“P = NP”란 무엇이며 왜 그렇게 유명한 질문입니까? [닫은]

P = NP가 아마도 모든 컴퓨터 과학에서 가장 유명한 지에 대한 질문. 무슨 뜻인가요? 왜 그렇게 재미 있습니까?

아, 그리고 추가 신용을 위해 진술의 진실 또는 허위에 대한 증거를 게시하십시오. :)

P는 다항식 시간을 나타냅니다. NP는 비 결정적 다항식 시간을 나타냅니다.

정의 :

• 다항식 시간 은 알고리즘의 복잡도가 O (n ^ k)임을 의미합니다. 여기서 n은 데이터 크기 (예 : 정렬 할 목록의 요소 수)이고 k는 상수입니다.

• 복잡성 은 데이터 항목 수의 함수로 수행 할 작업 수에서 측정 된 시간입니다.

• 작업 은 특정 작업의 기본 작업으로 의미가있는 것입니다. 정렬의 기본 작업은 비교입니다. 행렬 곱셈의 경우 기본 연산은 두 숫자의 곱입니다.

문제는 결정 론적 비결정론 적이 란 무엇입니까? Turing machine (TM)이라는 가상 컴퓨터 인 추상 계산 모델이 있습니다. 이 기계는 유한 한 수의 상태와, 유한 한 테이프 세트를 쓰고 읽을 수있는 개별 셀이있는 무한 테이프를 가지고 있습니다. 주어진 시간에 TM은 상태 중 하나이며 테이프의 특정 셀을보고 있습니다. 해당 셀에서 읽은 내용에 따라 해당 셀에 새 심볼을 작성하고 테이프를 한 셀 앞뒤로 이동 한 다음 다른 상태로 이동할 수 있습니다. 이것을 상태 전이라고합니다. 놀랍게도 상태와 전환을 신중하게 구성하여 작성할 수있는 모든 컴퓨터 프로그램에 해당하는 TM을 설계 할 수 있습니다.

여기에는 우리가 관심을 갖는 두 가지 종류의 TM이 있습니다 : 결정 론적 및 비결정론 적. 결정 성 TM은 테이프를 읽는 각 기호에 대해 각 상태에서 하나의 전이만 갖습니다. 비 결정적 TM은 여러 가지 그러한 전이를 가질 수 있으며, 즉 여러 가능성을 동시에 확인할 수 있습니다. 이것은 여러 스레드를 생성하는 것과 같습니다. 차이점은 비 결정적 TM이 원하는만큼의 "스레드"를 생성 할 수있는 반면, 실제 컴퓨터에서는 한 번에 특정 수의 스레드 만 실행할 수 있다는 것입니다 (CPU 수와 동일). 실제로 컴퓨터는 기본적으로 유한 테이프를 가진 결정 론적 TM입니다. 한편, 양자 컴퓨터를 제외하고는 비 결정적 TM을 물리적으로 실현할 수 없습니다.

비 결정적 TM에 의해 해결 될 수있는 모든 문제는 결정적 TM에 의해 해결 될 수 있음이 입증되었다. 그러나 시간이 얼마나 걸리는지 명확하지 않습니다. 문장 P = NP는 문제가 비 결정적 TM에 대해 다항식 시간이 걸리면 다항식 시간에서도 동일한 문제를 해결할 결정적 TM을 작성할 수 있음을 의미합니다. 지금까지 아무도 그 일을 할 수 있다는 것을 보여줄 수 없었지만, 그 일도 할 수 없다는 것을 증명할 수 없었습니다.

NP- 완전 문제는 NP 문제 X를 의미하므로 다항식 감소에 의해 NP 문제 Y를 X로 줄일 수 있습니다. 그것은 누군가가 NP- 완전 문제에 대한 다항식 시간 솔루션을 생각 해냈다면, 그것은 또한 모든 NP 문제에 대한 다항식 시간 솔루션을 제공 할 것임을 의미합니다. 따라서 그것은 P = NP임을 증명할 것입니다. 반대로, 누군가 P! = NP임을 증명한다면, 일반적인 컴퓨터에서 다항식 시간에 NP 문제를 해결할 방법이 없다는 것을 확신 할 수 있습니다.

