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$ $\bar{u} \partial_{\hat{x}} \bar{u} + \hat{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\hat{x}} \hat{p} + \frac{1}{R e} \partial_{\bar{y}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$ $O(1)$ $\alpha=-1,\,\beta=0$ $\hat{x} = \bar{x} \frac{L}{R} = \frac{x}{R} \hat{v} = \bar{v} \frac{R}{L} = \bar{v} \frac{V}{U} = \frac{v}{U} \hat{p} = \bar{p} = \frac{p}{ρ U^{2}}$ $\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$ 그리고 우리는 각각 와 대한 특성 길이와 속도 스케일 이 처음에 가정 된 것처럼 과 가 아니라 과 임을 알 수 있습니다. $x$ $v$ $L$ $V$ $R$ $U$
파이프 반경은 파이프 길이보다 훨씬 큽니다 (예 : ) $R/L\gg1$ .

변환 된 방정식은 다음과 같습니다. 이전의 경우와 마찬가지로 은 매우 클 수 있으며 크기를 조정해야합니다. 이 시간을 제외하고 우리는 좌표, 속도 및 압력 의 재조정이 필요합니다 : 다시 조정 된 수량을 선택하면 연속성 방정식이 다음과 같은 형식으로 유지됩니다.
$\bar{u} \partial_{\bar{x}} \bar{u} + \bar{v} \partial_{\bar{y}} \bar{u} = - \partial_{\bar{x}} \bar{p} + \frac{1}{R e} \frac{R}{L} \partial_{\bar{x}}^{2} \bar{u}$ $\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$ $\bar{y}$ $\bar{u}$ $\bar{p}$ $\hat{y} = \bar{y} {(\frac{R}{L})}^{α} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} {(\frac{R}{L})}^{- α} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{R}{L})}^{β}$ $\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$ $\partial_{\bar{x}} \hat{u} + \partial_{\hat{y}} \bar{v} = 0$ $\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$ 스케일 된 수량 산출에 따른 Navier-Stokes 방정식 : 계수가 또는 값을 취하면 더 작아집니다 . 이것은 길이, 속도 및 압력 스케일이 재정의되었음을 나타냅니다. $\hat{u} \partial_{\bar{x}} \hat{u} + \bar{v} \partial_{\hat{y}} \hat{u} = - \partial_{\bar{x}} \hat{p} + \frac{1}{\hat{R e}} \partial_{\bar{x}}^{2} \hat{u}$ $\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$ $O(1)$ $\alpha=1\,\beta=-2$ $\hat{y} = \bar{y} \frac{R}{L} = \frac{y}{L} \hat{u} = \bar{u} \frac{L}{R} = \bar{u} \frac{U}{V} = \frac{u}{V} \hat{p} = \bar{p} {(\frac{L}{R})}^{2} = \bar{p} {(\frac{U}{V})}^{2} = \frac{p}{ρ V^{2}}$ $\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$ 우리는 각각에 대한 특성 길이, 속도 및 압력 스케일 볼 , 및 없는 , , 시작하지만에서 가정으로 , 및 . $x$ $v$ $p$ $R$ $U$ $\rho U^{2}$ $L$ $V$ $\rho V^{2}$

이 모든 점을 잊어 버린 경우 : 경우 은 특성 길이 스케일입니다. 위한 , 특성 길이 스케일이다. 이것은 더 작은 길이 스케일이 (일반적으로) 특성 길이 스케일임을 의미합니다. $R/L\ll1$ $R$ $R/L\gg1$ $L$

동적 길이 스케일 :

반 무한 영역으로 종의 확산을 고려하십시오. 한 방향으로 무한하므로 고정 길이 스케일이 없습니다. 대신에 '경계층 (boundary layer)'이 도메인으로 천천히 침투하여 길이 스케일이 설정됩니다. 특성 길이 스케일이라고도하는이 '침투 길이'는 다음과 같습니다.

δ (t) = \sqrt{π D t}

$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$

여기서 는 확산 계수이고 는 시간입니다. 도시 된 바와 같이 , 시스템의 확산 역학에 의해 완전히 결정되기 때문에 관련된 길이 스케일 ( 은 없다 . 그러한 시스템의 예는 이 질문에 대한 나의 대답을 참조하십시오 . $D$ $t$ $L$

— 놀 루이지
소스

당신은에 의해 정확히 무엇을 의미합니까 사용할 수 는 "작은 말할 때 사용할 수 길이 규모"? 무엇을 사용할 수 있고 무엇을 사용할 수 없습니까?

