부가 물로서의 모나드

나는 카테고리 이론에서 모나드에 대해 읽었습니다. 모나드의 한 정의는 한 쌍의 인접 펑터를 사용합니다. 모나드는 이러한 펑터를 사용하는 왕복으로 정의됩니다. 명백하게 부속은 범주 이론에서 매우 중요하지만, 부속 펑터 측면에서 Haskell 모나드에 대한 설명은 보지 못했습니다. 누군가 그것에 대해 생각 했습니까?

편집 : 그냥 재미로, 나는 이것을 올바르게 할 것입니다. 아래에 보존 된 원래 답변

현재 카테고리 추가 코드는 부속 패키지에 있습니다. http://hackage.haskell.org/package/adjunctions

저는 상태 모나드를 명확하고 간단하게 살펴볼 것입니다. 이 코드는 Data.Functor.ComposeTransformers 패키지에서 사용하지만 자체 포함되어 있습니다.

f (D-> C)와 g (C-> D) 사이의 부속, f-| g는 다양한 방법으로 특성화 될 수 있습니다. 우리는 counit / unit (epsilon / eta) 설명을 사용하여 두 가지 자연스러운 변형 (펑터 간의 형태)을 제공합니다.

class (Functor f, Functor g) => Adjoint f g where
     counit :: f (g a) -> a
     unit   :: a -> g (f a)

counit의 "a"는 실제로 C의 identity functor이고 unit의 "a"는 실제로 D의 identity functor입니다.

counit / unit 정의에서 hom-set adjunction 정의를 복구 할 수도 있습니다.

phiLeft :: Adjoint f g => (f a -> b) -> (a -> g b)
phiLeft f = fmap f . unit

phiRight :: Adjoint f g => (a -> g b) -> (f a -> b)
phiRight f = counit . fmap f

어쨌든 우리는 이제 다음과 같이 unit / counit adjunction에서 Monad를 정의 할 수 있습니다.

instance Adjoint f g => Monad (Compose g f) where
    return x = Compose $ unit x
    x >>= f  = Compose . fmap counit . getCompose $ fmap (getCompose . f) x

이제 우리는 (a,)와 (a->) 사이에 고전적인 부속물을 구현할 수 있습니다.

instance Adjoint ((,) a) ((->) a) where
    -- counit :: (a,a -> b) -> b
    counit (x, f) = f x
    -- unit :: b -> (a -> (a,b))
    unit x = \y -> (y, x)

그리고 이제 유형 동의어

type State s = Compose ((->) s) ((,) s)

그리고 이것을 ghci에로드하면 State가 정확히 우리의 고전적인 상태 모나드임을 확인할 수 있습니다. 반대 구성을 사용하여 Costate Comonad (일명 상점 comonad)를 얻을 수 있습니다.

이 방식으로 모나드로 만들 수있는 다른 부가 물이 많이 있지만 (예 : (Bool,) Pair) 이상한 모나드입니다. 안타깝게도 하스켈에서 독자와 작가를 직접 유쾌하게 유도하는 부속물을 할 수는 없습니다. 우리는 할 수 있습니다 계속 수행하지만, copumpkin 설명으로 실제로 약간의 화살표를 반전은 "수반 행렬"typeclass의 다른 "형태"를 사용하므로, 즉, 반대 카테고리에서 adjunction이 필요합니다. 이 양식은 adjunctions 패키지의 다른 모듈에서도 구현됩니다.

이 자료는 The Monad Reader 13-Calculating Monads with Category Theory : http://www.haskell.org/wikiupload/8/85/TMR-Issue13.pdf의 Derek Elkins의 기사에서 다른 방식으로 다룹니다 .

또한, 프로그램 최적화 용지 HINZE의 최근 칸 확장 사이의 adjunction에서 목록 모나드의 건설을 통해 산책 Mon과 Set: http://www.cs.ox.ac.uk/ralf.hinze/Kan.pdf

이전 답변 :

두 개의 참조.

1) Category-extras는 항상 그렇듯이 부속물의 표현과 그로부터 모나드가 발생하는 방식을 제공합니다. 평소와 같이 생각하는 것이 좋지만 문서에 대해서는 꽤 가볍습니다 : http://hackage.haskell.org/packages/archive/category-extras/0.53.5/doc/html/Control-Functor-Adjunction.html

2) -Cafe는 또한 부가의 역할에 대해 유망하지만 간단한 토론을 제공합니다. 일부는 카테고리 확장을 해석하는 데 도움이 될 수 있습니다. http://www.haskell.org/pipermail/haskell-cafe/2007-December/036328.html

Derek Elkins는 최근 저녁 식사 중에 Cont Monad (_ -> k)가 자체적으로 반 변성 펑터 를 구성 할 때 발생하는 방식을 보여주었습니다 . 그것이 당신이 (a -> k) -> k그것을 벗어나는 방법 입니다. 그러나 그것의 counit은 Haskell에서 쓸 수없는 이중 부정 제거로 이어집니다.

