사이클 링크 된 목록에서 사이클 시작 노드를 찾는 방법을 설명하십시오.

Tortoise와 Hare의 회의는 루프가 존재한다는 것을 이해하지만 토끼를 회의장에 유지하면서 거북이를 연결 목록의 시작 부분으로 이동 한 다음 한 번에 한 단계 씩 이동하면 사이클의 시작점에서 만나게됩니까?

이것은 사이클 감지를위한 Floyd의 알고리즘입니다 . 알고리즘의 두 번째 단계에 대해 묻습니다. 사이클의 일부인 노드를 찾으면 사이클의 시작 을 어떻게 찾 습니까?

Floyd 알고리즘의 첫 번째 부분에서, 토끼는 거북이의 모든 단계마다 두 단계 씩 움직입니다. 거북이와 토끼가 만나면주기가 있고 만나는 지점이주기의 일부이지만 반드시주기의 첫 번째 노드는 아닙니다.

거북이와 토끼가 만나면 X _i = X _2i가 되도록 가장 작은 i (거북이 걸음 수)를 발견했습니다 . mu가 X ₀ 에서 사이클 시작 까지의 단계 수를 나타내고 람다는 사이클 길이를 나타냅니다. 그런 다음 i = mu + a lambda 및 2i = mu + b lambda입니다. 여기서 a 및 b는 거북이와 토끼가 사이클을 몇 번이나 수행했는지 나타내는 정수입니다. 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면 i = (ba) * lambda가되므로 i는 람다의 정수배입니다. 따라서 X _{i + mu} = X _mu 입니다. X _i 는 거북이와 토끼의 만남의 장소를 나타냅니다. 거북이를 시작 노드 X로 다시 옮기면₀ , 거북이와 토끼가 같은 속도로 계속되도록합니다. mu 추가 단계 후에 거북이가 X _mu에 도달 하고 토끼가 X _{i + mu} = X _mu에 도달 하므로 두 번째 미팅 포인트는 시작의 시작을 나타냅니다. 주기.

http://en.wikipedia.org/wiki/Cycle_detection#Tortoise_and_hare 에서 제공되는 사이클 감지 알고리즘을 명확하게 설명하겠습니다 .

작동 원리

위의 다이어그램 에서처럼 주기로 목록의 시작을 가리키는 거북이와 토끼 (포인터 이름)를 보자.

한 번에 거북이를 한 단계 씩 움직이고 한 번에 두 단계 씩 토끼를 타면 결국에는 만나게된다는 가설을 세우십시오. 먼저이 가설이 사실임을 보여 드리겠습니다.

그림은주기가있는 목록을 보여줍니다. 주기는 길이이며 n처음에는 m주기에서 멀어집니다. 또한 미팅 포인트가 k사이클 시작과 거북이에서 멀어지고 거북이가 i총 걸음을 내딛을 때 토끼가 만나는 것으로 가정 해 봅시다 . 2i그때 까지는 총 걸음을 내딛었을 것 입니다.

다음 두 가지 조건이 충족되어야합니다.

1) i = m + p * n + k

2) 2i = m + q * n + k

첫 번째는 거북이가 i단계 를 움직이고이 단계에서 i먼저주기에 도달 한다고 말합니다 . 그런 다음 p양수에 대한 사이클 시간을 거 칩니다 p. 마지막으로 k토끼를 만날 때까지 더 많은 노드를 통과 합니다.

토끼도 마찬가지입니다. 2i단계를 이동 하고이 2i단계 에서 먼저주기에 도달합니다. 그런 다음 q양수에 대한 사이클 시간을 거 칩니다 q. 마지막으로 k거북이를 만날 때까지 더 많은 노드 로 넘어갑니다 .

토끼가 거북이 속도의 두 배로 이동함에 따라 회의 지점에 도달했을 때 시간이 일정합니다.

따라서 간단한 속도, 시간 및 거리 관계를 사용하면

2 ( m + p * n + k ) = m + q * n + k

=> 2m + 2pn + 2k = m + nq + k 

=>  m + k = ( q - 2p ) n

m, n, k, p, q 중에서 처음 두 가지는 주어진 목록의 속성입니다. 이 방정식을 참으로 만드는 k, q, p에 대해 적어도 하나의 값 집합이 있음을 나타낼 수 있다면 가설이 올바른 것입니다.

