크랭크 시스템의 힘

성명서

크랭크 시스템에서는 그림에서와 같이 연결봉의 폭 ($ m $), 크랭크 폭 ($ b $), 크랭크의 토크 ($ M $)를 알 수 있습니다. 및 우리가이 토크에 적용하는 각속도 $ \ omega $. 우리는 시스템의 결과 강제력 ($ F_2 $)을 알고 싶습니다.

참고 : 다이어그램에는 $ F_1 $와 $ F $ 사이의 각도 인 $ \ gamma $가 없습니다. . 또한 $ F_1 $ 및 $ F $은 (는) 제대로 그려지지 않았습니다. 아래 $ (1) $를 확인해야합니다. 그것은 다이어그램의 오류 일 뿐이며 질문의 개념이 아닙니다.

해결책

내 시도는 다음과 같다 :

다이어그램을 보면 다음과 같은 것을 볼 수 있습니다.    \ begin {align}  F_1 & F = cos \ gamma & amp; (1) \\  \ frac {b} {\ sin \ alpha} & \ frac {m} {\ sin \ beta} & amp; (2) \\  \ alpha + \ beta + \ gamma + 90 & amp; = 180 & amp; (3) \\  F_2 & = F_1 \ cos \ beta & amp; (4)  \ end {정렬}

$ (4) $에서 Puting $ (1) $ : \ begin {align} F_2 = F \ cos \ gamma \ cos \ beta & amp; (5)  \ end {정렬}

먼저, $ \ cos \ beta $와 $ \ alpha $ 사이의 관계가 필요합니다.   단 하나는 $ (2) $이고, 여기서 우리는 $ \ cos \ beta $를 얻을 수 있습니다.   $ \ sin \ beta =를 적용한 후 $ \ cos \ beta $를 분리하여 $ \ alpha $를 얻습니다.  \ sqrt {1- \ cos ^ 2 \ beta} $이므로 다음과 같이됩니다.    \ begin {align}  \ frac {b} {\ sin \ alpha} & nbsp; \ frac {m} {\ sin \ beta} \ nonumber \\  \ sin {beta} = \ frac {m \ cdot \ sin \ alpha} {b} \\  \ sqrt {1- \ cos ^ 2 \ beta} & amp; = \ frac {m \ cdot \ sin \ alpha} {b} \ nonumber \\  1 - \ cos ^ 2 \ beta \ frac {m ^ 2 \ cdot \ sin ^ 2 \ alpha} {b ^ 2} \ nonumber \\  \ c ^ 2 \ m ^ 2 \ cdot \ sin ^ 2 \ alpha} {b ^ 2} \ nonumber \\  \ cos \ beta & \ \ sqrt {\ frac {b ^ 2 - m ^ 2} \ cdot \ sin ^ 2 \ alpha} {b ^ 2}} \ nonumber \\  \ cos {beta} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 \ cdot \ sin ^ 2 \ alpha}} {b} \ nonumber  \ end {정렬}

이것을 $ (5) $로 푸팅 : \ begin {align} F_2 = F \ cos \ gamma \ cdot  \ frac {\ sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 \ cdot \ sin ^ 2 \ alpha}} {b} & amp; & amp; (7) \ end {정렬}

이제 우리는 $ \ gamma $와 $ \ alpha $ 사이의 관계가 필요합니다. $ (3) $부터   got : \ begin {align} \ gamma = 90 - \ alpha - \ beta & amp; & amp; (8) \ end {정렬}

그러나 우리는 $ \ gamma $없이 $ \ alpha $의 함수에서만 $ \ gamma $를 원합니다. 따라서 우리는 $ \ alpha $의 함수에서 $ \ beta $를 계산하기 위해 다시 $ (2) $로갑니다. 으로   $ \ arcsin $을 적용하면 다음과 같이됩니다. \ begin {align} \ beta = \ arcsin  \ left (\ frac {m \ cdot \ sin \ alpha} {b} \ right) & amp; & amp; (9) \ end {align}

그래서 $ (8) $로 넣습니다 : \ begin {align *} \ gamma = 90 - \ alpha -  \ arcsin \ left (\ frac {m \ cdot \ sin \ alpha} {b} \ right) \ end {align *}

그리고 그것을 $ (7) $ 안에 넣으면 : \ begin {align *} F_2 = F \ cos \ left [90 -  \ alpha - \ arcsin \ left (\ frac {m \ cdot \ sin \ alpha} {b} \ right) \ right]  \ cdot \ frac {\ sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 \ cdot \ sin ^ 2 \ alpha}} {b} \ end {align *}

우리는 더 멀리 갈 수 있습니다. 우리는 $ \ cos (90 ^ \ circ - x) = \ sin x $를 안다.   그래서 : \ begin {align} F_2 = F \ sin \ left [\ alpha + \ arcsin \ left (\ frac {m}  \ cdot \ sin \ alpha} {b} \ right) \ right] \ cdot \ frac {\ sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 \ cdot  \ sin ^ 2 \ alpha}} {b} \ end {align}

Wolfram Alpha로 간단하게하기 : \ begin {align *} F_2 & F = left (  \ frac {m ^ 2} {b ^ 2} \ sin ^ 2 (\ alpha)} \ \ frac {m} {b} \ sin (\ alpha) \ sqrt {  \ sin {\ alpha} \ cos {\ alpha} \ right) \ cdot \ frac {\ sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 \ cdot  \ sin ^ 2 \ alpha} {b} \\ F_2 & F \ cdot \ sin \ alpha \ cdot \ frac {m \ cos  \ alpha \ sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 \ sin ^ 2 \ alpha} + b ^ 2 - m ^ 2 \ sin ^ 2 \ alpha} {b ^ 2}  \ end {align *}

마지막으로, 우리가 $ \ omega $의 함수로이 정체성을 표현하고자한다면,   $ t $와 $ M $은 $ \ alpha $와 $ \ omega t $와 $ F $를 대체해야합니다.   $ M / m $만큼, 그래서 :

\ begin {align *} \ boxed {F_2 = \ frac {M} {\} \ cdot \ sin (\ omega t) \ cdot  \ frac {m \ cos (\ omega t) \ sqrt {b ^ 2 - m ^ 2 \ sin ^ 2 (\ ωt)} + b ^ 2 - m ^ 2  \ sin ^ 2 (\ omega t)} {b ^ 2}} \ end {align *}

의문

이 해결책이 맞습니까?

추신 : 내 수준의 물리학 연구는 매우 낮습니다. 따라서이 어려움 수준으로 제한하십시오.

나는 권력 보존으로이를 해결할 것이다. 선형 힘은 힘 시간 속도이다; 회전 동력은 토크 × 각속도이다.

선형 힘을 찾으려고 할 때 토크와 각속도를 알기 때문에 직선 속도 만 찾아야합니다.

다행스럽게도 각속도와 크랭크의 반경을 알고 있으므로 선 속도는 단지 m $ \ cos {\ omega t} $이고 m을 질량이 아닌 길이로 선택했습니다.

그래서, 그것을 모두 모으기 :

$$ F = \ frac {\ tau \ omega} {m \ cos {\ omega t}} $$