NP- 완전 문제의 예는 n 개의 변수를 포함하는 부울 식을 true로 만드는 진리 할당을 찾는 문제입니다.
실제로는 비 결정적 TM에서 다항식 시간이 걸리는 문제는 결정적 TM 또는 일반적인 컴퓨터에서만 지수 시간으로 수행 할 수 있습니다.
예를 들어, 진실 할당 문제를 해결하는 유일한 방법은 2 ^ n 가능성을 시도하는 것입니다.

1. 다항식 시간으로 답을 계산할 수 있으면 예 ( 아니오) 문제는 P ( P olynomial time)에 있습니다.
2. A 예 - 나 - 아무 문제에없는 NP ( N 에 결정적 P 찬성 대답이 될 수있는 경우 olynomial 시간) 확인 다항식 시간에.

직관적으로, 우리는 문제가있는 경우 볼 수 있습니다 P , 다음은에 NP . P 의 문제에 대한 잠재적 인 대답이 주어지면 간단히 답을 다시 계산하여 답을 확인할 수 있습니다.

NP의 모든 문제 가 P 에 있는지 여부는 덜 분명하고 대답하기가 훨씬 어렵습니다 . 다항식 시간으로 답을 확인할 수 있다는 사실이 다항식 시간으로 그 답을 계산할 수 있다는 의미입니까?

NP- 완료 로 알려진 많은 중요한 문제가 있습니다 (기본적으로 이러한 문제가 P 로 입증 된 경우 모든 NP 로 입증 된 문제는 P 로 입증 됨 ). 경우 P는 = NP를 , 모든 이러한 문제를 효율적으로 (다항식 시간) 솔루션을 입증한다.

대부분의 과학자들은 P ! = NP 라고 생각합니다 . 그러나 P = NP 또는 P ! = NP에 대한 증거는 아직 확립되지 않았습니다 . 누군가 추측에 대한 증거를 제공한다면 그들은 백만 달러를 이길 것 입니다.

가장 간단한 대답을하기 위해 :

특정 수의 입력을 취하는 문제가 있고 주어진 입력에 대한 문제를 해결할 수도 있고 해결할 수없는 다양한 잠재적 솔루션이 있다고 가정합니다. 퍼즐 매거진의 논리 퍼즐은 좋은 예입니다. 입력은 조건 ( "George는 청록색 또는 녹색 집에 살지 않습니다")이며 가능한 해결책은 진술 목록입니다 ( "George는 노란색으로 산다" 집, 완두콩을 키우고 개를 소유합니다 "). 유명한 예는 Traveling Salesman 문제입니다. 도시 목록과 도시에서 다른 도시로 이동하는 시간과 시간 제한이 주어지면 잠재적 해결책은 세일즈맨이 방문한 순서대로 도시 목록이 될 것입니다. 여행 시간의 합이 시간 제한보다 작 으면 작동합니다.

잠재적 인 솔루션을 효율적으로 검사하여 작동하는지 확인할 수 있다면 이러한 문제는 NP에 있습니다. 예를 들어, 세일즈맨이 방문 할 도시 목록을 순서대로 살펴보면 각 도시 간 여행 시간을 합산하여 시간 제한 미만인지 쉽게 확인할 수 있습니다. 솔루션이 존재하는 경우 효율적으로 찾을 수 있다면 문제는 P에 있습니다.

(효율적으로 여기에는 정확한 수학적 의미가 있습니다. 실제로 큰 문제는 부당하게 해결하기 어렵지 않습니다. 가능한 솔루션을 검색 할 때 가능한 모든 잠재적 인 솔루션이나 그에 가까운 것을 나열하는 비효율적 인 방법이 있습니다. 효율적인 방법을 사용하려면 훨씬 제한된 세트를 검색해야합니다.)

