Dijkstra의 알고리즘이 음의 가중치 가장자리에 대해 작동하지 않는 이유는 무엇입니까?
답변:
Dijkstra의 알고리즘에서 정점이 "닫힌"(그리고 열린 세트에서 벗어남)으로 표시되면 알고리즘이 최단 경로를 찾았고이 노드를 다시 개발할 필요가 없습니다. 경로가 가장 짧습니다.
그러나 음의 가중치는 사실이 아닐 수 있습니다. 예를 들면 :
A
/ \
/ \
/ \
5 2
/ \
B--(-10)-->C
V={A,B,C} ; E = {(A,C,2), (A,B,5), (B,C,-10)}
A의 Dijkstra는 먼저 C를 개발하고 나중에 찾지 못합니다. A->B->C
좀 더 깊은 설명을 편집 하십시오.
이는 각 완화 단계에서 알고리즘이 "폐쇄 된"노드에 대한 "비용"이 실제로 최소라고 가정하므로 다음에 선택 될 노드도 최소라고 가정하기 때문에 중요합니다.
아이디어는 다음과 같습니다. 비용이 최소화되도록 정점이 열려있는 경우- 임의의 정점에 양수 를 추가하여 최소 성은 절대 변경되지 않습니다.
양수에 대한 제약이 없으면 위의 가정은 사실이 아닙니다.
우리는 "닫힌"각 꼭지점이 최소라는 것을 "알고"있기 때문에-우리는 "뒤를 돌아 보지 않고"이완 단계를 안전하게 수행 할 수 있습니다. "돌아보기"가 필요한 경우 -Bellman-Ford 는 재귀 적 유사 (DP) 솔루션을 제공합니다.
A->B5, A->C2 B->C가됩니다 -5. 의 값은 그래서 C것 -5벨보이 - 포드와 동일합니다. 이것이 정답을 제공하지 않는 이유는 무엇입니까?
A값이 0 인 노드 를 "닫습니다". 그런 다음 최소 값 노드를 살펴보고 B5이고 C2입니다. 최소 값 C은이므로 C값 2로 닫히고 결코 되돌아 보지 않을 것입니다. 나중에 B닫히면 값 C이 이미 "닫혔으므로" 값을 수정할 수 없습니다 .
A -> B -> C합니까? 먼저 C의 거리를 2로 업데이트 한 다음 B의 거리를 5로 업데이트합니다. 그래프에에서 나가는 가장자리가 없다고 가정하면 C방문 할 때 아무 작업도 수행하지 않습니다 C(거리는 여전히 2입니다). 그런 다음 D의 인접 노드를 방문 하고 유일한 인접 노드는 C이며 새 거리는 -5입니다. Dijkstra의 알고리즘에서 우리는 또한 노드에 도달 (및 업데이트)하는 부모를 추적하고에서 수행 C하면 부모를 얻은 B다음 A올바른 결과를 얻을 수 있습니다. 내가 무엇을 놓치고 있습니까?
소스가 Vertex A 인 아래 표시된 그래프를 고려하십시오. 먼저 Dijkstra의 알고리즘을 직접 실행 해보십시오.
설명에서 Dijkstra의 알고리즘을 참조 할 때 아래 구현 된 Dijkstra의 알고리즘에 대해 이야기하겠습니다.
따라서 처음에 각 정점에 할당 된 값 ( 소스에서 정점까지의 거리 )은 다음과 같습니다.
먼저 Q = [A, B, C]에서 가장 작은 값, 즉 A를 가진 정점을 추출하고 그 후에 Q = [B, C] . 참고 A에는 B와 C에 대한 방향 에지가 있고 둘 다 Q에 있으므로 두 값을 모두 업데이트합니다.
이제 C를 (2 <5), 이제 Q = [B] 로 추출 합니다. C는 아무것도 연결되어 있지 않으므로 line16루프가 실행되지 않습니다.
마지막으로 B를 추출한 후 
. 참고 B는 C로 향하는 가장자리를 가지고 있지만 C는 Q에 존재하지 않으므로 다시 for 루프를 입력하지 않습니다 line16.
그래서 우리는 거리를
갈 때 A에서 C까지의 최단 거리가 5 + -10 = -5이기 때문에 이것이 어떻게 잘못되었는지 주목하십시오 
.
따라서이 그래프에서 Dijkstra의 알고리즘은 A에서 C까지의 거리를 잘못 계산합니다.
이것은 Dijkstra의 알고리즘이 Q에서 이미 추출 된 정점에 대한 더 짧은 경로를 찾으려고하지 않기 때문에 발생합니다 .
무엇 line16루프가하고있는 것은 정점을 복용이다 U를 하고 말을 우리가 갈 수처럼 "이봐 모습을 V 를 통해 소스에서 U , 더 나은 현재보다 그 (ALT 또는 대체) 거리 [V] DIST 그래서 업데이 트를 할 경우 우리가?있어 dist [v] "
에 있습니다 line16그들은 모두 이웃의 확인 절 (즉, 감독 가장자리에서 존재 U V로 )의 U 있는 Q 여전히 . 에서 line14경우가 Q. 그래서에서 방문 메모를 제거 x는 의 방문 이웃 유 , 경로가 되고 도 고려하지 소스에서 가능한 짧은 방법으로 V .