이러한 솔루션 세트 중 하나는 다음과 같습니다.

p = 0

q = m

k = m n - m

이러한 값이 다음과 같이 작동하는지 확인할 수 있습니다.

m + k = ( q - 2p ) n  

=> m + mn - m = ( m - 2*0) n

=> mn = mn.

이 세트 들어 i있다

i = m + p n + k

=> m + 0 * n + mn - m = mn.

물론, 이것이 반드시 가장 작은 것은 아니라는 것을 알아야합니다. 다시 말해, 거북이와 토끼는 이미 여러 번 전에 만났을 수도 있습니다. 그러나 우리는 그들이 적어도 어느 시점에서 한 번 만나는 것을 보여주기 때문에 가설이 정확하다고 말할 수 있습니다. 따라서 한 단계 씩 한 단계 씩 이동하고 다른 하나는 한 번에 두 단계 씩 이동하면 만나야합니다.

이제 우리는 사이클의 시작 부분을 찾는 방법 인 알고리즘의 두 번째 부분으로 이동할 수 있습니다.

사이클 시작

거북이와 토끼가 만나면 거북이를 목록의 시작 부분으로 되돌리고 토끼가 만나는 곳 (주기 시작에서 k 단계 떨어져 있음)을 유지합시다.

가설은 우리가 그것들을 같은 속도 (둘 다 1 단계)로 움직이게하면, 그들이 다시 처음 만날 때 사이클이 시작된다는 것입니다.

이 가설을 증명해 봅시다.

먼저 오라클이 m이 무엇인지 알려줍니다.

그런 다음 m + k 단계를 이동 시키면 거북이가 원래 만나는 지점에 도착해야합니다 (주기에서 시작하여 k 단계-그림 참조).

이전에 우리는 그것을 보여 주었다 m + k = (q - 2p) n.

m + k 스텝은 사이클 길이 n의 배수이므로, hare는 그 사이에 사이클 (q-2p) 시간을 거쳐 같은 지점으로 돌아갑니다 (k 사이클이 사이클 시작에서 멀어짐).

이제 m + k 단계를 움직이게하는 대신 m 단계 만 움직이게하면 거북이가주기 시작에 도달하게됩니다. 토끼는 (q-2p) 회전을 완료하는 데 k 스텝이 부족합니다. 사이클 시작 앞에서 k 단계를 시작했기 때문에, 토끼는 사이클 시작에 도달해야합니다.

결과적으로, 그들은 처음 몇 번의 단계 후에 시작하는 사이클에서 만날 필요가 있다고 설명합니다 (거북이 m 단계 후에 사이클에 도착했을 때 이미 처음부터 거북이를 볼 수 없었기 때문에 처음으로 사이클).

이제 우리는 그것들이 만나기 전까지 이동해야하는 단계의 수가 목록의 시작에서 사이클 시작까지의 거리 인 것으로 판명되었습니다. 물론, 알고리즘은 m이 무엇인지 알 필요가 없습니다. 그들은 거북이와 토끼가 한 번에 한 단계 씩 만날 때까지 움직일 것입니다. 미팅 포인트는 사이클 시작이어야하고 단계 수는 사이클 시작까지의 거리 (m) 여야합니다. 리스트의 길이를 알고 있다고 가정하면,리스트 길이에서 m을 빼는주기의 길이를 계산할 수도 있습니다.

이 이미지를 참조하십시오 :

회의 전에 slowPointer로 이동 한 거리 = x + y

회의 전에 fastPointer로 이동 한 거리 = (x + y + z) + y = x + 2y + z

fastPointer는 slowPointer 속도의 두 배로 이동하므로 미팅 포인트에 도달 할 때 시간이 일정 합니다.

따라서 간단한 속도, 시간 및 거리 관계를 사용하여 2 (x + y) = x + 2y + z => x + 2y + z = 2x + 2y => x = z

따라서 slowPointer 를 링크 된 목록의 시작 으로 이동 하고 slowPointer와 fastPointer가 한 번에 하나의 노드를 이동 하게하여 둘 다 같은 거리 를가집니다 .

링크 된 목록에서 루프가 시작되는 지점에 도달합니다.

