인접한 삼각형을 만들기위한 알고리즘

한 번 클릭하여 장면에 노드를 배치 할 수있는 시스템이 있습니다. 3 개의 노드를 배치하면 삼각형이 형성됩니다. 향후 노드를 배치하면 해당 노드를 가장 가까운 기존 노드 2 개에 연결하여 새 삼각형을 만듭니다.

이것은 대부분 잘 작동하지만 가장 예각 인 삼각형 근처에서 사용할 때는 결함이 있습니다. 가장 가까운 2 개의 노드 중 하나가 사용해야하는 노드가 아니기 때문입니다.

예를 들어 아래 이미지를 참조하십시오. 자홍색 삼각형이 첫 번째로 배치됩니다. 그런 다음 X로 표시된 위치를 클릭하면 파란색 오버레이가있는 새로운 삼각형이 나타납니다. 내가 원하는 것은 녹색 오버레이가있는 새로운 삼각형입니다. (예 :이 예에서는 자홍색과 대칭입니다. 설명 : 녹색과 자홍색 삼각형이 겹치지 않습니다.

삼각형이 이와 같이 겹쳐지지 않도록 새 삼각형을 만들 때 사용할 기존 정점 2 개를 어떻게 확인할 수 있습니까?

편집 : 가장 가까운 가장자리를 검색하면 더 나은 결과를 얻을 수 있지만 완벽한 것은 아닙니다. 이 상황을 고려하십시오.

'가장 가까운 가장자리'테스트는 모호하며 AB 또는 AC를 반환 할 수 있습니다 (둘 다 X에 대한 가장 가까운 점은 A에 있음). 원하는 결과는 AC이며, 가장자리가 겹치지 않고 ACX 삼각형을 형성합니다. 이 결과를 어떻게 보장 할 수 있습니까? (가장 가까운 에지 테스트가 부동 소수점 정밀도 문제를 고려할 때 2가 정확히 같은 거리에 있다는 것을 걱정할 수 있기 때문에 가능한 경우 개별 에지 오버랩 테스트를 타이 브레이커로 수행하지 않아도됩니다.)

노드까지의 최소 거리를 찾는 대신 가장자리까지의 최소 거리를 찾으십시오 (즉, 노드에 의해 정의 된 선분).

그런 다음 가장 가까운 점이 정점 인 경우 (부동 소수점 epsilon ** 테스트를 사용해야 함) 새 점에서 정점까지의 선과 해당 정점에 연결된 각 모서리 사이의 각도를 비교합니다. 최소 절대 각도를 가진 것을 선택하십시오 :

MinAngle(newPoint, vertex, edge1, edge2)
{
   newEdgeUnit = norm(newPoint - vertex); // don't actually need to normalize this
   edge1Unit = norm(edge1 - vertex);      // you probably have these from your dist to line tests
   edge2Unit = norm(edge2 - vertex);

   edge1Dot = dot(edge1Unit, newEdgeUnit);
   edge2Dot = dot(edge2Unit, newEdgeUnit);

   // you can simply compare dot products to find the minimum absolute angle
   if (edge1Dot > edge2Dot) return edge1;     // set up this way so you can generalize to an array
   return edge2;
}

** 엡실론 테스트를 방해 할 수있는 축퇴 삼각형 추가를 피하기 위해 점을 추가 할 수없는 각 정점 주위에 영역을 배치 할 수 있습니다 (위에서 사용 된 엡실론의 여러 배수 내에서 점을 허용하지 않는 것과 같은).

첫 번째 삼각형을 배치 한 후 새 정점을 배치 할 때 항상 두 개의 새 모서리가 생성됩니다. 새 삼각형의 세 번째 모서리는 항상 이전 삼각형과 공유 된 모서리입니다. 공유 에지를 결정하는 방법을 찾을 수 있다면 어떤 정점에 연결할지 알 수 있지만 어려운 부분입니다. 새 정점에서 마지막으로 생성 된 각 3 개의 가장자리 (또는 가장 가까운 3 개의 가장자리)의 중심까지 선을 그려서이 작업을 수행 할 수있는 한 가지 방법이 있습니다.

정점에서 가장자리 중심까지의 선 이 다른 두 가장자리 중 하나를 교차 하지 않으면 공유 가장자리가있는 것입니다. 공유 모서리는 새로운 정점을 연결할 두 정점을 알려줍니다.

지미는 새로운 삼각형이 어디로 갈지 모호한 점을 제시했습니다.

그러면 두 개의 유효한 삼각형 중에서 선택할 수 있습니다. 아마도 중심점이 가장 가까운 타이 브레이킹 일 것입니다.

업데이트를 고려하면 더 복잡하지만 두 개의 유효한 삼각형이있을 때만 솔루션이 연결됩니다. 이 방법을 사용하면 두 번째 예제 이미지로 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.

자홍색 삼각형 ABC가 있으면 새로운 정점 X를 포함합니다. D에서 시작하여 삼각형 ABC의 가장자리 사이에 교차하지 않는 두 개의 선이 있음이 분명합니다.

이 두 줄은 AX & BX, BX & CX 또는 AX & CX가 될 수 있습니다. 그런 다음 문제를 "두 줄이 교차하는"고전적인 문제로 취급 할 수 있습니까? 그런 다음이 선 쌍 중 어느 것이 ABC 삼각형 가장자리와 교차하지 않는지 확인할 수 있습니다 (예 :이 질문의 방법 중 하나) . 따라서 새 삼각형의 두 가지 새로운 가장자리가 생깁니다.

모호하지 않은 영역 중 하나 (아래 1, 2, 3)에 있는지 알아내는 것은 매우 쉽습니다. 삼각형의 각 모서리를 2D 평면으로 취급하고 새 점이있는 평면의 어느 쪽을 테스트하십시오. 두 개 안에 있지만 한 개 밖에 있다면 그 하나는 삼각형의 가장자리에 해당하여 새 삼각형에 두 개의 꼭짓점을 제공합니다.

1과 2의 내부에 있다면, 새로운 점에 가장 가까운 삼각형 부분이 모호한 경우가 모호합니다. 이 경우 반대쪽 가장자리의 중간 점 (내부에있는 것)과 가장 가까운 정점 (외부에있는 두 평면이 공유하는 것)에서 2D 평면을 형성 할 수 있습니다. 새 점이있는이 평면의 측면에 따라 모서리를 선택할 수 있습니다.

2D의 평면 테스트는 3D와 같은 방식으로 작동합니다. 평면의 어느 곳에서든 평면의 법선으로 점에 벡터를 점으로 표시합니다 (2D에서는 선의 수직).

(우연히이 이미지에서 마젠타로 구분 된 영역을 보로 노이 영역이라고합니다.이 영역은 삼각형의 특정 기능 (가장자리 또는 꼭지점)에 가장 가까운 점을 포함하는 공간 영역입니다. 편집 : 여기에서의 용어는 실제로는 아닙니다. 정확히 맞습니다. 이것들은 정확히 보로 노이 지역이 아닙니다.)