— Paul

@Paul 'available'은 길이, 높이, 너비, 직경 등과 같은 명확한 기하학적 길이 스케일과 관련이 있습니다. 이는 훨씬 덜 명확하고 시스템의 역학에 의해 결정되는 동적 길이 스케일과 대조됩니다.

— nluigi

사용 가능한 다른 길이와 달리 일반적으로 "가장 작은 길이"를 사용하는 데 대한 정당성이 있습니까?

— Paul

@Paul 그라디언트는 일반적으로 가장 크므로 대부분의 전송은 작은 길이의 스케일에서 발생합니다

— nluigi

함께 해줘서 고마워 idk가 올바른 경우

— Dan Powers

이것은 실용적이고 경험적인 질문이며, 수학으로 해결할 수있는 이론적 인 질문은 아닙니다. 답을 구하는 한 가지 방법은 레이놀즈 수가 물리적으로 의미하는 것부터 시작하는 것입니다. 이는 유동 필드에서 "일반적인"관성력과 점성력의 비율을 나타냅니다.

따라서 일반적인 흐름 패턴을보고 힘의 비율을 나타내는 최적의 길이 측정을 선택합니다.

예를 들어, 원형 파이프를 통한 흐름에서 점성 (전단) 힘은 파이프 축에서 벽까지의 속도 프로파일에 따라 달라집니다. 파이프 축을 따라 속도가 동일하게 유지되면 반경을 두 배로 늘리면 축과 벽 사이의 전단 속도가 절반으로 줄어 듭니다 (속도가 0 임). 따라서 반경 또는 직경은 특성 길이에 적합한 선택입니다.

반경이나 지름을 선택하면 분명히 Re가 2 배씩 달라 지므로 실제로 모든 사람이 동일한 선택을하고 층류에서 난류로의 전환을 위해 모두 동일한 임계 값 Re를 사용합니다. 실제 엔지니어링 관점에서 파이프의 크기는 측정하기 쉬운 직경이기 때문에 직경으로 지정되므로 Re의 직경도 사용할 수 있습니다.

대략 원형 인 파이프의 경우, 파이프의 원주 가 실제로 가장 중요한 길이라고 비슷한 종류의 물리적 인수로 결정할 수 있으므로 다음과 같이 정의 된 "동일 직경"을 사용하여 결과를 원형 파이프와 비교할 수 있습니다. (둘레 / 파이).

반면에 파이프 길이 는 유체 흐름 패턴에 큰 영향을 미치지 않으므로 대부분의 경우 Re의 특성 길이를 잘못 선택합니다. 그러나 길이가 직경보다 훨씬 작은 매우 짧은 "파이프"에서 흐름을 고려하는 경우 길이는 흐름을 설명하는 매개 변수로 사용하기에 가장 좋은 숫자 일 수 있습니다.

— 알레프 제로
소스

나는 수학이 여기서 도움이 될 수 없다는 당신의 진술에 동의하지 않습니다. 설명하는 절차는 경계 레이어와 같이 명백한 길이 스케일이없는 많은 경우에 사용되지 않습니다. 이것이 바로 문제입니다. 지배 방정식의 치수 분석은 층류 및 난류 경계층, 예를 들어 층류 경계층 두께 스케일링 및 점성 길이 스케일에서 관련 길이 스케일을 찾는 데 상당히 도움이되었습니다. 열 기둥의 원거리 스케일링은 제안하는 분석 방법이 훨씬 덜 분명하지만 치수 분석에 도움이되는 또 다른 경우입니다.

— Ben Trettel

@ BenTrettel-치수 분석이 특성 길이 스케일을 결정하는 데 크게 도움이 될 수 있음에 동의합니다. '간단한'예는 내 대답을 참조하십시오.

