대륙을 가로 지르는 '직선'경로가 왜 이렇게 곡선입니까?
답변:
구의 경로를보십시오. 여기는 Google 어스에 있습니다.
에 경로 당신의 지도 왜곡의 많은 프로젝션을 사용하기 때문에지도는 강력하게 곡선한다. (극을 향하지 않고 왜곡이 커지고이 경로는 북극에 가까워지고 있습니다.)
편집하다
지도에서이 측지선의 곡률을 설명하기 위해 왜곡이 필요하지만 이들 사이의 연결은 미묘합니다. 한 번에 유용하고 유익하며 우아하다고 말할 수 있습니다. 동의하는지 확인하십시오.
OP의지도는 메르카토르 투영법을 사용합니다. 그 두드러진 특성은
원통형 : 특히 자오선은지도에서 수직선입니다.
컨 포멀 : 지구에서 두 개의 경로가 교차하는 각도는지도에 올바르게 렌더링됩니다.
Loxodromic : 지구상에서 일정한 베어링 경로는 직선 세그먼트로 렌더링됩니다.
이러한 속성을 통해 중요한 정보를지도에서 직접 쉽게 읽을 수 있습니다. 이 맥락에서 나는 그것이 교차하는 각 자오선과의 경로에 의해 만들어진 각도에 가장 관심이 있습니다. (이것들은 북쪽에서 측정 된 방위 입니다.) 예를 들어, 질문에 묘사 된 경로는 위도 약 54 도인 캐나다에서 시작하여 자오선과 약 30 도의 각도를 이룹니다.
위도 54도 지점에 대해 알아야 할 것은 적도를 따르는 지점보다 지구 축에 더 가깝다는 것입니다. 실제로, 축에서 cos (54) * R이며, 여기서 R은 지구의 반지름입니다. (이것은 본질적으로 코사인 의 정의 입니다. 코사인에 대해 어느 정도 친숙해 지도록 도와 주므로, 그들이 어떻게 행동하는지 이해하지만 다른 삼각법을 전혀 알 필요는 없습니다. 각도 의 사인 은 보수의 코사인입니다 (예 : sin (32도) = cos (90-32) = cos (58)).
마지막으로 지구는 축을 중심으로 회전 대칭입니다. 이를 통해 Clairaut의 아름다운
정리 (1743) : 매끄러운 회전 표면의 경로에서경로가 로컬 측지선 인 경우에만 베어링 의 사인으로 축까지의 거리 의 곱은일정 합니다 .
따라서 30도 각도에서 위도 54도에서 시작하기 때문에 정리의 곱은 cos (54) * R * sin (30) = 0.294 * R과 같습니다.
이것이 어떻게 도움이됩니까? 경로가 지도에서 거의 직진하면 어떻게 될지 고려 하십시오 . 조만간 위도는 73도까지 상승 할 것입니다. Clairaut의 정리를 사용하여이 위도에서 베어링을 해결할 수 있습니다.
cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;
sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;
bearing = 90 degrees.
이것은 우리가 위도 73도에 도달 할 때, 우리는 동쪽으로 여행해야 한다고 말합니다 ! 즉, 측지선이되기 위해 경로 는 30도 (북동쪽)의 초기 방위가 90도 (북쪽 동쪽)가되도록 강하게 구부러져 야합니다 .
(물론 cos (latitude) = cos (latitude) * sin (90) = cos (54) * sin (60) 방정식을 풀어서 73 도의 값을 찾았습니다. ) sin (90) = 1 (sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1) 및 (b) 대부분의 계산기와 스프레드 시트에는 코사인을 푸는 함수가 있습니다.이를 ArcCos 또는 역 코사인이라고합니다. 이 작은 세부 사항을 더 이상 trig에 대한 나의 약속을 어기는 것으로 보지 않기를 바랍니다 ...)
