점이 선의 오른쪽인지 왼쪽인지 알려주는 방법

포인트가 있습니다. 나는 그것들을 2 개의 별개의 세트로 나누고 싶다. 이를 위해 두 개의 점 ( a 및 b )을 선택하고 그 사이에 가상의 선을 그립니다. 이제 한 줄 에이 줄에서 남은 모든 점과 다른 줄 에이 줄에서 나온 모든 점을 갖고 싶습니다.

주어진 점 z 에 대해 왼쪽 또는 오른쪽 세트인지 어떻게 알 수 있습니까? azb 사이의 각도를 계산하려고 했습니다. 180보다 작은 각도는 오른쪽에 있고 왼쪽에는 180보다 큽니다. 그러나 ArcCos의 정의로 인해 계산 된 각도는 항상 180 °보다 작습니다. 180 °보다 큰 각도를 계산하는 공식이 있습니까 (또는 오른쪽 또는 왼쪽을 선택하는 다른 공식)?

벡터 결정자의 부호를 사용하십시오. (AB,AM)여기서 M(X,Y)쿼리 지점은 다음과 같습니다.

position = sign((Bx - Ax) * (Y - Ay) - (By - Ay) * (X - Ax))

그것은 0선상에 있고 +1, 한쪽 -1에는 다른쪽에 있습니다.

교차 제품을 사용하는이 코드를 사용해보십시오 .

public bool isLeft(Point a, Point b, Point c){
     return ((b.X - a.X)*(c.Y - a.Y) - (b.Y - a.Y)*(c.X - a.X)) > 0;
}

여기서 a = 라인 포인트 1; b = 라인 포인트 2; c = 점검 할 지점.

수식이 0과 같으면 점이 동일 선상에있는 것입니다.

선이 가로이면 점이 선 위에 있으면 true를 반환합니다.

당신은 결정 요인의 표시를 봅니다.

| x2-x1  x3-x1 |
| y2-y1  y3-y1 |

한쪽의 점은 양수이고 다른 쪽은 음수입니다 (선 자체의 점은 0).

벡터 (y1 - y2, x2 - x1)는 선에 수직이며 항상 오른쪽을 가리 킵니다 (평면 방향이 광산과 다른 경우 항상 왼쪽을 가리 킵니다).

그런 다음 해당 벡터의 내적을 계산하고 점이 (x3 - x1, y3 - y1)수직 벡터와 같은 선의 측면에 있는지 여부를 확인할 수 있습니다 (내적> 0).

선 ab 의 방정식을 사용하여 정렬 할 점과 동일한 y 좌표에서 선의 x 좌표를 가져옵니다.

• 점의 x> 선의 x이면 점은 선의 오른쪽에 있습니다.
• 점의 x <선의 x이면 점은 선의 왼쪽에 있습니다.
• 점의 x == 선의 x이면 점이 선에있는 것입니다.

먼저 세로줄이 있는지 확인하십시오.

if (x2-x1) == 0
  if x3 < x2
     it's on the left
  if x3 > x2
     it's on the right
  else
     it's on the line

그런 다음 기울기를 계산하십시오. m = (y2-y1)/(x2-x1)

그런 다음 점 경사 형식을 사용하여 선의 방정식을 작성하십시오 y - y1 = m*(x-x1) + y1. 설명을 위해 기울기 절편 형태로 단순화하십시오 (알고리즘에는 필요하지 않음) y = mx+b.

이제 플러그 (x3, y3)에 x와 y. 다음은 어떻게해야하는지 자세히 설명하는 의사 코드입니다.

if m > 0
  if y3 > m*x3 + b
    it's on the left
  else if y3 < m*x3 + b
    it's on the right
  else
    it's on the line
else if m < 0
  if y3 < m*x3 + b
    it's on the left
  if y3 > m*x3+b
    it's on the right
  else
    it's on the line
else
  horizontal line; up to you what you do

나는 이것을 자바로 구현하고 단위 테스트 (아래 소스)를 실행했다. 위의 해결책 중 어느 것도 작동하지 않습니다. 이 코드는 단위 테스트를 통과합니다. 누구도 통과하지 못하는 단위 테스트를 찾으면 알려주십시오.

