다양한 스케일에서 구면의 거리를 측정 할 때 피타고라스 정리 대 하버 사인 공식의 대략적인 오차는 무엇입니까?

두 경도 / 위도 쌍 사이의 거리를 처음 계산할 때 많은 사람들이 피타고라스 정리가 적절한 거리 함수로 작동하는지 묻습니다.

대부분의 사람들은 "아니요, 피타고라스의 정리는 2D 유클리드 비행기에서만 작동합니다."라고 대답합니다. 그러나 피타고라스의 정리가 얼마나 부 정확한지에 대한 사람들이 지구에서 규모와 위치의 영향을 언급하는 경우는 거의 없습니다.

기본 아이디어는 매우 작은 규모이며 구의 표면은 평면과 매우 유사합니다. 매우 큰 스케일에서, 표면을 따라 거리가 더 구부러 지므로 잘못된 피타고라스 정리와 정확한 Haversine Formula의 차이가 더 큽니다.

누구든지 측정하려는 거리의 규모에 따라 두 거리 측정의 차이를 알려주는 공식 또는 경험 법칙을 알고 있습니까?

나는 이것이 분명히 도움이 될 것이라고 생각합니다.

1. 피타고라스 정리가 왜 완전하지 않은지 설명; 과
2. 피타고라스가 실제로 자신의 목적을 달성 할 때 더 "거친"거리를 찾는 사람들에게 알릴 수 있습니다.

위도 및 경도로 주어진 위치에 피타고라스 공식을 사용하는 것은 정사각형에 대한 공식을 사용하여 원의 면적을 계산하는 것만 큼 의미가 없습니다.

작은 규모 의 매끄러운 표면은 평면처럼 보이지만 피타고라스 공식의 정확도는 사용 된 좌표에 따라 다릅니다 . 이러한 좌표가 구 (또는 타원체)에서 위도 및 경도 인 경우

1. 경도 선을 따른 거리는 상당히 정확합니다.

2. 적도의 거리는 상당히 정확합니다.

3. 다른 모든 거리는 위도와 경도의 차이에 대략 비례하여 잘못됩니다.

오차는 거리 계산의 시작점과 끝점에 따라 다릅니다. 그러나 구와 타원체는 축을 중심으로 원형 대칭을 갖기 때문에 오차 는 경도 의 차이 에만 의존하므로이 오차 를 연구하기 위해 원점을 Prime Meridian에 두어야합니다. 구면과 타원체는 남북 반사에서 대칭이므로 남반구의 원점 만 연구하면됩니다. 그러한 지점에 대해 [피타고라스 계산] / [참 거리]와 같은 상대 오차의 등고선지도를 그릴 수 있습니다.

지구의 평균 반경을 사용하는 피타고라스 공식은

Pythagorean distance =  6371000. * Sqrt[dx^2 + dy^2]] * pi / 180 meters

여기서 dx 는 경도의 차이이고 dy 는 위도의 차이 (도)입니다. (경도 값의 차이는 모듈러스 360을 줄여서 반 자오선을 넘을 때 올바른 dx 값을 제공합니다 . 그렇게하지 않으면 인위적으로 큰 오류가 발생하여 피타고라스 공식 자체에 대해서는 아무것도 알 수 없습니다.)

다음 그림은 -70에서 0까지의 위도 10도 단위로 WGS 84 타원체의 정확한 거리와 비교 한 상대 오차를 보여줍니다. 가로 좌표는 경도의 차이이고 세로 좌표는 대상의 위도입니다. 밝은 영역의 오류는 비교적 작습니다. 등고선은 1, 1.01, 1.02, 1.05, 1.1, 1.2, 1.5, 2 등입니다 (모퉁이의 순수한 흰색 영역은 오류가 이러한 윤곽의 범위를 벗어난 곳입니다) .) 빨간 점은 원점을 나타냅니다.

