UTM 영역 밖의 면적 왜곡을 계산합니까?


26

동료 중 한 명이 두 UTM 영역에 분산 된 데이터로 작업하고 있습니다. 데이터의 대부분은 한 영역에 있고 다른 영역에는 몇 개의 특이 치가 있습니다. 그는 그 특이 치들이 메인 UTM 영역에 있다면 그 특이 치의 면적 왜곡이 무엇인지 알고 싶습니다.

지형지 물이 다른 UTM 영역까지 얼마나 멀리 있는지 알고 면적 왜곡을 계산하는 공식이 있습니까?

답변:


30

UTM은 중앙 자오선에서 배율 계수가 0.9996 인 가로 메르카토르 투영법을 사용합니다. 메르카토르에서 거리 : 스케일 팩터는 위도의 시컨트는 (하나의 소스이다 http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection , 면적 배율이 어디서 왔는지) 사각 은에 적용되기 때문에 (이 스케일 팩터의 모든 방향, 메르카토르가 컨 포멀 함). 위도를 적도까지구면 거리 로 이해하고 구와 타원체를 근사화하면이 공식을 메르카토르 투영의 모든 측면에 적용 할 수 있습니다. 그러므로:

축척 비율은 중심 자오선까지의 (각도) 거리의 시컨트의 0.9996 배입니다. 면적 스케일 팩터는이 수량의 제곱입니다.

이 거리를 찾으려면 경도 mu에서 중심 자오선을 향해 임의의 점에서 임의의 점에서 지오 데식을 따라 경도 mu에서 직선자를 따라 가장 가까운 극점으로 이동하여 형성된 구형 삼각형을 고려하십시오. 람다 자오선을 따라 원래 지점으로 돌아갑니다. 첫 번째 회전은 직각이고 두 번째 회전은 λ 각입니다. 마지막 부분을 따라 이동 한 양은 90 도입니다. 이 삼각형 상태에 적용된 사인구형 법칙

sin (람다 무) / sin (거리) = sin (90도) / sin (90-phi)

솔루션으로

거리 = ArcSin (sin (λ-mu) * cos (phi)).

이 거리는 각도로 주어지며, 이는 시컨트를 계산하는 데 편리합니다.

중앙 자오선이 -183 + 17 * 6 = -81 도인 UTM 영역 17을 고려하십시오. 외곽 위치는 경도 -90도, 위도는 50 도입니다. 그때

1 단계 : (-90, 50)에서 -81도 자오선까지의 구면 거리는 ArcSin (sin (9도) * cos (50도)) = 0.1007244 라디안과 같습니다.

2 단계 : 면적 왜곡은 (0.9996 * sec (0.1007244 라디안)) ^ 2 = 1.009406과 같습니다.

(GRS 80 타원체를 사용한 수치 계산은 값이 1.009435로, 우리가 계산 한 답이 0.3 %가 너무 낮음을 나타냅니다. 타원체의 평탄화와 같은 크기로 구면 근사에 의한 오차임을 나타냅니다.)

근사

면적 변화에 대한 느낌을 얻기 위해 일부 삼각 식별자를 사용하여 전반적인 표현을 단순화하고 람다-무 테일러 시리즈 (점의 경도와 UTM 중심 자오선의 경도 사이의 변위)로이를 확장 할 수 있습니다. 그것은 밖으로 작동

면적 스케일 계수 ~ 0.9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (λ-mu) ^ 2).

이러한 모든 확장과 마찬가지로 각도 람다-뮤는 라디안 단위로 측정해야합니다. 오차는 0.9992 * cos (phi) ^ 4 * (lambda-mu) ^ 4보다 작습니다. 이는 근사값과 1 사이의 차이의 제곱, 즉 소수점 뒤의 값의 제곱에 가깝습니다. .

phi = 50도 (코사인 0.642788) 및 lambda-mu = -9도 = -0.15708 라디안의 예에서 근사는 0.9992 * (1 + 0.642788 ^ 2 * (-0.15708) ^ 2) = 1.009387입니다. 소수점을지나 제곱하면 올바른 값을 모르더라도 오류가 (0.009387) ^ 2 = 0.0001보다 작을 수 없다고 추측합니다 (사실 오류는 그 크기의 5 분의 1에 불과합니다).

이 분석에서 높은 위도 (cos (phi)가 작은 곳)에서는 척도 오차가 항상 작다는 것이 분명합니다. 위도가 낮을수록 면적 스케일 오류는 경도 차이의 제곱처럼 동작합니다.


나는 항상 당신을 잘 생각할 수있는 답변을 줄 수 있습니다
kenbuja

+1 진짜 고기를 손에 넣는 것이 좋습니다. 수학적으로 도전받은 뇌는 정량적 결과를 해석하는 데 도움이되는 시각적 시각 자료를 원합니다 . La Tissot Indicatrix . (I 추가하고 있었다 "그러나 그것은 새로운 질문"만 그렇게 될하지 밝혀 : gis.stackexchange.com/questions/31651/...을 :-)
매트 윌키

@Matt : 영역 밖으로 나올 때까지 TI는 많이 표시되지 않습니다. @Matt : 질문에 표시된대로 메르카토르 투영의 TI와 똑같이 보이지만 90도 회전합니다. (여러분이 참조하는 다른 TI 질문에 대답하고 싶지만, 자세한 계산이 필요하며 지금은이를 제시 할 시간이 없습니다.)
whuber

4

GeographicLib의 도구 GeoConvert

http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html

UTM 구역 사이에 넉넉한 오버랩을 허용합니다 (특히, 결과 동쪽이 [0km, 1000km] 범위에있는 경우 인접 구역으로의 변환이 허용됩니다). GeoConvert는 또한 자오선 수렴과 스케일을보고 할 수 있으며, whuber가 지적했듯이 영역 왜곡은 스케일의 제곱입니다.

예를 들어, "메인"영역이 42이고 포인트가 주어집니다

41N 755778 3503488

구역 42에서 서쪽으로 약 29km 떨어진 (칸다하르 대학교). 구역 42로 변환하려면

에코 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069

영역 42에서 자오선 수렴 및 스케일을 결정하려면 -c 플래그를 추가하십시오.

에코 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107

따라서 면적 왜곡은 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221입니다.

당사 사이트를 사용함과 동시에 당사의 쿠키 정책개인정보 보호정책을 읽고 이해하였음을 인정하는 것으로 간주합니다.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.