따라서 P = NP 문제는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 위에서 설명한 종류의 문제에 대한 솔루션을 효율적으로 검증 할 수 있다면 솔루션을 효율적으로 찾거나 찾을 수 없습니까? 명백한 대답은 "왜 당신이 할 수 있어야 하는가?"이며, 그것은 오늘날 문제가있는 곳과 거의 같습니다. 어느 누구도 그것을 증명할 수 없었으며 많은 수학자와 컴퓨터 과학자들을 귀찮게한다. 그렇기 때문에 솔루션을 입증 할 수있는 사람이 Claypool Foundation의 백만 달러에 달하는 이유입니다.

일반적으로 P는 NP와 같지 않으며 솔루션을 찾을 수있는 일반적인 방법이 없다고 가정합니다. P = NP 인 것으로 판명되면 많은 것이 바뀔 것입니다. 예를 들어, 암호화는 불가능 해졌으며 인터넷에서 개인 정보 보호 또는 확인 가능성이 있습니다. 결국 암호화 된 텍스트와 키를 효율적으로 가져 와서 원본 텍스트를 생성 할 수 있으므로 P = NP 인 경우 미리 알 필요없이 키를 효율적으로 찾을 수 있습니다. 암호 크래킹은 사소한 것이 될 것입니다. 반면에 효과적으로 해결할 수있는 계획 문제와 리소스 할당 문제의 전체 클래스가 있습니다.

NP-complete라는 설명을 들었을 수 있습니다. NP- 완전 문제는 NP (물론)이며 다음과 같은 흥미로운 특성을 가지고 있습니다. P에 있다면 모든 NP 문제는 P = NP입니다. Traveling Salesman 문제 또는 퍼즐 매거진의 논리 퍼즐을 효율적으로 해결하는 방법을 찾을 수 있다면 NP의 모든 것을 효율적으로 해결할 수 있습니다. NP- 완전 문제는 어떤면에서 가장 어려운 NP 문제입니다.

따라서 NP 완료 문제에 대한 효율적인 일반 솔루션 기술을 찾거나 그러한 기술이 존재하지 않음을 증명할 수 있다면 명성과 재산은 당신의 것입니다.

나의 겸손한 지식으로부터의 짧은 요약 :

매우 빠른 계산이 가능한 몇 가지 쉬운 계산 문제가 있습니다 (그래프에서 두 점 사이의 최단 경로 찾기) (O (n ^ k), 여기서 n은 입력 크기이고 k는 상수입니다 그래프의 경우 정점 또는 모서리 수)).

그래프의 모든 정점을 가로 지르는 경로를 찾거나 공개 키에서 RSA 개인 키를 얻는 것과 같은 다른 문제는 더 어렵습니다 (O (e ^ n)).

그러나 CS의 말에 따르면 문제는 비 결정적 튜링 머신을 결정 론적 튜닝 머신으로 '변환'할 수 없지만 정규 표현식 파서와 같은 비 결정적 유한 오토 마톤을 결정 론적 자동 머논으로 변환 할 수 있다는 것입니다. 할 수 있지만 시스템의 런타임은 시간이 오래 걸립니다). 즉, 가능한 모든 경로를 시도해야합니다 (보통 스마트 CS 교수는 몇 가지를 제외 할 수 있음).

아무도 해결책에 대해 전혀 모르기 때문에 흥미 롭습니다. 어떤 사람들은 그것이 사실이라고 말하고 어떤 사람들은 그것이 거짓이라고 말하지만 합의는 없습니다. 또 다른 흥미로운 점은 솔루션이 RSA와 같은 공개 / 개인 키 암호화에 해로울 수 있다는 것입니다. RSA 키를 생성하는 것처럼 쉽게 중단 할 수 있습니다.

그리고 그것은 꽤 고무적인 문제입니다.

질문의 P =? NP 부분의 내용과 이유에 추가 할 수있는 것은 많지 않지만 증거와 관련하여 추가 할 수는 없습니다. 증거는 추가 크레딧의 가치가있을뿐만 아니라 밀레니엄 문제 중 하나를 해결할 것입니다 . 최근 흥미로운 여론 조사가 실시되었고, 출판 된 결과 (PDF) 는 증거의 주제와 관련하여 읽을 가치가 있습니다.

먼저 일부 정의는 다음과 같습니다.

