낮은 유량과 높은 점도에서 Navier-Stokes에서 관성 (점성은 아님) 항을 무시할 수있는 이유는 무엇입니까?

낮은 유량과 높은 점도에서 Navier-Stokes에서 관성 (점성은 아님) 항을 무시할 수있는 이유는 무엇입니까?

Navier-Stokes 완료 : $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

관성 항 : . $\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

고정 흐름과 낮은 속도를 가정하면 입니다. 따라서 관성 항을 무시할 수 있습니다. $\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

그러나 내 자료에는 가 이러한 상황에서 지배적 인 용어가 될 것이라고 언급되어 있습니다. 가되지 않는 이유는 무엇입니까? 도? $\mu \nabla ^2 \vec{v}$ $\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

fluid-mechanics chemical-engineering

— 라울
소스

책 / 문서 등을 인용 할 수 있습니까? 이 주장을했다? 상황에 맞는 것이 도움이 될 것입니다.

— 칼튼

코스 북은 Welty, Rorrer 및 Foster의 "기초, 열 및 물질 전달의 기초"입니다. 불행히도 이것은 스웨덴어 연습 문제 문서의 문제이므로 많은 도움이 될지 확실하지 않습니다.

— Raoul

저 책의 네 번째 판 (영어 버전)이 있습니다. 그들이 더 설명하는지 살펴보고 볼 것입니다.

— 칼튼

나타내는 것은 큰 실수 / 오판 이며 2 차 파생 상품에 관한 혼란을 이해할 수 있습니다! 만약 연습 문제가 TA / 교수에 의해 만들어 졌다면 그는 유체 역학의 기초를 실제로 검토해야한다.

\partial_{β} u_{α} \approx 0

$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$

— nluigi

@ nluigi OP의 질문에서 을 얻는 위치 또는 그 표현의 의미를 알 수 없습니다. 무엇 와 및 차동 WRT는 무엇인가?

\partial_{β} u_{α} \approx 0

$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$

β

$\beta$

α

$\alpha$

— Asad Saeeduddin

답변:

일반적으로 유량이 낮고 점도가 높은 것은 소위 낮은 레이놀즈 수 유량을 다루고 있다는 것입니다. 레이놀즈 수는 관성력 ( )과 점성력 ( ) 의 비율 인 차원이없는 수입니다 . 낮은 점성력이 우세하고 (도면 영역), 높은 관성력이 우세합니다 (과격). 과 같은 차원없는 숫자 $\rho U U$ $\mu U/L$

R e = \frac{ρ U U}{μ U / L} = \frac{ρ U L}{μ}

$\mathrm{Re}=\frac{\rho U U}{\mu U/L}=\frac{\rho U L}{\mu}$

R e

$\mathrm{Re}$

R e

$\mathrm{Re}$

R e

$\mathrm{Re}$ 방정식이 비차 원적으로 만들어지는 '스케일링'으로 알려진 과정을 통해 자연스럽게 나타납니다. 이 과정을 통해 관련 차원이없는 숫자의 값에 따라 무시할 수있는 용어를 말할 수 있습니다. 자세한 내용은 이 질문에 대한 답변을 확인하십시오 .

기술적으로, '저 유량 및 고점도'라고 말하는 것만으로는 우리가 낮은 유량을 다루고 있다고 말하기에는 충분하지 않습니다 . 길이 스케일 (일반적으로 파이프 직경 등)과 밀도 ( 공기 또는 물). 그러나 일반적으로 그렇습니다. $\mathrm{Re}$ $L$ $\rho$

이제 유량이 낮 으면 이 잘못되었습니다. 아마도 의미하는 것은 입니다. 이것은 이라고 말함으로써 방정식의 단순화를 정당화합니다. 이는 물리적으로 관성 항이 점성 항과 비교하여 무시할 수 있음을 의미합니다. 의미하지 않는다 오히려 저 유량 것은 의미 하면서 중요 할 수 있습니다. 크기 순서 추정을 고려하십시오. $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$ $u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$ $u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$ $u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$ $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$ $u_\beta\approx0$ $\partial_\beta u_\alpha$ $\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$ ; 작은 값 (낮은 기여 )에 대해서는 차수 보다 훨씬 클 수 있습니다 . 점성 항 대한 유사한 크기 순서 분석은 이들이 훨씬 더 중요하다는 것을 보여줍니다. 따라서 관성 항은 무시할 수 있지만 점성 항은 무시할 수없는 이유입니다. $L$ $\mathrm{Re}$ $O(U)$ $\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$

— 놀 루이지
소스

최종 용어에 비례하므로 , 그리고속도 크기가 작은 경우에도 항이 클 수 있습니다. x- 방향 파이프에서 미끄러짐이없는 층류의 간단한 경우를 고려하십시오. 이것은 단방향 흐름이므로 와 버리고 집중할 수 있습니다 . 유속이 작은 것으로 가정합니다. $\nabla ^2 \vec{v}$ $|\vec{v}|$ $v$ $w$ $u$

그냥 있기 때문에 일반적으로 작은, 그러나, 우리가 결론을 내릴 수있다 의미하지 않는다 또한 일반적으로 작다. 실제로 파이프가 좁을수록 의 크기가 커집니다 . 수평 속도의 그래디언트 필드를 보면 속도가 최대 인 파이프 중심을 향하여 안쪽을 향하는 경향이 있습니다. 이것은 음의 발산을 가지며, 그 크기는 전체 크기가 아닌 속도 변화 의 선명도에 따라 달라집니다 . $u$ $\nabla u$ $\nabla u$

따라서 는 중요하지 않습니다. 물론 Navier Stokes는 점성력이 압력 강하를 일으키는 경향을 정확하게 예측합니다. 정상 상태에서 수평 파이프 흐름 (또는 원하는대로 점성력에 대해 흐름을 강제하기 위해 압력 강하의 필요성이라고 부를 수 있음). 중력 및 시변 용어를 취소하고 직접 확인하십시오. $\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$

— 아사드 새 두둔
소스