압축 및 비 압축 흐름을 분리하는 임계 값이 Mach 0.3 인 이유는 무엇입니까?

나는 마하 0.3이 공기를 비압축성 유체로 취급하기위한 상한이라고 거의 읽었다. 내가 읽은 출처는 이것을 증거 나 정당화없이 주어진 것으로 취급하는 것 같습니다.

이것이 왜 한계입니까? 이것에 대한 수학적 정당성이 있습니까? 또한이 제한은 공기에만 적용됩니까? 그렇지 않다면 한계는 무엇에 달려 있습니까?

Wikipedia는 밀도가 ~ 5 % 변화한다는 사실로 인해 Mach 0.3에 대한 이유 를 제시합니다 .

관계를 설명 하는 NASA 페이지 를 찾았습니다 . 출처를 인용했지만 링크가 변경되는 경우 후손을 위해 여기에서 작업을 재현합니다.

운동량 보존으로 시작하십시오.

$$(\rho V) dV = -dp \\ $$

여기서 는 유체 밀도, 는 속도, 는 압력입니다. 등방성 유동의 경우 :$\rho$$V$$p$

$$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\ $$

여기서 는 비열 비입니다. 이상적인 가스 법칙은 다음을 제공합니다.$\gamma$

$$p = \rho R T \\ $$

여기서 은 특정 가스 상수이고 는 절대 온도입니다. 따라서 다음을 대체하십시오.$R$$T$

$$dp = \gamma R T d\rho$$

소리의 속도는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$\gamma R T = a^2 \\ $$

여기서 는 음속입니다.$a$

$$dp = a^2 d\rho \\ $$

위 식을 운동량 방정식 보존으로 대체하면 다음과 같습니다.

$$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\ $$

여기서 은 마하 번호입니다. 이것은 마하수가 0.3이되어 밀도가 약 5 % 변화합니다.$M$

참고로, 이것은 마하 수를 기반으로하며, 이는 가스의 음속에 따라 달라 지므로 가스별로 자동 조정됩니다.