_{Old Monk의 단순하고 과소 평가 된 답변 은 빠른 러너가 단일 전체 사이클 만 완료 할 때주기를 찾는 방법을 설명합니다. 이 답변에서는 느린 러너가 루프에 들어가기 전에 빠른 러너가 루프를 여러 번 실행 한 경우를 설명합니다.}

동일한 이미지 사용하기 :

빠른 러너가 느리고 빠른 만남 전에 루프 m 을 실행했다고 가정 해 봅시다 . 이것은 다음을 의미합니다.

• 느린 거리 : x + y
• 빠른 거리 : x + m (y + z) + y 즉 그들이 만나는 여분의 y

빠른 속도는 두 배의 느린 속도로 달리고 그들이 같은 시간 동안 달리고 있기 때문에, 우리가 거리를 두 배로 느리게 달리면 거리가 빨리 나옵니다. 그러므로,

• 2 (x + y) = x + m (y + z) + y

x를 구하면

x = (m-1) (y + z) + z

실제 시나리오에서는 x = (m-1) 전체 루프 실행 + 추가 거리 z를 의미 합니다.

따라서 하나의 포인터를 목록의 시작 부분에 놓고 다른 하나를 회의 지점에두면 동일한 속도로 이동하면 루프 포인터가 루프의 m-1 런을 완료 한 다음 다른 포인트 를 만나게됩니다 루프 시작에서 바로 포인터.

매우 간단합니다. 상대 속도로 생각할 수 있습니다. 토끼가 두 개의 노드를 움직이고 거북이가 한 노드를 움직이면 거북이 토끼가 한 노드를 움직입니다 (거북이 있다고 가정). 따라서 순환 연결 목록에서 하나의 노드를 이동하면 해당 지점에서 다시 만나게됩니다.

원형 연결리스트 내에서 연결된 점을 찾은 후, 이제 두 연결리스트 문제의 교점을 찾는 문제가 줄어 듭니다.

첫 번째 충돌시 거북이 는 위 그림과 같이 m + k 단계만큼 이동했습니다 . 토끼는 거북이보다 두 배 빠르게 움직입니다. 즉, 토끼는 2 (m + k) 걸음을 이동했습니다. 이러한 간단한 사실을 통해 다음 그래프를 도출 할 수 있습니다.

이 시점에서 우리는 거북이를 처음으로 다시 이동시키고 토끼와 거북이 모두 한 번에 한 단계 씩 움직여야한다고 선언합니다. 정의에 따르면, m 단계 후에 거북이가 사이클의 시작 부분에있게됩니다. 토끼는 어디에 있습니까?

토끼는 또한 사이클의 시작에있을 것입니다. 이것은 두 번째 그래프에서 분명합니다. 거북이가 처음으로 돌아 왔을 때, 토끼는 마지막주기 에서 k 단계 였습니다 . m 단계 후 , 토끼는 다른주기를 완료하고 거북이와 충돌했습니다.

접근하다:

두 가지 포인터가 있습니다.

• 한 번에 한 노드 씩 이동하는 느린 포인터.
• 한 번에 두 노드를 이동하는 빠른 포인터.

두 포인터가 만나면 루프가 있음을 증명합니다. 일단 충족되면 노드 중 하나가 헤드를 가리키고 한 번에 한 노드 씩 진행합니다. 그들은 루프의 시작에서 만날 것입니다.

이론적 근거 : 두 사람이 원형 트랙을 따라 내려갈 때, 그 중 하나는 다른 속도의 두 배 속도로 어디에서 만나나요? 그들이 정확히 어디서 시작했는지.

이제 빠른 러너가 스텝 랩 k에서 헤드 스타트 단계를 가지고 있다고 가정 하십시오 n. 그들은 어디서 만날 것인가? n-k단계적으로 정확 합니다. 느린 주자가 (n-k)단계 를 다룰 때 빠른 주자가 k+2(n-k)단계를 다룰 것 입니다. ( 즉, k+2n-2k단계 즉 2n-k단계 ). 즉 (n-k)단계 (경로는 원형이며 우리는 그들이 만나는 라운드 수에 대해 걱정하지 않습니다; 우리는 그들이 만나는 위치에 관심이 있습니다).

이제 빠른 러너는 어떻게 맨 k먼저 단계를 시작 했습니까? 루프 시작에 도달하는 데 많은 단계가 느린 러너가 필요했기 때문입니다. 따라서 루프의 시작은 헤드 노드에서 k 단계입니다.