위의 예에서 C는 방문한 B의 이웃이므로 경로 는 고려되지 않았으며 현재 최단 경로는
변경되지 않았습니다.
이것은 간선 가중치가 모두 양수인 경우 실제로 유용 합니다. 왜냐하면 더 짧을 수없는 경로를 고려하는 데 시간을 낭비하지 않기 때문 입니다.
그래서 나는이 알고리즘을 실행할 때 x 가 y 이전에 Q에서 추출 되면 
더 짧은 경로를 찾을 수 없다고 말합니다 . 예를 들어 설명하겠습니다.
마찬가지로 Y는 단지 추출되었으며 , X는 자체 전에 후 추출했다 DIST [Y]> DIST를 [X] 때문에 다른 예는 이전에 추출 된 것이 X . ( line 13최소 거리 먼저)
그리고 에지 가중치가 양수 라고 이미 가정 했듯이, 즉 length (x, y)> 0 . 따라서 y 를 통한 대체 거리 (alt) 는 항상 더 커야합니다. 즉, dist [y] + length (x, y)> dist [x] . 따라서 y 가 x에 대한 경로로 간주 되더라도 dist [x] 의 값은 업데이트되지 않았을 것입니다 . 따라서 우리 는 여전히 Q 에있는 y의 이웃 만 고려하는 것이 합리적이라는 결론을 내립니다 (의 주석 참고 ).line16
그러나 이것은 양의 가장자리 길이 가정에 달려 있습니다. 만약 length (u, v) <0 이면 그 가장자리가 얼마나 음수인지에 따라에서 비교 후 dist [x]를 대체 할 수 있습니다 line18.
따라서 모든 정점 v 가 제거되기 전에 x 가 제거되면 ( 즉, x 가 음의 가장자리를 연결하는 v 의 이웃 이되도록) dist [x] 계산은 잘못 됩니다.
각 v 정점은 소스에서 x 로의 잠재적 "더 나은"경로에서 두 번째 마지막 정점 이므로 Dijkstra의 알고리즘에 의해 삭제됩니다.
위의 예에서 실수는 B가 제거되기 전에 C가 제거 되었기 때문입니다. 그 C가 B의 이웃 인 반면 음의 가장자리가 있습니다!
명확히하기 위해 B와 C는 A의 이웃입니다. B에는 단일 이웃 C가 있고 C에는 이웃이 없습니다. length (a, b)는 꼭지점 a와 b 사이의 가장자리 길이입니다.
Dijkstra 알고리즘의 정확성 :
알고리즘의 모든 단계에서 2 세트의 정점이 있습니다. 세트 A는 최단 경로를 계산 한 정점으로 구성됩니다. 세트 B는 나머지 정점으로 구성됩니다.
귀납적 가설 : 각 단계에서 이전의 모든 반복이 정확하다고 가정합니다.
Inductive Step : 집합 A에 꼭지점 V를 추가하고 거리를 dist [V]로 설정할 때이 거리가 최적임을 증명해야합니다. 이것이 최적이 아닌 경우 길이가 더 짧은 정점 V에 대한 다른 경로가 있어야합니다.
이 다른 경로가 정점 X를 통과한다고 가정합니다.
이제 dist [V] <= dist [X]이므로 그래프에 음의 에지 길이가 없으면 V에 대한 다른 경로는 적어도 dist [V] 길이가됩니다.
따라서 dijkstra의 알고리즘이 작동하려면 간선 가중치가 음수가 아니어야합니다.
다음 그래프에서 Dijkstra의 알고리즘을 A소스 노드 라고 가정 하여 어떤 일이 발생하는지 확인하십시오.
A->B의지 1와 A->C의지 100. 그런 B->D것입니다 2. 그런 C->D것입니다 -4900. 의 값은 그래서 D것 -4900벨보이 - 포드와 동일합니다. 이것이 정답을 제공하지 않는 이유는 무엇입니까?
A->B는 될 1것이고 A->C될 것 100입니다. 그런 다음 B탐색 B->D되어 2. 그렇다면 D 는 현재 소스로 돌아가는 가장 짧은 경로를 가지고 있기 때문에 탐색됩니다. 나는 경우 말하는에서 올바른 것 B->D이었다 100, C먼저 살펴 봤는데 것인가? 나는 사람들이 당신을 제외한 다른 모든 예를 이해합니다.
지금까지 다른 답변은 Dijkstra의 알고리즘이 경로에서 음의 가중치를 처리 할 수없는 이유를 잘 보여줍니다.
그러나 질문 자체는 경로의 무게에 대한 잘못된 이해에 근거한 것일 수 있습니다. 일반적으로 경로 찾기 알고리즘에서 경로에 대한 음의 가중치가 허용되는 경우 중지되지 않는 영구적 인 루프가 발생합니다.
이걸 고려하세요:
A <- 5 -> B <- (-1) -> C <- 5 -> D
A와 D 사이의 최적 경로는 무엇입니까?
모든 경로 찾기 알고리즘은 B와 C 사이를 지속적으로 반복해야합니다. 그렇게하면 전체 경로의 가중치가 줄어들 기 때문입니다. 따라서 연결에 음의 가중치를 허용하면 각 연결을 한 번만 사용하도록 제한하는 경우를 제외하고는 모든 pathfindig 알고리즘에 문제가 생길 수 있습니다.