세로 흰색 띠는 기대의 정확성을 증명합니다 (1) : 피타고라스 거리는 경도 차이가 작을 때 정확합니다. 낮은 위도의 수평 흰색 밴드는 기대치를 확인합니다 (2) : 적도 근처에서 수평 거리가 상당히 정확합니다. 그렇지 않으면 광대 한 어두운 지역에서 볼 수 있듯이 피타고라스 공식은 다른 모든 거리에서 나쁩니다.

최대의 정량적 추정을 할 수 있습니다주변 포인트 쌍 (예 : 서로 수백 킬로미터 이내)에 대해 오류가 발생했습니다. 반경에 적절한 값을 사용하는 척도는 자오선을 따라 적용되지만 위도 원을 따라 오차가 발생합니다. 예를 들어 위도 40도에서 시컨트는 1.31이므로 피타고라스 공식은 동서 방향으로 약 31 %의 거리를 제공합니다. (이는 오른쪽 위의 등고선 플롯에서 위도 -40 도의 원점에 대해 분명합니다. 여기서 빨간 점의 바로 서쪽에있는 영역은 1.2와 1.5 사이의 윤곽선입니다.) 다른 모든 방향의 짧은 거리는 0 % 내지 31 %의 양만큼 너무 크다; 거리가 멀수록 거리가 멀어 질 수 있습니다 (등고선 그림에서 볼 수 있듯이).

나는 "피 타고 니안 거리"를 "유클리드 거리"로 해석했습니다. 그러면 답은 "원의 줄 길이와 주변 둘레의 차이는 무엇입니까?"와 같습니다. 반지름을 R로 설정하고, 추가 각도는 A (라디안)입니다.

perimeter = L = A*R
chord = C = 2*sin(A/2)*R
diff = D = L - C
     = (A-2*sin(A/2))*R
     = A^3/24 * R  (for A small)
     = L^3/(24*R^2) (eliminating A)
relative error = D/L
               = (L/R)^2/24

지구의 경우 R = 6400km를 대체하십시오. 그건 그렇고, 그것을 "거 버진 거리"(계산 방법)가 아닌 "큰 원 거리"(그것이 무엇인지)라고 부릅니다. (피타고라스 거리와 유클리드 거리의 차이와 유사합니다.)

완전하고 엄격한 답변을 원하시면 위 의 whuber의 답변 을 찾으십시오 . 좀 더 시각적이고 기본적인 방법으로 대답하겠습니다.

평면형 / 피타고라스 식 계산이 부적합한 이유는 계산이 그래프의 위치에 관계없이 한 방향으로 한 단계 이동하는 것이 일정한 크기의 변화라는 사실에 의존하기 때문입니다.

경도는이 요구 사항을 준수하지 않습니다. 경도선은 극점에서 수렴합니다.

이것이 우리가 평면 그래프의 규칙을 반영하기 위해 지구를 평평하게 할 때 왜곡을 얻는 이유입니다.

그지도를 보면 그린란드가 대략 아프리카의 크기이고 남극 대륙이 유라시아의 크기 인 것처럼 보입니다. 물론 그렇지 않습니다. 그린란드와 남극 대륙은 경도가 수렴되는 극에 가깝기 때문에 극도로 왜곡됩니다.

보시다시피 그린란드는 대략 멕시코의 크기입니다.

그리고 남극 대륙은 남아 프리카 공화국 (남아프리카가 아닌)의 크기와 비슷합니다.

오류를 볼 수 있듯이 피타고라스 공식을 적용하면 포인트가 포인트 사이의 거리보다 위치에 따라 달라집니다. 거리가 멀어지면 오류가 커진다는 중요한 경고가 있습니다. 그렇기 때문에 시험을 치르는 동안 평면 솔루션이 적합하지 않은 이유입니다. 왜곡은 당신을 물고 오프셋만큼 간단하지 않습니다. 실수는 부적절한 규칙에 맞게 지구를 뒤틀린 결과입니다.