스텝 기능에 대한 시스템 응답 (헤비 사이드 기능)

전기 / 열 시스템의 단계 함수에 대한 응답을 계산하고 싶습니다. 일반적으로 전달 함수 "쉽게"계산할 수 있습니다 . $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

Heaviside 함수 의 푸리에 변환 ( )은 (WA로 계산) 다음과 같습니다. $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{i n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

따라서 역 푸리에 변환에 주목하십시오 . $\mathcal{IF}$

V_{o u t} (t) = I F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

내 수학을 확인하기 위해 간단한 RC 시스템에 대한 응답을 계산하려고했습니다.

커패시터의 잘 알려진 전하를 얻어야합니다. 전달 기능 :

H (ω) = \frac{1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

WA ( )로 역 푸리에 변환 ( )을 계산하면 다음 과 같습니다. $\mathcal{IF}$ $R=C=1$

우리가 시간을 거슬러 가면 이것이 맞을 것입니다 : /. 질문은 ... 내가 뭘 잘못하고 있니?

Laplace Transforms를 사용하여 동일한 작업을 수행했는데 모든 것이 잘 작동합니다 ...하지만 이유를 이해하지 못합니다.

추신 : 나는 다른 방법을 원하지 않고 단지 내 접근 방식의 문제점을 이해하고 싶습니다.

추신 : WA를 사용하는 이유는 더 복잡한 시스템의 경우 WA를 사용하여 푸리에 변환을 계산해야하기 때문입니다.

— 세계 양
소스

이것은 당신이 찾고있는 대답은 아니지만, 거의 모든 전송 함수에 대해 이산 역 라플라스 변환 을 수행하는 방법에 대한이 기사 는 관심이있을 수 있습니다.

— user5108_Dan

흥미로운 링크에 감사드립니다! Laplace 변환이 필요한 이유를 여전히 이해하려고합니다. 또는 푸리에 변환이 작동하지 않는 이유는 무엇입니까?

— Worldsheep

Laplace Transforms에 익숙하십니까? 라플라스와 푸리에 변환은 매우 비슷하지만 정확한 차이를 설명 할 수있는 수학자가 아닙니다. EE는 일반적으로 jw를 s로 바꾸면 H (w) 방정식과 같은 s 도메인 (Laplace 변환)에서 작동합니다. 또한 dsp.stackexchange.com 사이트에이 질문을 게시하면 더 나은 답변을 얻을 수 있습니다. 그 녀석들은이 물건들과 잘 어울립니다.

— user5108_Dan

예,이 경우에는 EE가 항상 Laplace와 함께 작동한다는 것을 알았습니다. 그러나 직관적으로 Fourier를 사용합니다. 나는 당신의 조언을 따르고 다른 사이트를 방문 할 것입니다!

— Worldsheep

이 질문에 대한 답변을 여기서 찾을 수 있습니다 : dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

주된 이유는 Wolfram Alpha가 역 푸리에 변환을 두 번째 푸리에 변환으로 적용했기 때문일 수 있습니다. 사실, 일 때문에 "시간을 넘겼습니다"- 수있는 수학적으로 표시 :

시간을 하는 '' '플립 타임 연산자' '' , $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = I d, F^{1} = F, \\ F^{2} & = P, F^{4} = I d, \\ F^{3} & = F^{- 1} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

푸리에 변환을 시스템에 3 번 적용하면 정상적인 시간에 버전을 얻을 수 있습니다. 파도는 시간이 일정하기 때문에 일반적으로 중요하지 않습니다.

— 표
소스