주어진 측지 위도에서 지구 반경을 어떻게 계산합니까?


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(필자는 wikipedia 에 정확하게 요구 하는 방정식이 있지만 참조는 없습니다.이 방정식의 유효성을 확인할 방법이 없습니다!)

나는 이미 Geocentric Latitude와 Geodetic Latitude의 차이점을 이해하고 있습니다.

알려진 반 장점 a및 반 b단점 반경이 있다고 가정 합니다. 주어진 측지 위도에서 반경을 어떻게 계산합니까?

나는 일종의 전문가 확인 (파생, 파생 링크, 전문가의 확인, 설명 등)이 필요합니다.

답변:


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이 질문은 지구의 타원체 모델을 가정합니다. 참조 표면은 단축을 중심으로 타원을 회전시켜 (일반적으로 수직으로 표시) 얻습니다. 이러한 타원은 배 가로 연신 한 단순한 원형이며 수직 배 B . 단위 원의 표준 매개 변수화를 사용하여

t --> (cos(t), sin(t))

( 코사인과 사인 을 정의 ) 매개 변수화를 얻습니다.

t --> (a cos(t), b sin(t)).

(이 매개 변수화의 두 구성 요소는 곡선 주위의 이동을 설명합니다. 직교 좌표에서 "time" t에 위치를 지정 합니다.)

측지 위도 , F는 어떤 시점의 적도면하게 "업"각도이다. 경우 상이 B 의 값 F 의 상이 t (적도 따라 제외하고 극).

그림

이 그림에서 파란색 곡선은 그러한 타원의 1 사분면입니다 (지구의 편심에 비해 크게 과장되어 있음). 왼쪽 하단의 빨간색 점이 가운데입니다. 파선은 표면의 한 지점에 반경을 지정합니다. "위"방향은 검은 색 세그먼트로 표시됩니다. 정의상 그 시점에서 타원에 수직입니다. 과장된 편심으로 인해 "위"가 반경과 평행하지 않다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

우리의 용어에서 t 는 수평에 대한 반지름으로 만들어진 각도와 관련이 있으며 f 는 그 검은 색 세그먼트로 만들어진 각도입니다. ( 표면의 어떤 지점 이든 이 관점에서 볼 수 있습니다. 이렇게하면 tf 가 0 도와 90도 사이가 되도록 제한 할 수 있습니다. 코사인과 사인은 양수이므로 음수에 대해 걱정할 필요가 없습니다. 공식의 제곱근.)

트릭은 t- 파라미터 화에서 f 로 1 로 변환하는 것 입니다. t 에서는 반경 R 이 (피타고라스 정리를 통해) 계산하기 쉽기 때문입니다 . 제곱은 점 구성 요소의 제곱의 합입니다.

R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.

이 변환을 수행하려면 "위"방향 f 를 매개 변수 t 와 관련시켜야합니다 . 이 방향은 타원의 접선에 수직입니다. 정의에 따르면, 곡선에 접선 (벡터로 표현)은 매개 변수화를 차별화하여 얻습니다.

Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).

(차등화는 변화율을 계산합니다. 곡선을 따라 이동할 때 우리 위치의 변화율은 물론 속도 이며 항상 곡선을 가리 킵니다.)

"정상"벡터라고하는 수직선을 얻으려면이 시계 방향으로 90도 회전합니다.

Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).

이 법선 벡터의 기울기는 (a sin (t)) / (b cos (t)) ( "rise over run")과 동일하며 수평에 대한 각도의 접선입니다.

tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).

마찬가지로

(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).

(유클리드 지오메트리에 대한 통찰력이있는 경우 ab 의 결합 된 수평 및 수직 확장이 각각 ab 의 조합으로 인해 변경의 효과가 있음을 인식함으로써 타원 정의에서 직접이 관계를 얻을 수 있습니다. 이 계수에 의한 모든 경사 b / a )

R (t) ^ 2에 대한 공식을 다시 살펴보십시오. 우리는 ab를 알고 있습니다 -그들은 타원의 모양과 크기를 결정합니다. 따라서 cos (t) ^ 2와 sin (t) ^ 2 만 찾으면됩니다. 측면에서 F 위의 방정식은 우리가 쉽게 수행 할 수 있습니다 :

cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2) 
         = 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2) 
         = a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2 
         = b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).

