무료 모나드는 무엇입니까?

나는 용어를 본 적이 무료 모나드가 팝업 모든 현재 및 다음 몇 시간 동안, 그러나 모두는 / 사용 그들이 무엇인지에 대한 설명을 제공하지 않고 그것들을 논의 할 것으로 보인다. 무료 모나드는 무엇입니까? (저는 모나드와 하스켈 기본에 익숙하지만 범주 이론에 대한 지식은 매우 큽니다.)

Edward Kmett의 대답은 분명히 훌륭합니다. 그러나 약간 기술적 인 부분입니다. 여기 좀 더 접근하기 쉬운 설명이 있습니다.

무료 모나드는 펑터를 모나드로 바꾸는 일반적인 방법 일뿐입니다. 즉, 어떤 functor f Free f도 monad입니다. 함수 쌍을 얻는 것을 제외하고는 매우 유용하지 않습니다.

liftFree :: Functor f => f a -> Free f a
foldFree :: Functor f => (f r -> r) -> Free f r -> r

이 중 첫 번째는 모나드에 "들어가"고 두 번째는 모나드에서 "나가"는 방법을 제공합니다.

보다 일반적으로, X가 여분의 물건 P를 가진 Y 인 경우, "자유로운 X"는 추가적인 것을 얻지 않고 Y에서 X로가는 방법입니다.

예 : monoid (X)는 기본적으로 추가 (생각을 생각할 수 있음) 및 일부 동일성 (0과 같은)이 있다고하는 추가 구조 (P)가있는 집합 (Y)입니다.

그래서

class Monoid m where
   mempty  :: m
   mappend :: m -> m -> m

자, 우리 모두리스트를 알고 있습니다

data [a] = [] | a : [a]

음, 어떤 종류의 주어진 t우리가 알고 [t]모노 이드 인을

instance Monoid [t] where
  mempty   = []
  mappend = (++)

따라서 목록은 세트 (또는 하스켈 유형)에 대한 "자유 모노 이드"입니다.

무료 모나드는 같은 생각입니다. 우리는 functor를 가지고 모나드를 돌려줍니다. 실제로 모나드는 endofunctors 범주에서 monoid로 볼 수 있으므로 목록의 정의

data [a] = [] | a : [a]

무료 모나드의 정의와 매우 비슷합니다.

data Free f a = Pure a | Roll (f (Free f a))

그리고 Monad인스턴스에 유사성이 Monoid목록에 대한 인스턴스를

--it needs to be a functor
instance Functor f => Functor (Free f) where
  fmap f (Pure a) = Pure (f a)
  fmap f (Roll x) = Roll (fmap (fmap f) x)

--this is the same thing as (++) basically
concatFree :: Functor f => Free f (Free f a) -> Free f a
concatFree (Pure x) = x
concatFree (Roll y) = Roll (fmap concatFree y)

instance Functor f => Monad (Free f) where
  return = Pure -- just like []
  x >>= f = concatFree (fmap f x)  --this is the standard concatMap definition of bind

이제 두 가지 작업을 수행합니다

-- this is essentially the same as \x -> [x]
liftFree :: Functor f => f a -> Free f a
liftFree x = Roll (fmap Pure x)

-- this is essentially the same as folding a list
foldFree :: Functor f => (f r -> r) -> Free f r -> r
foldFree _ (Pure a) = a
foldFree f (Roll x) = f (fmap (foldFree f) x)

더 간단한 대답은 다음과 같습니다. Monad는 수도원 컨텍스트가 축소 될 때 "계산되는"것입니다 join :: m (m a) -> m a(호출을 >>=로 정의 할 수 있음 x >>= y = join (fmap y x)). 이것은 일련의 계산 체인을 통해 Monads가 컨텍스트를 전달하는 방법입니다. 시리즈의 각 지점에서 이전 호출의 컨텍스트가 다음 호출로 축소되기 때문입니다.

무료 모나드 모두 만족 모나드 법률은, 그러나 어떤 붕괴 (즉, 계산)을하지 않습니다. 중첩 된 일련의 컨텍스트를 작성합니다. 이러한 자유 모나 딕 값을 생성하는 사용자는 이러한 중첩 된 컨텍스트로 무언가를 수행해야하므로 모나드 값이 생성 될 때까지 그러한 구성 의 의미 를 연기 할 수 있습니다.