— nluigi

어떤 용어 그룹 (길이 또는 시간 척도보다 일반적인)을 결정하는 세 가지 주요 방법이 있습니다. 첫 번째는 수학에 의한 것으로, 문제 또는 유사하거나 적절한 문제를 분석적으로 해결하고 어떤 용어가 나타나는지 확인하고 상황을 적절하게 단순화하는 선택을하는 것입니다 (아래에 자세히 설명). 두 번째 방법은 시행 착오에 의한 것입니다. 세 번째는 일반적으로 과거의 다른 누군가가이 문제 또는 관련 분석에서 이미 언급 한 분석을 수행 한 경우에 우선합니다.

이론적 분석을 수행하는 방법에는 여러 가지가 있지만 엔지니어링에서 유용한 방법 중 하나는 비차 원화 지배 방정식입니다. 때로는 파이프 흐름의 경우와 마찬가지로 특성 길이가 분명합니다. 그러나 다른 경우에는 자유 전단 흐름이나 경계층의 경우와 같이 명백한 특성 길이가 없습니다 . 이 경우 특성 길이를 자유 변수로 설정하고 문제를 단순화하는 특성을 선택할 수 있습니다 . 특성화되지 않은 시간 및 길이 스케일을 찾는 다음과 같은 제안이있는 비차 원화에 대한 유용한 참고 사항 입니다.

(항상) 가능한 한 많은 비 차원 상수를 동일하게 만드십시오.

(보통) 초기 또는 경계 조건에 나타나는 상수를 1로 만듭니다.

(보통) 비 차원 상수가있는 경우, 0으로 설정하면 문제를 크게 단순화 할 수 있으며 문제를 자유롭게 유지 한 다음 작게 만들 수있는 시점을 확인할 수 있습니다.

다른 주요 접근법은 문제를 완전히 해결하고 어떤 용어 그룹이 나타나는지 보는 것입니다. 이러한 유형의 이론적 분석에서 용어를 잡는 경우 일반적으로 관련 길이가 분명하지만, 이러한 종류의 분석은 종종 수행하는 것보다 쉬운 편입니다.

그러나 이론적 분석이 없다면 어떻게 좋은 길이를 알 수 있습니까? 선택하는 길이가 너무 중요하지 않은 경우가 종종 있습니다. 어떤 사람들은 난류 전환에서 발생하는 것을 배웠다 때문에,이 혼란 생각하는 것 (파이프 용) 2300, 또는 50 (평판)입니다. 파이프 케이스에서 직경 또는 반경을 선택해도 상관 없습니다. 그것은 중요한 레이놀즈 수를 2 배로 확대합니다. 중요한 것은 사용하는 모든 기준이 사용하는 레이놀즈 수의 정의 및 연구중인 문제와 일치하는지 확인하는 것 입니다. 파이프 흐름에 직경을 사용하는 것이 전통입니다. $Re$

또한, 일반적으로 분석 또는 실험은 "특성 길이"를 갖는 다른 숫자, 즉 Biot 수를 제안 할 수 있습니다. 이 경우의 절차는 이미 언급 한 절차와 동일합니다.

때로는 휴리스틱 분석을 수행하여 관련 길이를 결정할 수 있습니다. Biot 번호 예에서,이 특성 길이는 일반적으로 물체의 부피를 표면적으로 나눈 것으로 주어집니다. 이는 열전달 문제에 적합하기 때문입니다. (큰 부피 = 중심으로의 느린 열전달 및 더 큰 표면적 = 중심으로의 더 빠른 열전달) 그러나 특정 근사치에서 이것을 도출 할 수 있다고 가정합니다. 유압 직경을 정당화하는 비슷한 주장을 할 수 있습니다 .

— 벤 트레 텔
소스

내가 임의로 L을 선택하고 문제가 비정규 적이므로 흐름 체계와 분석 솔루션이 선험적으로 알려지지 않은 경우 시행 착오가 실제로 유일한 방법입니까?

— Paul

나는 그렇게 생각하지 않습니다. 임의의 길이와 시간 척도로 관련 지배 방정식을 비차 원화하여 유용한 것을 얻을 수 있습니다. 이것은 일반적으로 명확한 지배 방정식에 문제가 있지만 명확한 길이나 시간 척도가없는 문제를 분석 할 때의 첫 번째 단계입니다. 특정 경우 에이 작업을 수행하는 방법에 대해 혼란 스러우면 여기에 질문으로 게시하십시오.

— Ben Trettel