이와 같은 몇 가지 계산을 수행하면 Clairaut의 정리가 말하는 것에 대한 직감을 개발할 수 있습니다. (지구와 같이) 회전 표면의 경로는 (a) 축에서 멀리 떨어진 지점에서 자오선에 평행하게되고 (b) 베어링이 더 커질 때에 만 측지선 (로컬에서 가장 짧거나 "직선") 일 수 있습니다. 축에 더 가까운 지점에서 자오선에 수직. 수직으로 얻을 수있는 각도 (90도)에는 한계가 있기 때문에 얻을 수있는 축과의 거리에는 한계가 있습니다. 베어링 (= 자오선 각도) (축선 = 거리)와 위도의 조정이 상수는 가장지도 측지선의 외관상의 곡률이 발생 특히 자오선과 위도 선이 각각 세로 선과 가로 선으로 렌더링되는 원통형 투영을 사용하는 경우.
다음은 Clairaut 'Theorem의 쉬운 의미입니다. 당신이 그들 모두를 증명할 수 있는지보십시오 :
적도는 측지선이어야합니다.
모든 자오선은 측지학입니다.
적도 이외의 위도 선 (및 극을 포함하려는 경우 극점)은 측지선이 될 수 없습니다. 위도 선의 작은 부분 조차도 측지적일 수 없습니다.
일정한 방위의 선인 Loxodromes (일명 rhumb 선)은 자오선이나 적도가 아닌 한 측지선이 될 수 없습니다. 그러한 독소 의 작은 부분 조차도 측 지적 일 수는 없습니다. 다시 말해, 고정 된 나침반 방향으로 항해하거나 비행하는 경우, 몇 가지 명백한 예외를 제외하고는 경로가 끊임없이 구부러집니다!
포인트 4는 북쪽에서 동쪽으로 30 도의 초기 방위로 캐나다 로키 산맥에서 비행하면 직선으로 비행하기 위해 북쪽을 기준으로 지속적으로 (오른쪽으로) 회전해야합니다. 위도 73도에서 북쪽으로 가지 않습니다. 그리고 당신이 충분히 계속한다면, 당신은 그것을 폴란드로 만들 것이고 거기에 도착하면 북쪽에서 대략 150도 동쪽으로 향할 것입니다. 물론 세부 사항 (73도, 폴란드, 150도) 은 Clairaut의 정리에 대한 양적 진술 에서만 얻을 수 있습니다. 일반적으로 직관적 인 측지학 아이디어만으로는 그런 종류의 것을 알아낼 수 없습니다.
이 모든 결과 는 완벽한 구체뿐만 아니라 일반적인 타원체 (타원에 의해 생성 된 회전 표면)를 유지한다는 점에 주목할 필요가 있습니다. 약간의 수정으로 토리 (베이글 또는 트럭 타이어 표면) 및 기타 여러 흥미로운 표면을 유지합니다. 공상 과학 작가 인 Larry Niven은 작은 인공적인 원환 체 형태의 세계가 등장 하는 소설 을 썼다 .
이 투영 (Google Mercator)에서는 두 장소 사이 의 큰 원호 모양입니다.
간단한 추가 사항 :
또한 아시아에서 미국으로가는 비행기는 거의 북극을 여행 할 것입니다.
그 방향으로, 그들은 종종 제트 기류를 사용합니다. 다른 방향으로 그들은 실제로 극 위로 / 가까이로 날아갈 것입니다.
메르카토르 투영법은 극점에서 왜곡됩니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection
더 많은 정보 Tissot 's Indicatrix
따라서 후자의 극에서 가파른 정도가 더 예리합니다
2D 평면이 2 구면 표면에 투영되어 있기 때문에, 선이 극을 지나갈 때 2D 평면의 관찰자가 관심을 갖는 한 대상에 대한 직선이 곡선으로 보이기 때문에 왜곡됩니다 원이 구의 중심을 통과하는 한 구에서 분리 될 수있는 가장 큰 원과 관련된 수학의 용어 인 대원의 궤. 나는 설명을 위해 선을 긋는 방식으로 다른 답변에서 제공되는 이미지를 약간 수정했습니다. 비슷한 개념이 중력의 배후에 있다고 생각하지만 물리학자가 아니기 때문에 말할 수 없었습니다.
점이 점점 가까워 질수록 Flat 2D 표면에 렌더링 될 때 변형이 줄어 듭니다. 또한 사용 된 프로젝션 방법에 따라 달라지며 두 점 사이의 가장 빠른 경로를 평평하게 보이게 한 다음 전체 구면 뷰로 되돌아가는 데 중점을 두는 방법이 있습니다.