이것을 가지고 있다고 가정 해 봅시다.
P1 = (x=2, y=50)
P2 = (x=9, y=40)
P3 = (x=5, y=20)
P1이것이 원의 중심점 이라고 가정합니다 . 항상 동일합니다. 나는 P2and 로 이루어진 각도 P3, 즉 옆에 있는 각도를 원합니다 P1. 정확한 내부 각도입니다. 항상 예각이므로 -90도 미만입니다.
나는 생각했다 : 남자, 그것은 단순한 기하학 수학이다. 하지만 지금까지 약 6 시간 동안 공식을 찾았고, arccos 및 벡터 스칼라 제품과 같은 복잡한 NASA에 대해 이야기하는 사람들 만 있습니다. 머리가 냉장고에있는 것 같은 느낌이 들어요.
이것이 간단한 문제라고 생각하는 수학 전문가? 나는 여기서 프로그래밍 언어가 중요하다고 생각하지 않지만 그렇게 생각하는 사람들에게는 java와 objective-c가 중요하다. 둘 다 필요하지만 태그를 지정하지 않았습니다.
답변:
P1이 꼭지점 인 각도를 의미하는 경우 코사인 의 법칙 을 사용하면 다음과 같이 작동합니다.
Arccos((P 12 2 + P 13 2 -P 23 2 ) / (2 * P 12 * P 13 ))
여기서 P 12 는 P1에서 P2까지의 세그먼트 길이이며 다음과 같이 계산됩니다.
sqrt ((P1 x -P2 x ) 2 + (P1 y -P2 y ) 2 )
점 P1에서 P2로, 하나는 P1에서 P3까지 두 개의 벡터로 생각하면 매우 간단 해집니다.
그래서 :
a = (p1.x-p2.x, p1.y-p2.y)
b = (p1.x-p3.x, p1.y-p3.y)
그런 다음 내적 공식을 반전
하여 각도를 구할 수 있습니다.
기억 
단지 수단 : A1 *, A2 * B1 + B2를 (여기서는 단지 2 차원 ...)
각도 계산을 처리하는 가장 좋은 방법 atan2(y, x)은 주어진 점이 원점을 기준으로 x, y해당 점과 X+축에서 각도를 반환하는 것을 사용 하는 것입니다.
계산이
double result = atan2(P3.y - P1.y, P3.x - P1.x) -
atan2(P2.y - P1.y, P2.x - P1.x);
즉, 기본적으로 두 점을 -P1(즉 P1, 원점에서 끝나 도록 모든 것을 번역) 변환 한 다음의 P3및의 절대 각도의 차이를 고려합니다 P2.
의 장점은 atan2완전한 원이 표시된다는 것입니다 (-π와 π 사이의 숫자를 얻을 수 있음). 대신 acos올바른 결과를 계산하기 위해 부호에 따라 여러 경우를 처리해야합니다.
에 대한 유일한 특이점은 atan2입니다 (0, 0)모두 의미 ... P2와는 P3달라야합니다 P1각도에 대한 이야기로 이해가되지 않는 경우 등.
atan2정확히이 문제에 필요한 것이지만, 대부분의 사람들이이 질문에 대해 이해하지 못하거나 왜 acos기반 솔루션이 나쁜지 이해할 수없는 것처럼 보입니다 . 운 좋게도 저는 "누군가가 인터넷에서 잘못되었습니다"( xkcd.com/386 ) 단계를 몇 년 전에 떠났고 명백한 방어를위한 싸움을 시작하지 않을 것입니다 :-)
JavaScript로 예를 들어 보겠습니다. 저는 그와 많이 싸웠습니다.