참고 : 두 포인터가 만나는 노드 k는 루프 시작 (루프 내부) k에서 멀어지고 헤드 노드는 루프 시작에서 멀어집니다. 따라서 봇에서 1 단계 속도로 같은 속도로 포인터를 진행하면 루프 시작시 만나게됩니다.

나는 그것이 간단하다고 생각합니다. 모호한 부분이 있으면 알려주십시오.

자, 토끼와 거북이가 사이클 시작에서 k 단계 떨어진 지점에서 만나고, 사이클 시작 전의 단계 수는 mu이고 사이클 길이는 L이라고 가정합니다.

이제 미팅 장에서->

거북이로 덮인 거리 = mu + a * L + k-방정식 1

(사이클의 시작에 도달하기 위해 취한 단계 + 사이클의 'a'반복 + 사이클의 시작부터 k 단계를 취하기 위해 취한 단계) (a는 양의 상수)

토끼로 덮힌 거리 = mu + b * L + k-식 2

(사이클의 시작에 도달하기 위해 취한 단계 + 사이클의 'b'반복을 덮기 위해 취한 단계 + 사이클의 시작부터 k 단계) (여기서 b는 양의 상수이고 b> = a)

따라서 토끼가 덮는 여분의 거리는 = 식 2-식 1 = (ba) * L입니다.

이 거리는 토끼가 거북이보다 2 배 빠르게 이동하기 때문에 출발점에서 거북이의 거리와 동일합니다. 사이클의 다중 순회를 포함하지 않는 경우 처음부터 미팅 포인트의 거리 인 'mu + k'와 같습니다.

따라서 mu + k = (ba) * L

따라서이 시점부터 mu 단계는주기 시작으로 돌아갑니다 (주기 시작부터 k 단계가 이미 미팅 포인트에 도달 했으므로). 이는 동일한주기 또는 후속주기에서 발생할 수 있습니다. 따라서 거북이를 연결된 목록의 시작 부분으로 옮기면 사이클의 시작점에 도달하기 위해 뮤 단계가 필요하고 토끼는 사이클의 시작 부분에 도달하기 위해 뮤 단계를 수행하므로 둘 다에서 만나게됩니다. 사이클의 시작점.

추신 : 솔직히, 나는 내 생각에 원래의 포스터와 같은 질문을했고 첫 번째 대답을 읽었습니다. 이해하기 쉽다는 것을 알았습니다.

이미지 크레디트

호출 포인터가 따르는 링크의 수와 느린 포인터를 한 링크로, 빠른 포인터를 두 링크로 이동하는 데 걸리는 반복 횟수입니다. 길이 C의주기 전에 사이클 오프셋 k = 0에서 C-1로 레이블이 지정된 N 개의 노드가 있습니다.

사이클 시작에 도달하려면 N 시간과 거리가 느려집니다. 이는 사이클에서 N 거리를 빠르게 가져옵니다 (N은 회전, N은 회전). 따라서 시간 N에서 저속은 사이클 오프셋 k = 0에, 고속은 사이클 오프셋 k = N mod C에 있습니다.

N mod C가 0이면, 느리고 빠름이 일치하고 사이클은 시간 N과 사이클 위치 k = 0에서 발견됩니다.

N mod C가 0이 아닌 경우, 빠른 속도는 이제 느리게 따라 잡아야합니다. 시간이 지나면 N은 사이클에서 C- (N mod C) 거리입니다.

1의 느린 속도마다 2 씩 빠르게 이동하므로 반복 할 때마다 거리가 1 씩 줄어들 기 때문에 시간 N에서 빠른 속도와 느린 속도 사이의 거리 (C- (N mod C))만큼 추가 시간이 걸립니다. 슬로우는 오프셋 0에서 움직이기 때문에 이것이 만나는 오프셋이기도합니다.

따라서 N mod C가 0이면 사이클 시작시 N 반복 후에 위상 1이 멈 춥니 다. 그렇지 않으면,주기 C로 오프셋 C- (N mod C)에서 N + C- (N mod C) 반복 후에 위상 1이 멈 춥니 다.

