OpenGL의 클립 공간이 4 차원 인 이유는 무엇입니까?

나는 이것을 일반적인 참조로 사용할 것이지만 i 브라우저 온라인 문서와 책이 많을수록 이에 대해 이해하지 못합니다.

const float vertexPositions[] = {
    0.75f, 0.75f, 0.0f, 1.0f,
    0.75f, -0.75f, 0.0f, 1.0f,
    -0.75f, -0.75f, 0.0f, 1.0f,
};

이 온라인 책 에는 삼각형 만들기에 관한 OpenGL의 최초이고 고전적인 hello world를 그리는 방법에 대한 예가 있습니다.

삼각형의 꼭짓점 구조는 위 코드에서 설명한대로 선언됩니다.

이 책은 이것에 관한 다른 모든 소스와 마찬가지로 클립 공간이 기본적으로 화면에 렌더링되고 렌더링 될 대상을 결정하는 데 사용되는 4D 구조라는 점을 강조합니다.

여기에 내 질문이 있습니다.

• 나는 4D로 무언가를 상상할 수 없다. 나는 인간이 그렇게 할 수 있다고 생각하지 않는다.이 클립 공간의 4D는 무엇인가?
• 내가 읽은 가장 인간이 읽을 수있는 문서는 클리핑 개념에 대한 추상화 인 카메라에 대해 말하는데, 문제는, 왜 카메라 개념을 더 먼저 사용하지 않는지입니다. 익숙한 3D 구조? 카메라 개념의 유일한 문제점은 다른 방법으로 예상을 정의해야하므로 기본적으로 어떤 종류 의 카메라를 갖고 싶은지에 대한 다른 진술을 추가 해야한다는 것입니다.
• 이걸 어떻게 읽어야 0.75f, 0.75f, 0.0f, 1.0f합니까? 내가 얻는 것은 모두 float 값이고 처음 3 개의 값의 의미를 얻는 것입니다. 마지막 값은 무엇을 의미합니까?

마법의 용어는 "동종 좌표"이며, 이는 관점이 중요한 시스템에서 사용됩니다. 위키에서 개요를 확인하십시오.하지만 실제로 이해하지 못하는 것은 오랜 연구 과정입니다.

읽은 책의 소개를 읽으면 놀라게 될 것입니다.)

래스터 화 개요의 http://arcsynthesis.org/gltut/Basics/Intro%20Graphics%20and%20Rendering.html

"w"값 (처음 3 개의 값은 x, y 및 z)은 기본적으로 클립 공간의 크기를 나타냅니다. 이 값은 1 스칼라 값이므로 클립 공간의 3 차원 모두가 같습니다 (그래서 클립 공간이 큐브 인 이유). 모든 정점에는 고유 한 클립 공간이 있으며 (기본적으로 "맞춤"해야하며, 그렇지 않으면 CLIPS : D) 클립 공간 인 1 개의 "월드"는 없습니다 (모든 클립 공간이 동일한 " 세계 "나는 이것에 문제가 있다고 생각한다; P).

따라서 정점이 예를 들어 좌표 [1,1,1]을 가지고 있다면 클립 공간이 1이면 정점이 화면의 모서리 오른쪽 상단에 있습니다 (모두 기본값 일 때 방향이 있는지 모르겠습니다) 변경 가능). 그러나 꼭짓점의 클립 공간이 2이면 좌표 [1,1,1]은 화면 오른쪽에서 3/4, 화면에서 3/4, 맨 위 3 차원입니다. 자신을 추측 할 수 있습니다.

클립 공간이 5라고하면 큐브 공간이 5x5x5가 아니라 모든 차원에서 클립 공간 내의 위치가 -5에서 5까지의 범위를 의미한다고 생각합니다. 그러나 이것은 아마도 간단히 말해서입니다 : 모든 xy 및 z 좌표는 클립 공간 차원으로 나뉘므로 기본적으로 정점은 다음과 같이 진행됩니다.

x = x / w

y = y / w

z = z / w

그것이 모든 것을 가능하게하는 것입니다. 이것이 존재하는 이유는 쉬운 비교를위한 것이라고 생각합니다. 좌표를 클립 공간 치수로 나눈 경우 1보다 큰 값을 가진 하나 이상의 구성 요소가있는 좌표가 클립 공간 외부에 존재합니다. 따라서 클립 공간이 1024라고 말하지만 좌표가 [2000,3, -100] 인 경우 x (2000) 구성 요소는 클립 공간 밖에 있습니다 (-1024에서 1024까지만 해당).