/**
* Calculates the angle (in radians) between two vectors pointing outward from one center
*
* @param p0 first point
* @param p1 second point
* @param c center point
*/
function find_angle(p0,p1,c) {
var p0c = Math.sqrt(Math.pow(c.x-p0.x,2)+
Math.pow(c.y-p0.y,2)); // p0->c (b)
var p1c = Math.sqrt(Math.pow(c.x-p1.x,2)+
Math.pow(c.y-p1.y,2)); // p1->c (a)
var p0p1 = Math.sqrt(Math.pow(p1.x-p0.x,2)+
Math.pow(p1.y-p0.y,2)); // p0->p1 (c)
return Math.acos((p1c*p1c+p0c*p0c-p0p1*p0p1)/(2*p1c*p0c));
}보너스 : HTML5 캔버스의 예
sqrt하고 제곱 하여이를 더 효율적으로 만들 수 있습니다 . 여기 (Ruby로 작성된) 또는이 업데이트 된 데모 (JavaScript) 에서 내 대답을 참조하십시오 .
P1을 원의 중심으로 생각한다면 너무 복잡하다고 생각하는 것입니다. 간단한 삼각형이 있으므로 코사인 법칙으로 문제를 해결할 수 있습니다 . 극좌표 변형 등이 필요하지 않습니다. 거리가 P1-P2 = A, P2-P3 = B 및 P3-P1 = C라고 가정합니다.
각도 = arccos ((B ^ 2-A ^ 2-C ^ 2) / 2AC)
당신이해야 할 일은 거리 A, B, C의 길이를 계산하는 것뿐입니다. 그것들은 당신의 포인트와 피타고라스의 정리 의 x, y 좌표에서 쉽게 구할 수 있습니다.
길이 = sqrt ((X2-X1) ^ 2 + (Y2-Y1) ^ 2)
P1-P2 = A은 "A를 계산하려면 P1에서 P2를 뺍니다"로 읽어서는 안되며 "나는 P1에서 P2까지의 거리로 A를 정의합니다"로 읽어야합니다. 그러면 두 번째 방정식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 나는 방정식을 더 읽기 쉽게 만들기 위해 거리에 대한 속기를 정의하고 싶었습니다.
최근에 비슷한 문제가 발생했지만 양의 각도와 음의 각도를 구분해야했습니다. 이것이 누구에게나 유용한 경우, Android 용 터치 이벤트에 대한 회전 감지에 대해이 메일 링 목록 에서 가져온 코드 스 니펫을 권장합니다 .
@Override
public boolean onTouchEvent(MotionEvent e) {
float x = e.getX();
float y = e.getY();
switch (e.getAction()) {
case MotionEvent.ACTION_MOVE:
//find an approximate angle between them.
float dx = x-cx;
float dy = y-cy;
double a=Math.atan2(dy,dx);
float dpx= mPreviousX-cx;
float dpy= mPreviousY-cy;
double b=Math.atan2(dpy, dpx);
double diff = a-b;
this.bearing -= Math.toDegrees(diff);
this.invalidate();
}
mPreviousX = x;
mPreviousY = y;
return true;
}며칠 전, 같은 문제에 빠졌고 수학 책과 함께 앉아야했습니다. 몇 가지 기본 공식을 결합하고 단순화하여 문제를 해결했습니다.
이 그림을 고려해 봅시다.
ϴ 를 알고 싶기 때문에 먼저 α 와 β 를 알아 내야 합니다. 이제 모든 직선에 대해
y = m * x + c
Let- A = (ax, ay) , B = (bx, by) , O = (ox, oy) . 따라서 OA 라인의 경우 -
oy = m1 * ox + c ⇒ c = oy - m1 * ox ...(eqn-1)
ay = m1 * ax + c ⇒ ay = m1 * ax + oy - m1 * ox [from eqn-1]
⇒ ay = m1 * ax + oy - m1 * ox
⇒ m1 = (ay - oy) / (ax - ox)
⇒ tan α = (ay - oy) / (ax - ox) [m = slope = tan ϴ] ...(eqn-2)
같은 방식으로 라인 OB의 경우 -
tan β = (by - oy) / (bx - ox) ...(eqn-3)
이제 ϴ = β - α. 삼각법에서는 공식이 있습니다.