이를 설명하고 입증하는 Agda 코드는 http://hpaste.org/68257을 참조 하십시오 .

이것은 오래된 스레드이지만 질문이 흥미로워 서 직접 계산을했습니다. 바라건대 Bartosz가 아직 거기에 있고 이것을 읽을 수도 있습니다 ..

사실, Eilenberg-Moore 구조는이 경우에 매우 명확한 그림을 제공합니다. (나는 구문과 같은 Haskell과 함께 CWM 표기법을 사용할 것입니다)

하자 T목록 모나드 수 < T,eta,mu >( eta = return와 mu = concat)과 T-대수를 고려 h:T a -> a.

(그것은 T a = [a]free monoid <[a],[],(++)>, 즉 identity []와 multiplication (++)입니다.)

정의에 h만족해야 h.T h == h.mu a하고 h.eta a== id.

이제 몇 가지 간단한 다이어그램 추적은 h실제로 a (로 정의 됨 x*y = h[x,y]) 에 모노 이드 구조를 유도 h하고이 구조에 대한 모노 이드 동형이 된다는 것을 증명합니다 .

반대로 < a,a0,* >Haskell에서 정의 된 모든 모노 이드 구조 는 자연스럽게 T- 대수로 정의됩니다.

이러한 방법으로 ( h = foldr ( * ) a0함수는 '대체한다'고 (:)와 (*), 및 매핑 []에 a0, 신원).

따라서이 경우 T- 대수 범주는 Haskell, HaskMon에서 정의 할 수있는 모노 이드 구조 범주 일뿐입니다.

(T-algebras의 형태가 실제로 monoid homomorphism인지 확인하십시오.)

또한 Grp의 무료 제품, CRng의 다항식 링 등과 같이 HaskMon의 범용 개체로 목록을 특성화합니다.

위의 구성에 해당하는 조정은 < F,G,eta,epsilon >

어디

• F:Hask -> HaskMon, 유형 a를 '에 의해 생성 된 자유 모노 이드 a', 즉 [a],,
• G:HaskMon -> Hask, 건망증 펑터 (곱하기는 잊어 버리세요),
• eta:1 -> GF ,에 의해 정의 된 자연스러운 변형 \x::a -> [x],
• epsilon: FG -> 1 , 위의 접는 함수에 의해 정의 된 자연 변형 (자유 모노 이드에서 몫 모노 이드로의 '정규 추정')

다음으로, 또 다른 'Kleisli 카테고리'와 그에 상응하는 부속물이 있습니다. a -> T b소위 'Kleisli composition'으로 구성되어있는 형태가있는 Haskell 유형의 범주인지 확인할 수 있습니다 (>=>). 전형적인 Haskell 프로그래머라면이 카테고리가 더 친숙하다는 것을 알게 될 것입니다.

마지막으로, CWM에 예시 된 바와 같이, T- 대수 범주 (각각 Kleisli 범주)는 적절한 의미에서 목록 모나드 T를 정의하는 조정 범주에서 터미널 (각각 초기) 객체가됩니다.

이진 트리 펑터 T a = L a | B (T a) (T a)에 대해 유사한 계산을 수행 하여 이해를 확인 하는 것이 좋습니다 .

Eilenberg-Moore의 모나드에 대한 부속 펑터의 표준 구성을 찾았지만 문제에 대한 통찰력을 추가하는지 확실하지 않습니다. 구성의 두 번째 범주는 T- 대수 범주입니다. AT 대수학은 초기 범주에 "제품"을 추가합니다.

그렇다면리스트 모나드는 어떻게 작동할까요? 목록 모나드의 펑 터는 예를 들어 유형 생성자 Int->[Int]와 함수 매핑 (예 : 목록에 대한지도의 표준 적용)으로 구성됩니다. 대수는 목록에서 요소로의 매핑을 추가합니다. 한 가지 예는 정수 목록의 모든 요소를 ​​더하거나 곱하는 것입니다. functor F는 Int와 같은 모든 유형을 취하여 Int 목록에 정의 된 대수에 매핑합니다. 여기서 제품은 모나 딕 조인으로 정의됩니다 (또는 그 반대의 경우 조인은 제품으로 정의 됨). 건망증 펑 터는 G대수를 받고 제품을 잊어 버립니다. 그런 다음 인접 펑터 쌍 F, G을 사용하여 일반적인 방법으로 모나드를 구성합니다.

나는 내가 더 현명하지 않다고 말해야한다.