코드 : 참고 : nearlyEqual(double,double)두 숫자가 매우 가까운 경우 true를 반환합니다.

/*
 * @return integer code for which side of the line ab c is on.  1 means
 * left turn, -1 means right turn.  Returns
 * 0 if all three are on a line
 */
public static int findSide(
        double ax, double ay, 
        double bx, double by,
        double cx, double cy) {
    if (nearlyEqual(bx-ax,0)) { // vertical line
        if (cx < bx) {
            return by > ay ? 1 : -1;
        }
        if (cx > bx) {
            return by > ay ? -1 : 1;
        } 
        return 0;
    }
    if (nearlyEqual(by-ay,0)) { // horizontal line
        if (cy < by) {
            return bx > ax ? -1 : 1;
        }
        if (cy > by) {
            return bx > ax ? 1 : -1;
        } 
        return 0;
    }
    double slope = (by - ay) / (bx - ax);
    double yIntercept = ay - ax * slope;
    double cSolution = (slope*cx) + yIntercept;
    if (slope != 0) {
        if (cy > cSolution) {
            return bx > ax ? 1 : -1;
        }
        if (cy < cSolution) {
            return bx > ax ? -1 : 1;
        }
        return 0;
    }
    return 0;
}

단위 테스트는 다음과 같습니다.

@Test public void testFindSide() {
    assertTrue("1", 1 == Utility.findSide(1, 0, 0, 0, -1, -1));
    assertTrue("1.1", 1 == Utility.findSide(25, 0, 0, 0, -1, -14));
    assertTrue("1.2", 1 == Utility.findSide(25, 20, 0, 20, -1, 6));
    assertTrue("1.3", 1 == Utility.findSide(24, 20, -1, 20, -2, 6));

    assertTrue("-1", -1 == Utility.findSide(1, 0, 0, 0, 1, 1));
    assertTrue("-1.1", -1 == Utility.findSide(12, 0, 0, 0, 2, 1));
    assertTrue("-1.2", -1 == Utility.findSide(-25, 0, 0, 0, -1, -14));
    assertTrue("-1.3", -1 == Utility.findSide(1, 0.5, 0, 0, 1, 1));

    assertTrue("2.1", -1 == Utility.findSide(0,5, 1,10, 10,20));
    assertTrue("2.2", 1 == Utility.findSide(0,9.1, 1,10, 10,20));
    assertTrue("2.3", -1 == Utility.findSide(0,5, 1,10, 20,10));
    assertTrue("2.4", -1 == Utility.findSide(0,9.1, 1,10, 20,10));

    assertTrue("vertical 1", 1 == Utility.findSide(1,1, 1,10, 0,0));
    assertTrue("vertical 2", -1 == Utility.findSide(1,10, 1,1, 0,0));
    assertTrue("vertical 3", -1 == Utility.findSide(1,1, 1,10, 5,0));
    assertTrue("vertical 3", 1 == Utility.findSide(1,10, 1,1, 5,0));

    assertTrue("horizontal 1", 1 == Utility.findSide(1,-1, 10,-1, 0,0));
    assertTrue("horizontal 2", -1 == Utility.findSide(10,-1, 1,-1, 0,0));
    assertTrue("horizontal 3", -1 == Utility.findSide(1,-1, 10,-1, 0,-9));
    assertTrue("horizontal 4", 1 == Utility.findSide(10,-1, 1,-1, 0,-9));

