약 100 개의 노드와 약 200 개의 에지가있는 무 방향 그래프가 있습니다. 하나의 노드는 '시작', 하나는 '종료'이며, 'mustpass'라는 레이블이 붙은 약 12 개가 있습니다.
'시작'에서 시작하고 '끝'에서 끝나고 모든 '반드시 통과'노드 (순서에 관계없이)를 통과 하는이 그래프를 통해 최단 경로를 찾아야합니다 .
( http://3e.org/local/maize-graph.png / http://3e.org/local/maize-graph.dot.txt 는 해당 그래프입니다. 펜실베니아 주 랭커스터의 옥수수 미로를 나타냅니다)
답변:
이것을 Traveling Salesman Problem과 비교하는 다른 사람들은 아마 당신의 질문을주의 깊게 읽지 않았을 것입니다. TSP에서 목표는 모든 정점 을 방문하는 가장 짧은주기 (해밀턴주기)를 찾는 것입니다. 이는 모든 노드가 'mustpass'라는 레이블 을 갖는 것에 해당합니다 .
귀하의 경우에는 'mustpass'라는 레이블이 붙은 약 12 개만 가지고 있고 그 12 개가 주어졌습니다! 다소 작습니다 (479001600). 'mustpass'노드의 모든 순열 만 시도하고 'mustpass'노드를 순서대로 방문하는 'start'에서 'end'까지의 최단 경로를 살펴볼 수 있습니다. 해당 목록에있는 두 개의 연속 노드 사이의 최단 경로 연결입니다.
즉, 먼저 각 정점 쌍 사이의 최단 거리를 찾으십시오 (Dijkstra의 알고리즘 또는 다른 알고리즘을 사용할 수 있지만이 작은 수 (100 개 노드)를 사용하면 가장 간단한 코드화 Floyd-Warshall 알고리즘 도 시간 내에 실행됩니다). 그런 다음 테이블에 이것을 가지고 있으면 'mustpass'노드의 모든 순열을 시도하고 나머지는 시도하십시오.
이 같은:
//Precomputation: Find all pairs shortest paths, e.g. using Floyd-Warshall
n = number of nodes
for i=1 to n: for j=1 to n: d[i][j]=INF
for k=1 to n:
for i=1 to n:
for j=1 to n:
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])
//That *really* gives the shortest distance between every pair of nodes! :-)
//Now try all permutations
shortest = INF
for each permutation a[1],a[2],...a[k] of the 'mustpass' nodes:
shortest = min(shortest, d['start'][a[1]]+d[a[1]][a[2]]+...+d[a[k]]['end'])
print shortest
(물론 실제 코드가 아니며 실제 경로를 원한다면 가장 짧은 거리를 제공하는 순열과 모든 쌍의 최단 경로가 무엇인지 추적해야하지만 아이디어를 얻을 수 있습니다.)
합리적인 언어에서 최대 몇 초 안에 실행됩니다. :)
[n 개의 노드와 k 개의 'mustpass'노드가있는 경우 실행 시간은 Floyd-Warshall 부분의 경우 O (n 3 )이고 O (k! n ) 모든 순열 부분에 대해, 100 ^ 3 + (12!) (100)은 실제로 제한적인 제약이없는 한 사실상 땅콩입니다.]
a을 c통해 b. 이것은 최단 경로 때문일 수 b로 a및 c에지를 공유한다. 이 경우 가장자리가 두 번 반복됩니다. 사이클을 생성하지 않으려면 두 경로 중 하나가 최적 경로보다 나빠 야합니다.
INF선 d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])은 d[i][j] = min(INF, INF + INF)이고 모든 셀은 항상 INF. 이 배열을 그래프의 가장자리 길이로 채우려면 단계를 추가해야합니다.
Djikstra의 알고리즘 을 실행 하여 모든 중요 노드 (start, end, must-pass) 사이의 최단 경로를 찾은 다음, depth-first traversal은 모든 노드 start에 닿는 결과 하위 그래프를 통해 최단 경로를 알려줍니다. . mustpasses ... 끝
이것은 두 가지 문제입니다. Steven Lowe는 이것을 지적했지만 문제의 후반부에 대해서는 충분히 존중하지 않았습니다.
먼저 모든 중요 노드 (start, end, mustpass) 사이의 최단 경로를 찾아야합니다. 이러한 경로가 발견되면 단순화 된 그래프를 구성 할 수 있습니다. 여기서 새 그래프의 각 에지는 원래 그래프의 한 중요 노드에서 다른 노드로의 경로입니다. 여기에서 최단 경로를 찾는 데 사용할 수있는 경로 찾기 알고리즘이 많이 있습니다.
하지만이 새 그래프가 있으면 출장 영업 사원 문제가 발생합니다 (거의 ... 시작 지점으로 돌아갈 필요가 없습니다). 위에서 언급 한 이와 관련된 모든 게시물이 적용됩니다.
사실 당신이 올린 문제는 여행하는 세일즈맨과 비슷하지만 단순한 길 찾기 문제에 더 가깝다고 생각합니다. 모든 노드를 방문 할 필요없이 가능한 최단 시간 (거리)에 특정 노드 집합을 방문하기 만하면됩니다.
그 이유는 여행하는 세일즈맨 문제와 달리 옥수수 미로는지도의 한 지점에서 다른 지점으로 이동하기 위해 다른 노드를 통과 할 필요없이 직접 이동할 수 없기 때문입니다.