tan (β-α) = (tan β + tan α) / (1 - tan β * tan α) ...(eqn-4)
tan αeqn-4에서 (from eqn-2) 및 tan b(from eqn-3) 의 값을 바꾸고 단순화를 적용하면
tan (β-α) = ( (ax-ox)*(by-oy)+(ay-oy)*(bx-ox) ) / ( (ax-ox)*(bx-ox)-(ay-oy)*(by-oy) )
그래서,
ϴ = β-α = tan^(-1) ( ((ax-ox)*(by-oy)+(ay-oy)*(bx-ox)) / ((ax-ox)*(bx-ox)-(ay-oy)*(by-oy)) )
그게 다야!
이제 다음 그림을보십시오.
이 C # 또는 Java 방법은 각도 ( ϴ )를 계산합니다.
private double calculateAngle(double P1X, double P1Y, double P2X, double P2Y,
double P3X, double P3Y){
double numerator = P2Y*(P1X-P3X) + P1Y*(P3X-P2X) + P3Y*(P2X-P1X);
double denominator = (P2X-P1X)*(P1X-P3X) + (P2Y-P1Y)*(P1Y-P3Y);
double ratio = numerator/denominator;
double angleRad = Math.Atan(ratio);
double angleDeg = (angleRad*180)/Math.PI;
if(angleDeg<0){
angleDeg = 180+angleDeg;
}
return angleDeg;
}
Objective-C에서는 다음과 같이 할 수 있습니다.
float xpoint = (((atan2((newPoint.x - oldPoint.x) , (newPoint.y - oldPoint.y)))*180)/M_PI);부호있는 각도 (-90)를 언급하셨습니다. 많은 응용 프로그램에서 각도에 부호가있을 수 있습니다 (양수 및 음수, http://en.wikipedia.org/wiki/Angle 참조 ). 점이 (예를 들어) P2 (1,0), P1 (0,0), P3 (0,1)이면 각도 P3-P1-P2는 일반적으로 양수 (PI / 2)이고 각도 P2-P1- P3은 음수입니다. 변의 길이를 사용해도 +와-를 구분하지 못하므로, 이것이 중요하다면 벡터 나 Math.atan2 (a, b)와 같은 함수를 사용해야합니다.
각도는 또한 2 * PI 이상으로 확장 될 수 있으며 이것은 현재 질문과 관련이 없지만 내 자신의 각도 클래스를 작성하는 것이 충분히 중요했습니다 (도 및 라디안이 혼합되지 않았는지 확인하기 위해). angle1이 angle2보다 작은 지 여부에 대한 질문은 각도 정의 방법에 따라 결정적으로 달라집니다. 줄 (-1,0) (0,0) (1,0)이 Math.PI 또는 -Math.PI로 표시되는지 여부를 결정하는 것도 중요 할 수 있습니다.
최근 저도 같은 문제가 있습니다. Delphi에서는 Objective-C와 매우 유사합니다.
procedure TForm1.FormPaint(Sender: TObject);
var ARect: TRect;
AWidth, AHeight: Integer;
ABasePoint: TPoint;
AAngle: Extended;
begin
FCenter := Point(Width div 2, Height div 2);
AWidth := Width div 4;
AHeight := Height div 4;
ABasePoint := Point(FCenter.X+AWidth, FCenter.Y);
ARect := Rect(Point(FCenter.X - AWidth, FCenter.Y - AHeight),
Point(FCenter.X + AWidth, FCenter.Y + AHeight));
AAngle := ArcTan2(ClickPoint.Y-Center.Y, ClickPoint.X-Center.X) * 180 / pi;
AngleLabel.Caption := Format('Angle is %5.2f', [AAngle]);
Canvas.Ellipse(ARect);
Canvas.MoveTo(FCenter.X, FCenter.Y);
Canvas.LineTo(FClickPoint.X, FClickPoint.Y);
Canvas.MoveTo(FCenter.X, FCenter.Y);
Canvas.LineTo(ABasePoint.X, ABasePoint.Y);
end;다음은 원의 한 점에 대해 수평에서 시계 반대 방향으로 각도 (0-360)를 반환하는 C # 메서드입니다.