    assertTrue("positive slope 1", 1 == Utility.findSide(0,0, 10,10, 1,2));
    assertTrue("positive slope 2", -1 == Utility.findSide(10,10, 0,0, 1,2));
    assertTrue("positive slope 3", -1 == Utility.findSide(0,0, 10,10, 1,0));
    assertTrue("positive slope 4", 1 == Utility.findSide(10,10, 0,0, 1,0));

    assertTrue("negative slope 1", -1 == Utility.findSide(0,0, -10,10, 1,2));
    assertTrue("negative slope 2", -1 == Utility.findSide(0,0, -10,10, 1,2));
    assertTrue("negative slope 3", 1 == Utility.findSide(0,0, -10,10, -1,-2));
    assertTrue("negative slope 4", -1 == Utility.findSide(-10,10, 0,0, -1,-2));

    assertTrue("0", 0 == Utility.findSide(1, 0, 0, 0, -1, 0));
    assertTrue("1", 0 == Utility.findSide(0,0, 0, 0, 0, 0));
    assertTrue("2", 0 == Utility.findSide(0,0, 0,1, 0,2));
    assertTrue("3", 0 == Utility.findSide(0,0, 2,0, 1,0));
    assertTrue("4", 0 == Utility.findSide(1, -2, 0, 0, -1, 2));
}

점이 (Ax, Ay) (Bx, By) 및 (Cx, Cy)라고 가정하면 다음을 계산해야합니다.

(Bx-Ax) * (Cy-Ay)-(By-Ay) * (Cx-Ax)

점 C가 점 A와 B로 형성된 선 위에 있으면 0과 같고 측면에 따라 다른 부호를 갖습니다. 어느 쪽이 (x, y) 좌표의 방향에 따라 달라지나 A, B 및 C의 테스트 값을이 수식에 연결하여 음수 값이 왼쪽인지 오른쪽인지를 결정할 수 있습니다.

물리에서 영감을 얻은 솔루션을 제공하고 싶었습니다.

선을 따라 가해지는 힘을 상상해 보시면 점에 대한 힘의 토크를 측정하는 것입니다. 토크가 양수 (시계 반대 방향)이면 점은 선의 "왼쪽"에 있지만 토크가 음수이면 점은 선의 "오른쪽"입니다.

따라서 힘 벡터가 선을 정의하는 두 점의 범위와 같으면

fx = x_2 - x_1
fy = y_2 - y_1

다음 테스트 (px,py)의 부호에 따라 포인트의 측면을 테스트합니다.

var torque = fx*(py-y_1)-fy*(px-x_1)
if  torque>0  then
     "point on left side"
else if torque <0 then
     "point on right side"  
else
     "point on line"
end if

기본적으로, 나는 주어진 다각형에 대해 훨씬 쉽고 직선적 인 해결책이 있다고 생각합니다 .4 개의 정점 (p1, p2, p3, p4)으로 구성하고 다각형에서 두 개의 정반대 정점을 찾으십시오. 즉, 예를 들어 가장 왼쪽 상단 정점 (p1이라고 말함)과 가장 오른쪽 하단에 위치한 반대 정점을 찾습니다 (말씀). 따라서 테스트 지점 C (x, y)가 주어지면 이제 C와 p1과 C와 p4 사이를 다시 확인해야합니다.

cx> p1x AND cy> p1y ==>가 cx <p2x AND cy <p2y ==>가 C가 p4의 위와 왼쪽임을 의미하면 C가 p1보다 낮고 오른쪽에 있음을 의미하는 경우

결론적으로 C는 사각형 안에 있습니다.

감사 :)

루비에서 @AVB의 답변

det = Matrix[
  [(x2 - x1), (x3 - x1)],
  [(y2 - y1), (y3 - y1)]
].determinant

경우 det그 아래는 위의 경우 부정적 긍정적이다. 0이면 라인에 있습니다.

Clojure로 작성된 교차 제품 논리를 사용하는 버전이 있습니다.