실제로 고려할 기술로 A * 길 찾기를 권장합니다. 다른 노드에 직접 액세스 할 수있는 노드와 특정 노드의 각 홉 "비용"을 결정하여이를 설정합니다. 이 경우 노드가 비교적 가까운 간격으로 보이기 때문에 각 "홉"의 비용이 동일 할 수 있습니다. A *는이 정보를 사용하여 두 지점 간의 최저 비용 경로를 찾을 수 있습니다. A 지점에서 B 지점으로 이동하여 약 12 명 사이에 방문해야하므로 길 찾기를 사용하는 무차별 대입 접근 방식도 전혀 문제가되지 않습니다.
고려할 대안입니다. 여행하는 세일즈맨 문제와 매우 비슷해 보이며 읽어보기에 좋은 문서이지만 자세히 살펴보면 그 문제가 지나치게 복잡하다는 것을 알 수 있습니다. ^ _ ^ 이전에 이런 일을 해본 적이있는 비디오 게임 프로그래머의 마음에서 나온 것입니다.
Andrew Top은 올바른 아이디어를 가지고 있습니다.
1) Djikstra의 알고리즘 2) 일부 TSP 휴리스틱.
Lin-Kernighan 휴리스틱을 권장합니다. NP Complete 문제로 가장 잘 알려진 것 중 하나입니다. 기억해야 할 또 다른 사항은 2 단계 이후에 그래프를 다시 확장 한 후 확장 된 경로에 루프가있을 수 있으므로이를 단락시켜야한다는 것입니다 (경로를 따라있는 정점의 정도를 확인).
이 솔루션이 최적에 비해 얼마나 좋은지 실제로는 잘 모르겠습니다. 단락과 관련된 병리학 적 사례가있을 수 있습니다. 결국,이 문제는 Steiner Tree : http://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_tree 와 매우 비슷해 보이며 그래프를 축소하고 예를 들어 Kruskal을 실행하는 것만으로는 Steiner Tree를 근사화 할 수 없습니다.
입니다 하지 원래의 질문이 노드가 한 번만 방문하는 것을 반드시 통과를 필요로하지 않기 때문에 TSP 문제와 NP-어려운 일이 아니다. 이것은 Dijkstra의 알고리즘을 통해 모든 필수 통과 노드 사이의 최단 경로 목록을 컴파일 한 후 무차별 대입에 대한 대답을 훨씬 간단하게 만듭니다. 더 나은 방법이있을 수 있지만 간단한 방법은 단순히 이진 트리를 거꾸로 작업하는 것입니다. 노드 목록 [start, a, b, c, end]를 상상해보십시오. 간단한 거리 [start-> a-> b-> c-> end]를 더합니다. 이것은 이길 새로운 목표 거리입니다. 이제 [start-> a-> c-> b-> end]를 시도하고 그게 더 낫다면 대상으로 설정하십시오 (그리고 노드의 패턴에서 나왔음을 기억하십시오). 순열에 대해 거꾸로 작업하십시오.
그중 하나가 가장 짧습니다.
( '여러 번 방문한'노드는 어디에 있습니까? 최단 경로 초기화 단계에서 숨겨져 있습니다. a와 b 사이의 최단 경로에는 c 또는 끝 점이 포함될 수 있습니다. 신경 쓸 필요가 없습니다. )
노드와 에지의 양이 상대적으로 유한하다는 점을 고려하면 가능한 모든 경로를 계산하고 가장 짧은 경로를 선택할 수 있습니다.
일반적으로 이것은 여행하는 세일즈맨 문제로 알려져 있으며 사용하는 알고리즘에 관계없이 비 결정적 다항식 런타임이 있습니다.
질문 은 어떤 순서로든 반드시 통과해야합니다 . 반드시 통과 노드의 정의 된 순서에 대한 솔루션을 찾으려고 노력하고 있습니다. 내 대답을 찾았지만 StackOverflow에 대한 질문이 없었기 때문에 최대한 많은 사람들이 혜택을 누릴 수 있도록 여기에 게시하고 있습니다.
주문 또는 필수 통과가 정의 된 경우 dijkstra의 알고리즘을 여러 번 실행할 수 있습니다. 예를 들어 s통과에서 k1, k2및 k3(각 순서대로)에서 중지 해야한다고 가정 해 보겠습니다 e. 그런 다음 각 연속 노드 쌍 사이에서 dijkstra의 알고리즘을 실행할 수 있습니다. 비용 과 경로 에 의해 제공 될 것이다 :
dijkstras(s, k1) + dijkstras(k1, k2) + dijkstras(k2, k3) + dijkstras(k3, 3)
12 개의 '필수 방문'노드에서 무차별 대입을 사용하는 것은 어떻습니까? 12 개 노드의 가능한 모든 조합을 충분히 쉽게 처리 할 수 있으며이를 통해이를 처리 할 수있는 최적의 회로를 사용할 수 있습니다.
이제 문제는 시작 노드에서 회로까지의 최적 경로를 찾는 중 하나로 단순화됩니다. 그런 다음이를 다룰 때까지이 경로를 따라 간 다음 그에서 끝까지의 경로를 찾습니다.
최종 경로는 다음으로 구성됩니다.
시작-> 회로 경로 *-> 노드를 방문해야하는 회로-> 끝 경로 *-> 끝
이렇게 *로 표시된 경로를 찾으십시오.
시작 노드에서 회로의 모든 지점까지 A * 검색을 수행합니다. 이들 각각에 대해 회로의 다음 및 이전 노드에서 끝까지 A * 검색을 수행합니다 (양쪽 방향으로 순환을 따라갈 수 있기 때문입니다). 검색 경로가 많고 비용이 가장 낮은 경로를 선택할 수 있습니다.
검색을 캐싱하여 최적화 할 여지는 많이 있지만 이것이 좋은 솔루션을 생성 할 것이라고 생각합니다.
하지만 검색에서 반드시 방문해야하는 회로를 떠나는 것이 포함될 수 있기 때문에 최적의 솔루션을 찾는 데는 거의 없습니다.