// C++ pseudocode, end() is one after last element.

int t = 0;
T *fast = begin();
T *slow = begin();
if (fast == end()) return [N=0,C=0];
for (;;) {
    t += 1;
    fast = next(fast);
    if (fast == end()) return [N=(2*t-1),C=0];
    fast = next(fast);
    if (fast == end()) return [N=(2*t),C=0];
    slow = next(slow);
    if (*fast == *slow) break;
}

2 단계 : 느리게 순환하려면 N 단계를 더 걸립니다.이 시점에서 (현재 단계 당 1 개씩 이동) (C- (N mod C) + N) mod C = 0입니다. 2 단계 후 사이클 시작시

int N = 0;
slow = begin();
for (;;) {
    if (*fast == *slow) break;
    fast = next(fast);
    slow = next(slow);
    N += 1;
}

완전성을 위해 3 단계는 사이클을 통해 한 번 더 이동하여 사이클 길이를 계산합니다.

int C = 0;
for (;;) {
    fast = next(fast);
    C += 1;
    if (fast == slow) break;
}

루프 문제로 문제를 줄인 다음 초기 문제로 돌아갑니다.

다음 설명이 더 직관적이라는 것을 알았습니다.

1. 머리 ( O ) 에서 시작하는 2 개의 포인터 ( 1 = 거북이와 2 = 토끼)를 취하십시오 .1 은 스텝 길이가 1 이고 2 는 스텝 길이가 2 입니다. 1 이 해당 사이클의 시작 노드 ( A )에 도달 하는 순간을 생각하십시오 .

   우리는 다음 질문에 대답하고 싶습니다. "1이 A에있을 때 2는 어디에 있습니까?" .

   따라서 OA = a자연수 ( a >= 0)입니다. 그러나 다음과 같은 방법으로 쓸 수있다 : a = k*n + b여기서 a, k, n, b are natural numbers:

   • n = 사이클 길이
   • k >= 0 = 상수
   • 0 <= b <= n-1

   그것은 의미합니다 b = a % n.

   예 : if a = 20and n = 8=> k = 2and b = 4because 20 = 2*8 + 4.

   1 이 적용되는 거리는 입니다 d = OA = a = k*n + b. 그러나 동시에 2 개가 포함 D = 2*d = d + d = OA + d = OA + k*n + b됩니다. 이것은 2 가 A에 있을 때 가려야 함을 의미합니다 k*n + b. 당신이 볼 수 있듯이, k바퀴의 수는 있지만, 그 랩을 한 후, 2 될 것 b를 어디까지 A. 그래서에서 우리가 발견 한 2 때입니다 1 A.하자 호출 그 시점에 B, AB = b.

   

2. 이제 문제를 원으로 줄입니다. 문제는 "만남의 장소는 어디입니까?"입니다. . 그 C 는 어디에 있습니까 ?

   

   모든 단계에서, 2 에서의 거리 감소 (1) 과 함께 1있기 때문에 (하자의 말 미터) 1 에서 더 받고 2 과를 1, 그러나 동시에 2 가까이로 이동 1 가 2.

   따라서 교차점은 1 과 2 사이의 거리 가 0 이 될 때 입니다. 이것은 2 가 n - b거리를 줄인다는 것을 의미합니다 . 이를 달성하기 위해 1 은 n - b단계를 수행하고 2 는 2*(n - b)단계를 수행합니다.

   따라서 교차점 n - b은 A (시계 방향)에서 멀어 집니다. 이는 2를 만나기 전까지 1 의 거리이기 때문 입니다. => 사이의 간격 C 와 A는 이고 때문에 하고 . 그렇게 생각하지 마십시오 때문에, 거리가 사소한 수학적 거리 아니라, 사이 단계의 수를 와 C ( A는 시작 지점이고, C는 엔드 포인트입니다).CA = bAC = AB + BC = n - bCA = n - ACAC = CAAC

3. 이제 초기 스키마로 돌아 갑시다.

   우리는 알고 a = k*n + b및 CA = b.

   2 개의 새로운 포인터 1 ' 과 1' '을 취할 수 있는데, 여기서 1' 은 머리 ( O ) 에서 시작 하고 1 '' 은 교차점 ( C ) 에서 시작합니다 .

   반면 1 ' 부터 진행 O 에 , '1 ' 부터 진행 C 에 및 마무리 계속 랩. 따라서 교점은 A 입니다.k

   

   

포인터가 그림과 같이 점 P에서 만나면 거리 Z + Y는 점 P이고 X + Y는 점 P이기도합니다. 이는 Z = X를 의미합니다. 그렇기 때문에 한 포인터를 P에서 계속 움직이고 시작점 (S)에서 만나기 전까지 다른 포인터를 움직입니다. 즉 같은 거리 (Z 또는 X)를 같은 점 M (P에서 거리 Z, S에서 거리 X)으로 이동하는 것이 루프 시작. 단순한!