(defn is-left? [line point]
  (let [[[x1 y1] [x2 y2]] (sort line)
        [x-pt y-pt] point]
    (> (* (- x2 x1) (- y-pt y1)) (* (- y2 y1) (- x-pt x1)))))

사용법 예 :

(is-left? [[-3 -1] [3 1]] [0 10])
true

다시 말해, 점 (0, 10)은 (-3, -1) 및 (3, 1)에 의해 결정된 선의 왼쪽에 있습니다.

참고 :이 구현은 다른 (지금까지) 아무도하지 않는 문제를 해결합니다! 선을 결정하는 포인트를 줄 때 순서가 중요 합니다. 즉, 그것은 어떤 의미에서 "지시 된 선"입니다. 따라서 위의 코드에서이 호출은 다음과 같은 결과를 생성합니다 true.

(is-left? [[3 1] [-3 -1]] [0 10])
true

이 코드 스 니펫 때문입니다.

(sort line)

마지막으로 다른 교차 제품 기반 솔루션과 마찬가지로이 솔루션은 부울을 반환하며 공선성에 대한 세 번째 결과를 제공하지 않습니다. 그러나 다음과 같은 의미가 있습니다.

(is-left? [[1 1] [3 1]] [10 1])
false

네터가 제공하는 솔루션 느낌을 얻는 다른 방법은 약간의 지오메트리 의미를 이해하는 것입니다.

pqr = [P, Q, R]이 선 [P, R] 으로 2 개의면으로 나뉘어 진 평면을 형성하는 점이라고 하자 . pqr 평면 A, B의 두 점이 같은쪽에 있는지 확인해야합니다.

pqr 평면의 모든 점 T 는 2 개의 벡터로 나타낼 수 있습니다. v = PQ 및 u = RQ

T '= TQ = i * v + j * u

이제 기하학적 의미 :

1. i + j = 1 : pr 라인의 T
2. i + j <1 : 스퀘어의 T
3. i + j> 1 : Snq의 T
4. i + j = 0 : T = Q
5. i + j <0 : Sq 및 T를 초과하는 T

i+j: <0 0 <1 =1 >1 ---------Q------[PR]--------- <== this is PQR plane ^ pr line

일반적으로

• i + j는 T가 Q 또는 선 [P, R]에서 얼마나 떨어져 있는지 측정 한 값 이며
• i + j-1 의 부호는 T의 측면을 의미합니다.

i 와 j 의 다른 지오메트리 의미 (이 솔루션과 관련이 없음)는 다음과 같습니다.

• i , j 는 새로운 좌표계에서 T에 대한 스칼라이며 여기서 v, u 는 새로운 축이고 Q 는 새로운 원점입니다.
• i , j 는 각각 P, R에 대한 당기는 힘 으로 볼 수 있습니다 . i가 클수록 T가 R 에서 멀어 집니다 ( P 에서 더 큰 당김 ).

i, j 의 값은 방정식을 풀어서 얻을 수 있습니다.

i*vx + j*ux = T'x
i*vy + j*uy = T'y
i*vz + j*uz = T'z

그래서 우리는 비행기에서 2 점 A, B를받습니다 :

A = a1 * v + a2 * u B = b1 * v + b2 * u

A, B가 같은쪽에 있다면, 이것은 사실입니다 :

sign(a1+a2-1) = sign(b1+b2-1)

이것은 질문에도 적용됩니다. A, B는 [P, Q, R] 평면의 같은쪽에 있습니다 .

T = i * P + j * Q + k * R

그리고 난 + J + K = 1 T 비행기 [P, Q, R]과의 부호에 있음을 의미 I + J +는 K-1 의 sideness을 의미한다. 이것으로부터 우리는 :

A = a1 * P + a2 * Q + a3 * R B = b1 * P + b2 * Q + b3 * R

A, B는 평면 [P, Q, R]의 같은면에 있습니다.

sign(a1+a2+a3-1) = sign(b1+b2+b3-1)