관심이 있으시다면, 프로그래밍 언어에서 모나드와 부속물의 역할에 대한 비전문가의 생각이 있습니다.

우선, 주어진 모나드 T에 대해 Kleisli 범주의 T. Haskell에서 모나드의 사용은 주로이 범주의 연산에 국한됩니다 (본질적으로 자유 대수의 범주이며 몫이 없음). 사실, Haskell Monad로 할 수있는 모든 것은 새로운 형태를 만들기 위해 a->T bdo 표현식 (>>=)등을 사용하여 Kleisli 형태의 유형 을 구성하는 것입니다 . 이 맥락에서 모나드의 역할은 단지 표기법의 경제성에 국한되어 있는데, 하나는 형태론의 연관성을 이용하여 [0,1,2] 대신에 쓸 수 있도록 (예를 들어) (Cons 0 (Cons 1 (Cons 2 Nil)))트리가 아닌 시퀀스로 시퀀스를 작성할 수 있습니다.

현재 Haskell 유형 시스템은 데이터 캡슐화 (기존 유형)를 실현할 수있을만큼 강력하기 때문에 IO 모나드의 사용조차 필수가 아닙니다.

이것은 귀하의 원래 질문에 대한 제 대답이지만 Haskell 전문가가 이것에 대해 뭐라고 말 해야할지 궁금합니다.

반면에 우리가 언급했듯이 모나드와 (T-) 대수에 대한 부속물 사이에는 1-1 대응이 있습니다. MacLane의 용어로 Adjoint는 '카테고리의 동등성을 표현하는 방법'입니다. adjunctions의 일반적인 설정에서는 '무료 대수 발생기 및 G는'증 펑 '의 일종이며, 해당 모나드 (T-대수의 사용을 통해)의 대수 구조 방법 (때)을 설명 할 것이다 에 구성되고 의 객체 .<F,G>:X->AFAX

Hask와 list monad T의 경우 T소개 하는 구조 는 monoid 의 구조이며, 이것은 monoids 이론이 제공하는 대수적 방법을 통해 코드의 속성 (정확도 포함)을 설정하는 데 도움이 될 수 있습니다. 예를 들어, 함수 foldr (*) e::[a]->a는 <a,(*),e>monoid 인 한 연관 연산으로 쉽게 볼 수 있습니다. 이는 컴파일러가 계산을 최적화하기 위해 이용할 수있는 사실입니다 (예 : 병렬 처리). 또 다른 응용은 '함수 프로그래밍의 고토', Y (임의의 재귀 결합 자)를 (부분적으로) 처리하기 위해 범주 적 방법을 사용하여 함수형 프로그래밍에서 '재귀 패턴'을 식별하고 분류하는 것입니다.

분명히 이러한 종류의 응용 프로그램은 범주 이론 (MacLane, Eilenberg 등)을 만든 사람의 주요 동기 중 하나입니다. 즉, 범주의 자연스러운 동등성을 설정하고 한 범주에서 잘 알려진 방법을 다른 범주로 이전하려는 것입니다 (예 : 위상 공간에 대한 상동 적 방법, 프로그래밍에 대한 대수적 방법 등). 여기서 adjoint와 모나드는 이러한 카테고리 연결을 활용하는 데 없어서는 안될 도구입니다. (부수적으로, 모나드 (및 이중, 코 모나드)의 개념은 너무 일반적이어서 하스켈 유형의 '동질 학'을 정의하는 데까지 갈 수 있지만 아직 생각하지 않았습니다.)

당신이 언급 한 비 결정적 함수에 관해서는 할 말이 훨씬 적습니다. <F,G>:Hask->A일부 카테고리에 대한 부속 A이 목록 monad를 정의하는 T경우 고유 한 '비교 펑터' K:A->MonHask(Haskell에서 정의 할 수있는 모노 이드 카테고리) 가 있어야합니다 . CWM을 참조하세요. 즉, 목록 모나드를 정의하려면 관심 범주가 제한된 형식의 모노 이드 범주 여야합니다 (예 : 일부 몫이 부족할 수 있지만 자유 대수가 아닐 수 있음).

마지막으로, 몇 가지 언급 :

지난 포스팅에서 언급 한 바이너리 트리 펑 터는 임의의 데이터 유형으로 쉽게 일반화됩니다 T a1 .. an = T1 T11 .. T1m | .... 즉, Haskell의 모든 데이터 유형은 자연스럽게 모나드를 정의합니다 (대수학의 해당 범주 및 Kleisli 범주와 함께). 이는 Haskell의 모든 데이터 생성자가 합계 인 결과입니다. 이것이 내가 Haskell의 Monad 클래스가 신택스 슈가에 불과하다고 생각하는 또 다른 이유입니다 (물론 실제로는 꽤 중요합니다).