무게 중심 좌표를 찾는 가장 효율적인 방법은 무엇입니까?

내 프로파일 러에서 무게 중심 좌표를 찾는 것은 다소 병목 현상입니다. 더 효율적으로 만들고 싶습니다.

그것은 shirley 의 방법을 따릅니다. 여기서 삼각형 안에 점 P를 포함시켜 형성된 삼각형의 면적을 계산합니다.

암호:

Vector Triangle::getBarycentricCoordinatesAt( const Vector & P ) const
{
  Vector bary ;

  // The area of a triangle is 
  real areaABC = DOT( normal, CROSS( (b - a), (c - a) )  ) ;
  real areaPBC = DOT( normal, CROSS( (b - P), (c - P) )  ) ;
  real areaPCA = DOT( normal, CROSS( (c - P), (a - P) )  ) ;

  bary.x = areaPBC / areaABC ; // alpha
  bary.y = areaPCA / areaABC ; // beta
  bary.z = 1.0f - bary.x - bary.y ; // gamma

  return bary ;
}

이 방법은 효과가 있지만 더 효율적인 방법을 찾고 있습니다!

Christer Ericson의 실시간 충돌 감지 ( 실수로 훌륭한 책임) 에서 발췌 :

// Compute barycentric coordinates (u, v, w) for
// point p with respect to triangle (a, b, c)
void Barycentric(Point p, Point a, Point b, Point c, float &u, float &v, float &w)
{
    Vector v0 = b - a, v1 = c - a, v2 = p - a;
    float d00 = Dot(v0, v0);
    float d01 = Dot(v0, v1);
    float d11 = Dot(v1, v1);
    float d20 = Dot(v2, v0);
    float d21 = Dot(v2, v1);
    float denom = d00 * d11 - d01 * d01;
    v = (d11 * d20 - d01 * d21) / denom;
    w = (d00 * d21 - d01 * d20) / denom;
    u = 1.0f - v - w;
}

이것은 선형 시스템을 해결하기위한 Cramer의 규칙입니다. 이것보다 훨씬 효율적이지 않을 것입니다. 이것이 여전히 병목 현상 일 경우 (그리고 현재 알고리즘과 계산 방식이 크게 다른 것처럼 보이지 않을 수도 있습니다) 아마도 다른 곳을 찾아야 할 것입니다 속도 향상을 위해.

여기서 적절한 수의 값은 p 와 무관하며 필요한 경우 삼각형으로 캐시 할 수 있습니다.

Cramer의 규칙은 그것을 해결하는 가장 좋은 방법이어야합니다. 나는 그래픽 사람이 아니지만 Real-Time Collision Detection 책에서 다음과 같은 간단한 일을하지 않는 이유가 궁금합니다.

// Compute barycentric coordinates (u, v, w) for
// point p with respect to triangle (a, b, c)
void Barycentric(Point p, Point a, Point b, Point c, float &u, float &v, float &w)
{
    Vector v0 = b - a, v1 = c - a, v2 = p - a;
    den = v0.x * v1.y - v1.x * v0.y;
    v = (v2.x * v1.y - v1.x * v2.y) / den;
    w = (v0.x * v2.y - v2.x * v0.y) / den;
    u = 1.0f - v - w;
}

이것은 2x2 선형 시스템을 직접 해결합니다

v v0 + w v1 = v2

책의 방법이 시스템을 해결하는 동안

(v v0 + w v1) dot v0 = v2 dot v0
(v v0 + w v1) dot v1 = v2 dot v1

약간 빠름 : 분모를 미리 계산하고 나누기 대신 곱합니다. 나눗셈은 곱셈보다 훨씬 비쌉니다.

// Compute barycentric coordinates (u, v, w) for
// point p with respect to triangle (a, b, c)
void Barycentric(Point a, Point b, Point c, float &u, float &v, float &w)
{
    Vector v0 = b - a, v1 = c - a, v2 = p - a;
    float d00 = Dot(v0, v0);
    float d01 = Dot(v0, v1);
    float d11 = Dot(v1, v1);
    float d20 = Dot(v2, v0);
    float d21 = Dot(v2, v1);
    float invDenom = 1.0 / (d00 * d11 - d01 * d01);
    v = (d11 * d20 - d01 * d21) * invDenom;
    w = (d00 * d21 - d01 * d20) * invDenom;
    u = 1.0f - v - w;
}

그러나 구현시 모든 독립 변수를 캐시했습니다. 생성자에서 다음을 미리 계산합니다.

Vector v0;
Vector v1;
float d00;
float d01;
float d11;
float invDenom;

최종 코드는 다음과 같습니다.

// Compute barycentric coordinates (u, v, w) for
// point p with respect to triangle (a, b, c)
void Barycentric(Point a, Point b, Point c, float &u, float &v, float &w)
{
    Vector v2 = p - a;
    float d20 = Dot(v2, v0);
    float d21 = Dot(v2, v1);
    v = (d11 * d20 - d01 * d21) * invDenom;
    w = (d00 * d21 - d01 * d20) * invDenom;
    u = 1.0f - v - w;
}

John이 게시 한 솔루션을 사용하지만 Nehalem과 최신 프로세스 및 제한된 정밀도로 자신을 제한한다고 가정하면 SSS 4.2 도트 내장 및 sse rcpss를 나누기에 본질적으로 사용합니다.

또는 4 배 또는 8 배 속도 향상을 위해 sse 또는 avx를 사용하여 여러 중심 중심 좌표를 한 번에 계산할 수 있습니다.

축 정렬 평면 중 하나를 투영하여 3D 문제를 2D 문제로 변환하고 user5302가 제안한 방법을 사용할 수 있습니다. 삼각형이 선으로 투영되지 않는 한 정확히 같은 무게 중심 좌표가됩니다. 가장 좋은 것은 트라이앵글의 방향에 최대한 가까운 축 정렬 평면에 투영하는 것입니다. 이렇게하면 공선 성 문제를 피하고 최대 정확도를 보장 할 수 있습니다.

두 번째로 분모를 미리 계산하여 각 삼각형에 저장할 수 있습니다. 이렇게하면 나중에 계산이 저장됩니다.

@NielW의 코드를 C ++에 복사하려고 시도했지만 올바른 결과를 얻지 못했습니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Barycentric_coordinate_system#Barycentric_coordinates_on_triangles 를 읽고 주어진 람다 1/2/3를 계산하는 것이 더 쉬웠 습니다 (벡터 기능 필요 없음).

p (0..2)가 x / y / z 인 삼각형의 점인 경우 :

삼각형의 사전 계산 :

double invDET = 1./((p(1).y-p(2).y) * (p(0).x-p(2).x) + 
                   (p(2).x-p(1).x) * (p(0).y-p(2).y));

포인트 "포인트"에 대한 람다는

double l1 = ((p(1).y-p(2).y) * (point.x-p(2).x) + (p(2).x-p(1).x) * (point.y-p(2).y)) * invDET; 
double l2 = ((p(2).y-p(0).y) * (point.x-p(2).x) + (p(0).x-p(2).x) * (point.y-p(2).y)) * invDET; 
double l3 = 1. - l1 - l2;

삼각형 ABC 내부의 주어진 점 N에 대해, 서브 트라이앵글 ABN의 면적을 삼각형 AB C의 총 면적으로 나눔으로써 점 C의 무게 중심 무게를 얻을 수 있습니다.