계산적으로 당신이해야 할 모든 것이 (매우 거칠게 c) : (x / w) <1 && (x / w)>-1이라면 클립 공간 안에 무언가가 있는지 쉽게 알 수 있습니다. 또한 모든 정점의 모든 클립 공간이 동일한 크기 (모든 차원에서 -1에서 1까지의 모든 클립 공간 큐브)를 갖는 것이 모든 좌표에서 그 순간부터 볼 때 정규화 프로세스 후에 오는 모든 것을 더 쉽게한다고 가정합니다. 0에서 1 사이의 수레 (클리핑 된 것을 무시).

TL; DR 4D 공간이 아니며 3D + 스케일링 수는 사실상 항상 1입니다. 1이면 무시할 수 있으며 처음 세 숫자는 x, y, z입니다. 그렇지 않으면 더 복잡해집니다.

다음은 간단한 설명입니다. 3D의 정점은 해야 세 개의 구성 요소가

⌈x⌉ v = |y| ⌊z⌋

이를 조작하려면 (예 : 회전, 스케일링 등) 행렬을 사용합니다. 물론 가장 일반적인 예는 월드 좌표를 클립 공간으로 변환하는 MVP (Model-View-Projection) 매트릭스입니다. 이처럼 :

⌈m11 m12 m13⌉ ⌈x⌉ c = |m21 m22 m23| * |y| ⌊m31 m32 m33⌋ ⌊z⌋

그러나 이것은 큰 결점이 있습니다. 번역을 할 수 없습니다. 경우 [x,y,z]제로, 상관없이입니다 m우리가 번역을 포함하는 MVP를 가질 수 있도록 항상 0이됩니다 결과입니다. 분명히 우리는 그것을 원합니다. 해결책은 벡터 끝에 1을 더하고 행렬을 4x4로 확장하는 것입니다.

⌈cx⌉ ⌈m11 m12 m13 tx⌉ ⌈x⌉ |cy| = |m21 m22 m23 ty| * |y| |cz| |m31 m32 m33 tz| |z| ⌊ 1⌋ ⌊ 0 0 0 1⌋ ⌊1⌋

(예를 들어 from에서와 같이 직교 MVP 행렬을 보면 glOrtho()4 번째 행이임을 알 수 0 0 0 1있습니다. 때로는 암시 적으로 남겨져 있습니다.) 수학을 통해 작업하면 다음과 같은 것을 알 수 있습니다

⌈cx⌉ ⌈m11 m12 m13⌉ ⌈x⌉ ⌈tx⌉ |cy| = |m21 m22 m23| * |y| + |ty| ⌊cz⌋ ⌊m31 m32 m33⌋ ⌊z⌋ ⌊tz⌋

네 번째 구성 요소는이며 1 일 필요w 는 없지만 거의 항상입니다 ( 어쨌든 변환 전에 ; 나중에 전체 벡터를 다시 나누면 다시 균질화되어 다시 1이됩니다). 변환 행렬에 변환이 포함되도록하는 것은 일종의 해킹입니다.w

편집하다

원래 동기는 원근법 투영 에 대한 것이라고 생각합니다 . 3D 좌표로는 불가능합니다. 4D 벡터로만 수행 할 수있는 다른 변형이 있지만 번역이 가장 이해하기 쉽습니다.

내가 보았으며 이전 답변에서 언급되지 않은 이유가 하나 더 있습니다.

번역 행렬은 4x4이므로 "세계"를 중심으로 개체를 번역 할 수도 있습니다. 3x3 행렬을 사용하면 3d 좌표를 회전하고 크기를 조정할 수 있지만 4x4 행렬로만 3d 좌표를 변환 할 수 있습니다. 여기에서 3d 좌표를 4d 벡터로 표현해야합니다.