위의 모든 분석을 통해, 당신이 예제별로 배우는 사람이라면, 나는 다른 사람들이 설명하려고 시도한 수학을 설명하는 간단한 분석과 예제를 작성하려고했습니다. 간다!

분석:

우리가 두 개의 포인터를 가지고 있다면, 하나는 다른 것보다 더 빠르며 함께 움직이면, 결국주기를 나타 내기 위해 다시 만나거나,주기가 없음을 나타 내기 위해 널이됩니다.

사이클의 시작점을 찾으려면 ...

1. m 머리에서주기의 시작까지의 거리;

2. d 주기의 노드 수;

3. p1 느린 포인터의 속도;

4. p2더 빠른 포인터의 속도, 예. 2는 한 번에 두 개의 노드를 통과하는 것을 의미합니다.

   다음 반복을 관찰하십시오.

 m = 0, d = 10:
 p1 = 1:  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 // 0 would the start of the cycle
 p2 = 2:  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18 20

 m = 1, d = 10:
 p1 = 1: -1  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
 p2 = 2: -1  1  3  5  7  9 11 13 15 17 19

 m = 2, d = 10:
 p1 = 1: -2 -1  0  1  2  3  4  5  6  7  8
 p2 = 2: -2  0  2  4  6  8 10 12 14 16 18

위의 샘플 데이터에서 더 빠르고 느린 포인터가 만날 때마다 m사이클 시작에서 조금 떨어져 있음을 쉽게 알 수 있습니다 . 이 문제를 해결하려면 빠른 포인터를 다시 헤드에 놓고 속도를 느린 포인터의 속도로 설정하십시오. 다시 만나면 노드가주기의 시작입니다.

의 말을하자,

N[0] is the node of start of the loop, 
m is the number of steps from beginning to N[0].

우리는 2 개의 포인터 A와 B를 가지고 있습니다.

A가 N [0]에 도달하면 B는 이미 N [m]에 있어야합니다. (참고 : A는 m 단계를 사용하여 N [0]에 도달하고 B는 m 단계 더 나아가 야합니다)

그런 다음 A는 k에 더 많은 단계를 실행하여 B와 충돌합니다. 즉 A는 N [k]에 있고 B는 N [m + 2k]에 있습니다 (참고 : B는 N [m]부터 시작하여 2k 단계 동안 실행해야 함)

N [k] 및 N [m + 2k]에서 충돌 B는 각각 k = m + 2k를 의미하므로 k = -m

따라서 N [k]에서 N [0]으로 다시 돌아가려면 더 많은 단계가 필요합니다.

간단히 말해서 충돌 노드를 찾은 후 m 단계를 더 실행하면됩니다. 처음부터 실행할 포인터와 충돌 노드에서 실행되는 포인터를 가질 수 있습니다. m 단계 후에 N [0]에서 만나게됩니다.

따라서 의사 코드는 다음과 같습니다.

1) A increase 1 step per loop
2) B increase 2 steps per loop
3) if A & B are the same node, cycle found, then go to 5
4) repeat from 1
5) A reset to head
6) A increase 1 step per loop
7) B increase 1 step per loop
8) if A & B are the same node, start of the cycle found
9) repeat from 6

나는 그들이 만나면 그것이 출발점이되는 것이 사실이라고 생각하지 않습니다. 그러나 그렇습니다. 다른 포인터 (F)가 이전의 미팅 포인트에 있었다면, 그 포인터보다 루프의 시작과 목록의 시작에서 시작한 포인터 대신 루프의 끝에있을 것입니다. 루프가 시작되면 끝납니다. 예를 들어 :

1->2->3->4->5->6->7->8->9->10->11->12->13->14->15->16->17->18->19->20->21->22->23->24->8

Meet at :16

Start at :8

public Node meetNodeInLoop(){

    Node fast=head;
    Node slow=head;

    fast=fast.next.next;
    slow=slow.next;

    while(fast!=slow){

        fast=fast.next;
        fast=fast.next;

        if(fast==slow) break; 

        slow=slow.next;
    }

    return fast;

}

public Node startOfLoop(Node meet){

    Node slow=head;
    Node fast=meet;

    while(slow!=fast){
        fast=fast.next;
        if(slow==fast.next) break;
        slow=slow.next;
    }

    return slow;
}

고등학교에서 가르치는 상대 속도에 대한 간단한 설명 -물리학 101 / 운동학 강의.