무료 foo는 모든 'foo'법을 만족시키는 가장 간단한 것입니다. 다시 말해, 그것은 foo가되기 위해 필요한 법칙을 완벽하게 충족 시키며 추가적인 것은 아닙니다.

잊혀진 functor는 한 범주에서 다른 범주로 갈 때 구조의 일부를 "잊어 버린"것입니다.

주어 펑 F : D -> C, 그리고 G : C -> D, 우리 말 F -| G, F수반 행렬을하기 위해 남아있는 G, 또는 G에서 오른쪽으로 수반 행렬이다 FFORALL A는, B는 때마다 : F a -> b에 동형 a -> G b화살표 적절한 범주 어디에서 왔는지.

공식적으로, 무료 functor는 잊혀진 functor에 인접 해 있습니다.

무료 모노 이드

더 간단한 예인 무료 모노 이드로 시작하겠습니다.

일부 이동 통신사 집합 T, 한 쌍의 요소를 함께 묶는 이진 함수 f :: T → T → T, 및 unit :: T연관 법칙 및 신원 법칙을 갖도록 정의 된 monoid를 사용하십시오 f(unit,x) = x = f(x,unit).

당신은 펑터를 할 수 있습니다 U(그들이지도 확인 화살표입니다, 모노 이드 homomorphisms 곳 monoids의 범주에서 unit로 unit다른 모노 이드에, 당신은 의미를 변경하지 않고 다른 모노 이드 매핑 이전 또는 이후에 구성 할 수 있음) 범주에 의 집합을 잊어 버린 unit캐리어 집합을 제공 하는 집합 (화살표는 단지 ​​기능 화살표)입니다 .

그런 다음 F집합 범주에서이 functor에 인접한 monoid 범주로 functor 를 정의 할 수 있습니다 . 이 functor는 집합 a을 monoid [a], where unit = []및로 매핑하는 functor입니다 mappend = (++).

pseudo-Haskell에서 지금까지의 예를 검토하십시오.

U : Mon → Set -- is our forgetful functor
U (a,mappend,mempty) = a

F : Set → Mon -- is our free functor
F a = ([a],(++),[])

그런 다음 F무료 로 표시 하려면 U잊어 버린 functor에 인접 해 있음을 보여 주어야합니다 . 즉, 위에서 언급했듯이

F a → b 동형이다 a → U b

이제 목표가 monoids F범주 Mon에 있다는 것을 기억하십시오 . 여기서 화살표는 monoid homomorphism입니다. 따라서 monoid homomorphism의 from [a] → b은 함수에 의해 정확하게 설명 될 수 있음 을 보여 주어야합니다 a → b.

하스켈에서 우리의 삶을 것을이의 측면 전화 Set(어, Hask그냥 우리는 척 것을 하스켈 유형의 범주가 설정이다) foldMap에서 전문, Data.Foldable목록에이 유형이를 Monoid m => (a → m) → [a] → m.

이것이 부가적인 결과로 따르는 결과가 있습니다. 특히 잊어 버린 다음 무료로 구축 한 다음 다시 잊어 버린 경우 한 번 잊어 버린 것처럼 이것을 사용하여 모나드 조인을 구축 할 수 있습니다. UFUF~ U(FUF)~ 이래로 UF, 우리 는 우리의 부속물을 정의하는 동 형사상 [a]을 [a]통해 단일성 단일체 동 형체를 전달할 수 있고,리스트 동 형체 [a] → [a]가 유형의 함수 라는 것을 얻습니다 a -> [a].

다음과 같은 용어로 목록을 설명하면이 모든 것을보다 직접 작성할 수 있습니다.

newtype List a = List (forall b. Monoid b => (a -> b) -> b)

무료 모나드

그렇다면 Free Monad 란 무엇입니까?

음, 우리는 이전과 똑같은 일을합니다. 화살표는 모나드 동질성 인 모나드 범주에서 화살표가 자연스런 변형 인 endofunctors 범주까지 잊어 버린 functor U로 시작합니다. 그것에.

그렇다면, 이것은 일반적으로 사용되는 프리 모나드의 개념과 어떤 관련이 있습니까?