public static double GetAngle(Point centre, Point point1)
{
// Thanks to Dave Hill
// Turn into a vector (from the origin)
double x = point1.X - centre.X;
double y = point1.Y - centre.Y;
// Dot product u dot v = mag u * mag v * cos theta
// Therefore theta = cos -1 ((u dot v) / (mag u * mag v))
// Horizontal v = (1, 0)
// therefore theta = cos -1 (u.x / mag u)
// nb, there are 2 possible angles and if u.y is positive then angle is in first quadrant, negative then second quadrant
double magnitude = Math.Sqrt(x * x + y * y);
double angle = 0;
if(magnitude > 0)
angle = Math.Acos(x / magnitude);
angle = angle * 180 / Math.PI;
if (y < 0)
angle = 360 - angle;
return angle;
}
건배, 폴
function p(x, y) {return {x,y}}
function normaliseToInteriorAngle(angle) {
if (angle < 0) {
angle += (2*Math.PI)
}
if (angle > Math.PI) {
angle = 2*Math.PI - angle
}
return angle
}
function angle(p1, center, p2) {
const transformedP1 = p(p1.x - center.x, p1.y - center.y)
const transformedP2 = p(p2.x - center.x, p2.y - center.y)
const angleToP1 = Math.atan2(transformedP1.y, transformedP1.x)
const angleToP2 = Math.atan2(transformedP2.y, transformedP2.x)
return normaliseToInteriorAngle(angleToP2 - angleToP1)
}
function toDegrees(radians) {
return 360 * radians / (2 * Math.PI)
}
console.log(toDegrees(angle(p(-10, 0), p(0, 0), p(0, -10))))고등학교 수학을 이용한 간단한 답이 있습니다.
당신이 3 점을 가지고 있다고합시다
지점 A에서 B까지 각도를 얻으려면
angle = atan2(A.x - B.x, B.y - A.y)
지점 B에서 C까지의 각도를 얻으려면
angle2 = atan2(B.x - C.x, C.y - B.y)
Answer = 180 + angle2 - angle
If (answer < 0){
return answer + 360
}else{
return answer
}
방금 만든 최근 프로젝트에서이 코드를 사용했습니다. B를 P1로 변경합니다. 원하는 경우 "180 +"를 제거하는 것이 좋습니다.
Atan2 output in degrees
PI/2 +90
| |
| |
PI ---.--- 0 +180 ---.--- 0
| |
| |
-PI/2 +270
public static double CalculateAngleFromHorizontal(double startX, double startY, double endX, double endY)
{
var atan = Math.Atan2(endY - startY, endX - startX); // Angle in radians
var angleDegrees = atan * (180 / Math.PI); // Angle in degrees (can be +/-)
if (angleDegrees < 0.0)
{
angleDegrees = 360.0 + angleDegrees;
}
return angleDegrees;
}
// Angle from point2 to point 3 counter clockwise
public static double CalculateAngle0To360(double centerX, double centerY, double x2, double y2, double x3, double y3)
{
var angle2 = CalculateAngleFromHorizontal(centerX, centerY, x2, y2);
var angle3 = CalculateAngleFromHorizontal(centerX, centerY, x3, y3);
return (360.0 + angle3 - angle2)%360;
}
// Smaller angle from point2 to point 3
public static double CalculateAngle0To180(double centerX, double centerY, double x2, double y2, double x3, double y3)
{
var angle = CalculateAngle0To360(centerX, centerY, x2, y2, x3, y3);
if (angle > 180.0)
{
angle = 360 - angle;
}
return angle;
}
}