1. 연결된 목록의 시작에서 원의 시작까지의 거리가 x홉 이라고 가정합시다 . 원의 시작점을 점이라고합니다 X(모두-위 그림 참조). 또한 원의 총 크기가 N 홉이라고 가정합니다.

2. 토끼의 속도 = 2 * 거북이의 속도. 그래서 1 hops/sec그리고 2 hops/sec각각

3. 거북이가 원의 시작점에 도달 할 때 X, 토끼는 그림의 한 x지점 Y에서 더 멀리 홉핑 해야합니다 . (토끼가 거북이의 두 배 거리를 여행했기 때문에).

4. 따라서 X에서 Y까지 시계 방향으로 남은 호의 길이는 N-x입니다. T는 자신도 그들을 만날 수있을하는 토끼와 거북이 사이에 적용되는 상대적인 거리 될 일이 . 이 상대 거리는 시간, t_m즉 만날 시간으로 커버 될 것이라고 가정하자 . 상대 속도는 (2 hops/sec - 1 hops/sec)즉 1 hops/sec. 따라서 상대 거리 = 상대 속도 X 시간을 사용하면 t= N-x초입니다. N-x거북이와 토끼의 만남에 도달하려면 시간 이 걸립니다 .

5. 이제 N-x시간과 1 hops/sec속도로 초창기의 거북이가 XNx 홉을 가리켜 회의 지점에 도달합니다 M. 그래서, 합류점 그 수단 M에있다 N-x홉은 시계 반대 X가 있음 => (상기 의미 함) = x시점에서 남은 거리 M를 X시계 방향.

6. 그러나 x또한 X연결리스트의 시작부터 도달 할 거리 입니다.

7. 이제 우리는 어떤 홉 수에 x해당 하는지 상관하지 않습니다 . LinkedList의 시작 부분에 거북이 하나를 넣고 미팅 포인트에 거북이 하나를 꽂아 M홉 / 걸리면 X우리가 필요한 포인트 (또는 노드) 인 point 에서 만날 것 입니다.

이것을 다이어그램으로 작업하면 도움이 될 것입니다. 방정식없이 문제를 설명하려고합니다.

1. 우리가 토끼와 거북이를 둥글게 돌리고 토끼가 두 번 거북이를 뛰면 토끼의 끝이 한 바퀴 끝날 때 절반이됩니다. 토끼 거북이에서 2 바퀴가 끝날 때 1 바퀴가 걸렸을 것입니다. 이것은 토끼가 세 번 달리는 것처럼, 토끼 1 랩이 거북이의 1/3과 동일하므로 토끼 3 바퀴가 끝날 때 3 바퀴가 끝났을 때 만나는 것처럼 모든 속도에 적용됩니다.
2. 이제 루프 전에 m 단계를 시작하면 더 빠른 토끼가 루프에서 앞서 시작한다는 것을 의미합니다. 따라서 거북이가 루프의 시작점에 도달하면 토끼는 m 스텝 전방 루프이며, 만나면 루프 시작 전에 m 스텝이됩니다.

루프 전에 k 단계가 있습니다. 우리는 k가 무엇인지 알지 못하고 알 필요가 없습니다. k만으로도 추상적으로 작업 할 수 있습니다.

--k 단계 후

----- T는 사이클 시작입니다

----- H는 k 단계로 순환합니다 (총 2k가되었으므로 k는 루프로 이동 함)

** 그들은 이제 루프 크기입니다-k 떨어져

(k == K == mod (loopsize, k)-예를 들어, 노드가 5 노드 주기로 2 단계 인 경우 7, ​​12 또는 392 단계로 진행되므로주기가 얼마나 큰지 krt가 아닙니다. 인수 분해

하나는 다른 것보다 두 배 빠르게 이동하기 때문에 단위 시간당 1 단계의 속도로 서로를 따라 잡기 때문에 루프 크기-k에서 만날 것입니다.

이것은 k 개의 노드가 사이클의 시작점에 도달하는 것을 의미하므로 헤드에서 사이클 스타트까지의 거리와 충돌에서 사이클 스타트까지의 거리는 동일합니다.