무언가가 자유 모나드라는 것을 아는 것은 Free f에서 모나드 동형화를 제공하는 Free f -> m것이에서의 자연적 변형 (functor homomorphism)을 제공하는 것과 동일 하다는 것입니다 f -> m. 기억 F a -> b에 동형해야합니다 a -> U bF가 펑터를 U. U 여기에 매핑 된 모나드에 왼쪽 수반 행렬을 할 수 있도록.

F는 해커 지의 패키지에서 Free사용 하는 유형 과 최소한 동형 free입니다.

또한 무료 목록에 대한 위의 코드와 더 밀접하게 유사하게 구성 할 수 있습니다.

class Algebra f x where
  phi :: f x -> x

newtype Free f a = Free (forall x. Algebra f x => (a -> x) -> x)

코 프리 코 모나드

우리는 잊어 버린 functor가 존재한다고 가정하고 올바른 것을 보면서 비슷한 것을 만들 수 있습니다. cofree functor는 단순히 잊혀진 functor에 / right adjoint /이며, 대칭에 의해 cofree comonad라는 것을 아는 것은 comonad homomorphism을 얻는 w -> Cofree f것이에서 자연적으로 변형되는 것과 같은 것입니다 w -> f.

Free Monad (데이터 구조)는 List (데이터 구조)와 같은 Monad (클래스)에서 Monoid (클래스)까지입니다. 사소한 구현으로, 나중에 컨텐츠 결합 방법을 결정할 수 있습니다.

모나드가 무엇인지, 각 모나드는 fmap+ join+ return또는 bind+ 의 특정 (모나드 법 준수) 구현이 필요하다는 것을 알고있을 것입니다 return.

Functor (의 구현 fmap) 가 있다고 가정 하지만 나머지는 런타임에 선택한 값과 선택에 따라 달라집니다. 즉, Monad 속성을 사용할 수는 있지만 나중에 Monad 함수를 선택하려고합니다.

이것은 Free Monad (데이터 구조)를 사용하여 수행 할 수 있습니다.이 기능은 Functor (유형)를 감싼 join것보다 쌓아 놓는 방식으로 Functor (유형)를 포장합니다 .

실제 return와 join사용하려는 감소 기능에 매개 변수로 제공 할 수 있습니다 foldFree.

foldFree :: Functor f => (a -> b) -> (f b -> b) -> Free f a -> b
foldFree return join :: Monad m => Free m a -> m a

유형을 설명하기 위해, 우리는 대체 할 수 Functor f와 Monad m와 b함께 (m a):

foldFree :: Monad m => (a -> (m a)) -> (m (m a) -> (m a)) -> Free m a -> (m a)

Haskell 프리 모나드는 functors의 목록입니다. 비교:

data List a   = Nil    | Cons  a (List a  )

data Free f r = Pure r | Free (f (Free f r))

Pure와 유사 Nil하고 Free유사합니다 Cons. 무료 모나드는 값 목록 대신 펑터 목록을 저장합니다. 기술적으로 다른 데이터 유형을 사용하여 자유 모나드를 구현할 수 있지만 모든 구현은 위의 형식과 동형이어야합니다.

추상 구문 트리가 필요할 때마다 무료 모나드를 사용합니다. 자유 모나드의 기본 기능은 구문 트리의 각 단계 모양입니다.

누군가 이미 연결 한 내 게시물 은 무료 모나드를 사용하여 추상 구문 트리를 작성하는 방법에 대한 몇 가지 예를 제공합니다.

간단한 구체적인 예가 도움이 될 것이라고 생각합니다. 펑터가 있다고 가정 해 봅시다.

data F a = One a | Two a a | Two' a a | Three Int a a a

명백하게 fmap . 그런 다음 Free F a잎 유형이 나무의 유형입니다 a누구의 노드와 태그와 One, Two, Two'과 Three. One-노드에는 하나의 하위가 있고 Two- Two'노드에는 두 개의 하위가 있고- Three노드에는 세 개의 하위 가 있으며 또한 태그가 있습니다 Int.

Free F모나드입니다. value가있는 잎인 트리에 return매핑 x됩니다 x. t >>= f나뭇잎을보고 나무로 바꿉니다. 리프에 값이 y있으면 해당 리프를 트리로 바꿉니다 f y.

다이어그램은 이것을 더 명확하게하지만 쉽게 그릴 수있는 기능이 없습니다!