• 입력 크기가 어디에 있는지에 n^k대한 솔루션 을 일부 보다 적은 시간 내에 솔루션을 계산할 수있는 경우 특정 문제는 P에 있습니다 . 예를 들어, 보다 작은 정렬을 수행 할 수 있으므로 정렬은 다항식 시간입니다.knn log nn^2

• k기껏 n^k해야 제 시간에 확인할 수있는 크기의 솔루션 이있는 경우 문제는 NP에 있습니다 n^k. 그래프의 3 색 채색 : 그래프에서 3 색은 크기가있는 (정점, 색) 쌍의 목록이며 모든 이웃이 다른 색을 가지고 있는지 O(n)시간 O(m)(또는 O(n^2))으로 확인할 수 있습니다 . 따라서 짧고 쉽게 확인할 수있는 솔루션이있는 경우에만 그래프를 3 색으로 표시 할 수 있습니다.

NP의 동등한 정의는 " P 의 N 결정 론적 튜링 머신으로 해결할 수있는 문제" 입니다. olynomial 시간". 이름이 어디에서 왔는지 알려 주지만 NP 문제와 같은 직관적 인 느낌을주지는 않습니다.

P는 NP의 하위 집합입니다. 다항식 시간으로 솔루션을 찾을 수 있으면 다항식 시간으로 확인할 수있는 솔루션이 있습니다. 주어진 솔루션이 찾을 수있는 것과 같은지 확인하십시오.

질문이 왜 P =? NP흥미로운가요? 이에 대한 답을 얻으려면 먼저 NP- 완전 문제가 무엇인지 알아야합니다. 간단히 말해서

• 문제 L은 (1) L이 P에 있고, (2) L을 해결하는 알고리즘을 사용하여 NP의 모든 문제 L '을 해결하는 경우 NP- 완료; 즉, L '의 인스턴스가 주어지면 L'의 인스턴스에 솔루션이있는 경우에만 솔루션이있는 L의 인스턴스를 작성할 수 있습니다. 공식적으로 말하면 NP의 모든 문제 L '은 L로 환원 됩니다.

L의 인스턴스는 다항식 시간 계산 가능해야하고 L '크기의 다항식 크기 ​​여야합니다. 그런 식으로 다항식 시간에서 NP- 완전 문제를 해결하면 모든 사람 에게 다항식 시간 솔루션이 제공 됩니다. NP 문제에 .

예를 들면 다음과 같습니다. 그래프의 3 색 표시가 NP-hard 문제라는 것을 알고 있다고 가정합니다. 부울 공식의 만족도를 결정하는 것도 NP-hard 문제라는 것을 증명하고자합니다.

각 정점 v에 대해 두 개의 부울 변수 v_h 및 v_l과 요구 사항 (v_h 또는 v_l)이 있습니다. 각 쌍은 값 {01, 10, 11} 만 가질 수 있으며 이는 색상 1, 2 및 3으로 생각할 수 있습니다.

각 모서리 (u, v)에 대해 (u_h, u_l)! = (v_h, v_l) 요구 사항이 있습니다. 그건,

not ((u_h and not u_l) and (v_h and not v_l) or ...) 모든 동등한 구성을 열거하고 그 중 어느 것도 해당하지 않는 규정.

AND이 모든 제약 조건을 함께 사용하면 다항식 크기 ​​( O(n+m)) 를 갖는 부울 수식이 생성 됩니다. 계산에 다항식 시간이 걸리는지 확인할 수 있습니다.O(1) . 정점과 모서리마다 작업을 있습니다.

내가 만든 부울 공식을 풀 수 있다면 그래프 색상을 풀 수 있습니다. 각 변수 쌍 v_h와 v_l에 대해 v의 색을 해당 변수의 값과 일치하는 색으로 만듭니다. 수식을 구성하면 이웃의 색상이 동일하지 않습니다.

따라서, 그래프의 3 색이 NP- 완전이면, 부울-식-만족도입니다.

우리는 그래프의 3 색이 NP- 완전 함을 알고 있습니다. 그러나 역사적으로 우리는 먼저 부울 회로 만족도의 NP- 완전성을 보여준 다음 3 색으로 줄임으로써 (다른 방법으로)이를 알게되었습니다.