이제 첫 번째 충돌 후 T를 다시 머리로 옮깁니다. T와 H는 각각 1의 속도로 이동하면 사이클 시작시 만나게됩니다. (둘 다 k 단계)

이는 알고리즘이 다음을 의미합니다.

• 헤드에서 T = t.next 및 H.next.next가 충돌 할 때까지 이동합니다 (T == H) (사이클이 있음)

// 루프의 길이를 계산하여 루프 헤드에서 k = 0 또는 T와 H가 만나는 경우를 처리합니다.

-카운터로 T 또는 H를 움직여 사이클의 길이를 센다

-포인터 T2를리스트의 헤드로 이동

사이클 단계의 포인터 길이 이동

다른 포인터 H2를 머리로 이동

-사이클 시작시 T2와 H2가 나란히 움직일 때까지 움직입니다.

그게 다야!

이미 이것에 대한 많은 답변이 있지만 한 번 더 시각적으로 직관적 인 다이어그램을 생각해 냈습니다. 아마도 그것은 다른 사람들을 도울 수 있습니다.

나를위한 주요한 순간은 :

• T (거북)을 T1 (사전 루프) 및 T2 ( 루프 내 )로 분할 합니다.

• H 에서 T 를 빼면 시각적으로 겹칩니다. 남아있는 것 ( H-T = H ' )은 T와 같습니다 .

• 나머지 수학은 매우 간단합니다.

이 문제에 대해 이미 받아 들여진 답변이 있지만 여전히 유동적 인 방식으로 답변하려고 노력할 것입니다. 가정 :

The length of the Path is 'X+B' where 'B' is the length of the looped path and X of the non looped path. 
    Speed of tortoise : v
    Speed of hare     : 2*v 
    Point where both meet is at a distance 'x + b - k' from the starting point.

이제 토끼와 거북이가 처음부터 시간 't'후에 만나도록하십시오.

관찰 :

만약, 거북이에 의해 이동 한 거리 = v * t = x + (bk) (즉)

그런 다음, 토끼가 이동 한 거리 = 2 * v * t = x + (b-k) + b (토끼가 이미 루프 된 부분을 통과 했으므로)

이제 모임 시간이 동일합니다.

=> x + 2 * b-k = 2 * (x + b-k)

=> x = k

이것은 루프되지 않은 경로의 길이가 루프의 시작점과 두 지점이 만나는 지점의 거리와 동일하다는 것을 의미합니다.

만남의 배후에있는 수학을 고려한다면 둘 다 출발점에서 만날 것임을 증명하는 것은 실제로 쉽습니다.
먼저 m 은 링크 된 목록에서 사이클의 시작점을 나타내고, n 은 사이클의 길이를 나타냅니다. 토끼와 거북이가 만나기 위해

( 2*t - m )%n = (t - m) %n, where t = time (at t = 0 , both are at the start)

이것을 더 수학적으로 진술 :

(2*t - m - (t - m) ) = 0 modulo n , which implies , t = 0 modulo n 

그래서 그들은 t의 시간에서 만나고 이것은 사이클 길이의 배수이어야한다. 이것은 그들이 어떤 위치에서 만난다는 것을 의미합니다 (t-m) modulo n = (0-m) modulo n = (-m) modulo n.

이제 질문으로 돌아갑니다. 링크 된 목록의 시작 부분에서 하나의 포인터를 이동하고 교차점에서 다른 포인터를 이동하면 m 단계 후에 토끼 (주기 내에서 이동)가 다음과 같은 지점에 도달하게됩니다 ((-m) + m) modulo n = 0 modulo nm 단계 후에는 사이클의 시작 부분에 도달하고 거북이는 링크 된 목록의 시작 부분에서 m 단계를 가로 지르므로 거기에서 거북이가 만나는 것을 볼 수 있습니다 .

참고로, 우리는 또한 이러한 방식으로 교차 시간을 계산할 수 있습니다. 조건 t = 0 modulo n은 사이클 길이의 배수 인 시간에 만나고 또한 t 가 m 보다 커야 함 을 알려줍니다. 사이클. 따라서 걸리는 시간 은 m 보다 큰 n 의 첫 번째 배수와 같습니다 .

포인터가 점 y와 z의 교차점에서 만나고 있다고 가정하십시오.

n과 m은 만나기 전에 각각 더 빠르고 느린 포인터의 루프 수입니다.

나머지 증거는 이미지를 참조하십시오. 링크 된 목록에서 루프의 시작점 찾기