(tan (f)가 ​​무한하면 극에 있으므로 f = t 로 설정 하면됩니다.)

이것이 우리가 필요로하는 연결입니다. cos (t) ^ 2 및 sin (t) ^ 2에 대한이 값을 R (t) ^ 2에 대한 표현식으로 대체하고

R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).

간단한 변형은이 방정식이 Wikipedia에있는 것과 동일하다는 것을 보여줍니다. a ^ 2 b ^ 2 = (ab) ^ 2 및 (a ^ 2) ^ 2 = a ^ 4이므로

R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )

+1 .. 최종 공식에 괄호가 없다고 생각하는 것을 제외하고 ... (b^4 sin(f))^2로 변경 해서는 안 (b^4 sin(f)^2)됩니까?
Kirk Kuykendall

이 주제에 대해 전문가가 있다는 것이 정말 기쁩니다 =).
Trevor Boyd Smith

Geogebra 파일 (html)을이 사이트에 게시 할 수 있습니까? 무슨 일이 일어나고 있는지 시각적으로 보여줄 수있는 주요 수직 반경이 있습니다.

@Dan : 파일 | 내보내기 대화 상자를 사용하여 원본을 .png 형식으로 내보낼 수 있습니다. 큰 글꼴 (16 또는 18 포인트가 잘 작동하는 것 같음)을 사용하고 먼저 이미지를 확대 할 것을 권장합니다.
whuber

그런 다음 대화 형 기능이 손실된다고 가정합니다. 데모는 반경과 관심 위도가 변하면 속성이 어떻게 변하는 지 보여줍니다.

3

내 수학 문맹자 솔루션이 5 분 동안 사고와 코딩으로 작업을 수행했다는 사실에 흥미가 있다면, 완벽한 타원형 모델이 아닌 평탄화 요소를 고려해야하지 않습니까?

        double pRad = 6356.7523142;
        double EqRad = 6378.137;                      
        return pRad + (90 - Math.Abs(siteLatitude)) / 90 * (EqRad - pRad); 

1
여기서 pRad는 극좌표이고 EqRad는 적도 반경입니다.
Stefan Steiger

이것이 내가 읽을 수있는 유일한 대답입니다. 그것은 나를 위해 일하는 것 같습니다.
Sean Bradley

1
나는 당신이 극점과 적도 사이의 반경의 선형 보간을하고 있음을 알았습니다. 선형 보간이 정확 하다고 믿을 이유는 없지만 온화한 평탄화 요소를 고려하여 이것을 지구에 "충분한"것으로 사용하겠습니다. BTW 동등한 것을 읽는 것이 조금 더 쉽다고 생각합니다 . 따라서 수식 return E + (P - E) * Abs(Lat) / 90을 가질 필요는 없습니다 90 - ....
ToolmakerSteve

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여기에 이미지 설명을 입력하십시오

적어도 그것은 국방부 (DoD) 고성능 컴퓨팅 현대화 프로그램 (HPCMP) 위키 에 대한 미국 데이터 분석 및 평가 센터 (DAAC)에서 찾은 공식 입니다 . 그들은 위키피디아의 항목 에서 많은 돈을 빌렸다 고 말합니다 . 그럼에도 불구하고 그들이 그 공식을 유지했다는 사실은 무언가를 고려해야합니다.


컨텐츠에 대한 링크를 제공 할 수 있습니까?
Trevor Boyd Smith

여기서 φ는 측지 위도이며, a (반반 축)와 b (반반 축)는 각각 적도 반경과 극점 반경입니다. var a = 6378137; // m var b = 6356752.3142; // m en.wikipedia.org/wiki/Semi-major_and_semi-minor_axes en.wikipedia.org/wiki/World_Geodetic_System
Stefan Steiger
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