볼록 다각형 내에서 최대 면적 직사각형을 찾는 방법은 무엇입니까?

이 글에서 우리는 볼록 다각형 내부 에서 최대 면적 직사각형 을 찾는 방법에 대한 알고리즘 / 아이디어 를 찾고 있습니다.

다음 그림에서 숫자는 적합 된 사각형의 영역입니다. 도시 된 바와 같이, 원하는 직사각형은 각 치수에서 변할 수 있고 임의의 각도 일 수있다.

편집하다:

여기서 언급 한대로 언급 된 문제를 처리하는 방법에 대한 명확한 아이디어가 없습니다. 그럼에도 불구하고, 우리 는 최대 면적 직사각형이 하나의 모서리 가 다각형의 모서리에 정렬 된 것 (물론 동일한 길이의 모서리 일 필요는 없음) 중 하나 일 수 있다고 생각 합니다 .

주석을 작성하기에는 너무 큰 메모 (이것은 명백한 알고리즘을 제안하지는 않지만) :

펀치 라인 (EDITED) : 최대 영역 사각형의 두 꼭지점이 다각형의 경계에 있어야합니다 (예 : 가장자리를 따라 또는 꼭지점). 최대 영역 사각형이 사각형이 아닌 경우 다각형의 경계에 3 개 이상의 꼭짓점이 있어야합니다.

나는 네 단계로 나 자신에게 그것을 증명했다.

참고 # 1 : 최대 영역 사각형의 적어도 하나의 꼭짓점은 항상 다각형의 경계에 있습니다. 이것은 명백하지만 증거는 다음과 같이 진행될 수 있습니다 (모순). 다각형 경계에 정점이없는 "최대"사각형이 있다고 가정합니다. 즉, 각 정점 주위에 최소한의 공간이 있어야합니다. 따라서 직사각형을 약간 확장하여 최대 값과 모순 될 수 있습니다.

# 2 참고 : 적어도 두 개의 최대 영역 사각형의 정점은 다각형의 경계에 거짓말을 항상합니다. 증거는 다음과 같이 진행될 수 있습니다 (모순으로) : 경계에 하나의 꼭지점이있는 "최대"사각형이 있다고 가정합니다 (주 # 1에서 보장). 해당 정점에 인접하지 않은 두 모서리를 고려하십시오. 끝 점이 경계에 없기 때문에 각 주변에 약간의 공간이 있습니다. 따라서이 모서리 중 하나가 "압출"되어 다각형의 영역이 확장되고 최대치와 모순 될 수 있습니다.

참고 # 3 : 다각형의 경계에 놓이는 최대 영역 사각형의 대각선으로 마주 보는 두 개의 정점이 있습니다. (우리는 노트 # 2에서 적어도 두 개가 있지만 반드시 서로 교차하는 것은 아니라는 것을 알고 있습니다.) 그러나 모순으로 다시 두 개의 경계 정점이 인접하면 반대쪽 가장자리 (두 정점 모두 경계에 있음)이 약간 돌출되어 직사각형의 면적이 증가하고 최대 값과 모순 될 수 있습니다.

참고 # 4 : (편집 됨) 최대 영역 사각형이 사각형이 아닌 경우 정점 중 3 개가 다각형의 경계에 놓입니다.

증명하기 위해, 그렇지 않은 경우, 즉 최대 영역 사각형이 정사각형이 아니지만 두 정점 만 다각형의 경계에 있다고 가정하십시오. 더 큰 사각형을 구성하여 최대 값과 모순되는 방법을 보여 드리겠습니다.

사각형의 꼭지점 전화 A, B, C,와 D. 일반성을 잃지 않고, 그 가정 B및 D다각형 경계에있는 두 가지이다. 이후 A및 C다각형의 내부에있는, (주위에 동그라미로 표시 주위에 약간의 호기심있다 A및 C아래 그림은). 이제 직사각형 주변 원 및 슬라이드 지점 그릴 A과 C동일한 양만큼 원형 주위에 약간 (만드는 A'하고 C', 아래 그림 참조) 때문에 새로운 사각형 그A'BC'D원래 사각형보다 사각형입니다. 이 프로세스는 원래 다각형 내에 있고 더 넓은 영역을 가진 새 사각형을 만듭니다. 이것은 모순이므로 증명이 완료됩니다.

그 증거를 믿기 위해서는 원에 새겨진 사각형의 면적이 "더 정사각형"이 될수록 증가한다는 것을 스스로에게 확신시켜야합니다 (즉, 가장자리 길이의 차이가 더 작아짐). 새 선이 모두 안에 있도록 다각형이 볼록해야합니다. 그리고 다른 작은 세부 사항이 깔개 아래에 휩쓸 릴 수도 있지만 모든 것이 잘 작동한다고 확신합니다.

나는 질문에서 당신의 녹색 노트에 대해 매우 빠르고 무시 무시한 스케치를했습니다. 의견으로 게시 할 수 없으므로 답변이 아닌 경우에도 답변을 작성해야했습니다.
아래 이미지에는 최대 면적 사각형 (완벽하지는 않지만 아이디어를 제공하기 위해 페인트로 만든 스케치 일 뿐임)이 있다고 생각합니다. 검은 색 plygon의 테두리 ...
그러나 나는 틀릴 수있다.

대부분의 다른 알고리즘은 볼록한 다각형으로 새겨진 최대 영역 직선 직사각형을 발견하고 복잡도를 나타 O(log n)냅니다. 최대 면적 폴리곤이 측면 중 하나와 정렬되어 있다고 생각하지 않습니다. 폴리곤 n시간을 회전하기 만하면되기 때문에 복잡합니다. O(n log n)간단한 연구에서 그렇게 쉬웠다는 말을 찾으십시오.

그러나, Knauer 등의 볼록 다각형의 가장 큰 내접 사각형 종이 . al.은 정답에 가까이 갈 수있는 근사 알고리즘을 설명합니다.

알고리즘을 이해하는 가장 좋은 방법은 알려진 축 정렬 최대 영역 다각형 중 하나를 기반으로 구축 한 다음 폴리온 공간 내부의 점을 무작위로 샘플링하고 임의의 샘플에서 여러 개의 축을 생성하며 해당 축을 반복하여 축을 적용합니다 알고리즘을 각각에 맞춘 다음 해당 세트에서 가장 큰 사각형을 반환합니다.