ackb는 이러한 벡터 기반 솔루션이 실제 각도의 평균으로 간주 될 수 없으며 단위 벡터 대응의 평균 일 뿐이라는 점이 맞습니다. 그러나 ackb의 제안 된 솔루션은 수학적으로 들리는 것처럼 보이지 않습니다.
다음은 (angle [i]-avgAngle) ^ 2 (필요한 경우 차이가 수정되는 경우) 최소화라는 목표에서 수학적으로 도출 된 솔루션으로 각도의 실제 산술 평균이됩니다.
먼저 각도의 차이가 정상적인 수의 차이와 다른 경우를 정확히 찾아야합니다. y> = x-180 및 y <= x + 180 인 경우 각도 x와 y를 고려하면 차이 (xy)를 직접 사용할 수 있습니다. 그렇지 않으면 첫 번째 조건이 충족되지 않으면 y 대신 (y + 360)을 계산에 사용해야합니다. 해당하는 두 번째 조건이 충족되지 않으면 y 대신 (y-360)을 사용해야합니다. 곡선의 방정식은 이러한 불평등이 참에서 거짓으로 또는 그 반대로 변하는 지점에서만 변화를 최소화하기 때문에 전체 [0,360) 범위를 이러한 점으로 구분 된 일련의 세그먼트로 분리 할 수 있습니다. 그런 다음 각 세그먼트의 최소값을 찾은 다음 각 세그먼트의 최소값 인 평균 만 찾으면됩니다.
다음은 각도 차이를 계산할 때 문제가 발생하는 위치를 보여주는 이미지입니다. x가 회색 영역에 있으면 문제가있는 것입니다.
변수를 최소화하기 위해, 곡선에 따라, 최소화하려는 것의 도함수를 취한 다음 전환점 (도함수 = 0)을 찾습니다.
여기에서 일반적인 산술 평균 공식을 도출하기 위해 제곱 차이를 최소화하는 아이디어를 적용합니다 : sum (a [i]) / n. 곡선 y = sum ((a [i] -x) ^ 2)는 다음과 같이 최소화 할 수 있습니다.
y = sum((a[i]-x)^2)
= sum(a[i]^2 - 2*a[i]*x + x^2)
= sum(a[i]^2) - 2*x*sum(a[i]) + n*x^2
dy\dx = -2*sum(a[i]) + 2*n*x
for dy/dx = 0:
-2*sum(a[i]) + 2*n*x = 0
-> n*x = sum(a[i])
-> x = sum(a[i])/n
이제 조정 된 차이로 커브에 적용합니다.
b = 정확한 (각도) 차이 a [i] -xc = a의 서브셋 정확한 (각도) 차이 (a [i] -360) -x cn = cd의 크기 = 정확한 (각도) 차이 (a [i] +360) -x dn = d의 크기
y = sum((b[i]-x)^2) + sum(((c[i]-360)-b)^2) + sum(((d[i]+360)-c)^2)
= sum(b[i]^2 - 2*b[i]*x + x^2)
+ sum((c[i]-360)^2 - 2*(c[i]-360)*x + x^2)
+ sum((d[i]+360)^2 - 2*(d[i]+360)*x + x^2)
= sum(b[i]^2) - 2*x*sum(b[i])
+ sum((c[i]-360)^2) - 2*x*(sum(c[i]) - 360*cn)
+ sum((d[i]+360)^2) - 2*x*(sum(d[i]) + 360*dn)
+ n*x^2
= sum(b[i]^2) + sum((c[i]-360)^2) + sum((d[i]+360)^2)
- 2*x*(sum(b[i]) + sum(c[i]) + sum(d[i]))
- 2*x*(360*dn - 360*cn)
+ n*x^2
= sum(b[i]^2) + sum((c[i]-360)^2) + sum((d[i]+360)^2)
- 2*x*sum(x[i])
- 2*x*360*(dn - cn)
+ n*x^2
dy/dx = 2*n*x - 2*sum(x[i]) - 2*360*(dn - cn)
for dy/dx = 0:
2*n*x - 2*sum(x[i]) - 2*360*(dn - cn) = 0
n*x = sum(x[i]) + 360*(dn - cn)
x = (sum(x[i]) + 360*(dn - cn))/n
이것만으로는 최소값을 얻는 데 충분하지 않으며, 한정되지 않은 세트를 갖는 정상 값에 대해 작동하므로 결과는 세트의 범위 내에 있으므로 유효합니다. 범위 내에서 최소값이 필요합니다 (세그먼트로 정의). 최소값이 세그먼트의 하한값보다 작 으면 해당 세그먼트의 최소값이 하한값에 있어야합니다 (2 차 곡선에 1 개의 회전 점이 있기 때문에) 최소값이 세그먼트의 상한값보다 큰 경우 세그먼트의 최소값은 상한. 각 세그먼트에 대한 최소값을 얻은 후 최소화하려는 값이 가장 낮은 세그먼트를 찾으면됩니다 (sum ((b [i] -x) ^ 2) + sum ((((c [i] -360)) ) -b) ^ 2) + 합 (((d [i] +360) -c) ^ 2)).
다음은 곡선에 대한 이미지입니다. x = (a [i] +180) % 360 지점에서 어떻게 변하는지를 보여줍니다. 해당 데이터 세트는 {65,92,230,320,250}입니다.
다음은 일부 최적화를 포함하여 Java로 알고리즘을 구현 한 것으로 복잡도는 O (nlogn)입니다. 비교 기반 정렬을 기수 정렬과 같은 비 비교 기반 정렬로 바꾸면 O (n)으로 줄일 수 있습니다.
static double varnc(double _mean, int _n, double _sumX, double _sumSqrX)
{
return _mean*(_n*_mean - 2*_sumX) + _sumSqrX;
}
//with lower correction
static double varlc(double _mean, int _n, double _sumX, double _sumSqrX, int _nc, double _sumC)
{
return _mean*(_n*_mean - 2*_sumX) + _sumSqrX
+ 2*360*_sumC + _nc*(-2*360*_mean + 360*360);
}
//with upper correction
static double varuc(double _mean, int _n, double _sumX, double _sumSqrX, int _nc, double _sumC)
{
return _mean*(_n*_mean - 2*_sumX) + _sumSqrX
- 2*360*_sumC + _nc*(2*360*_mean + 360*360);
}
static double[] averageAngles(double[] _angles)
{
double sumAngles;
double sumSqrAngles;
double[] lowerAngles;
double[] upperAngles;
{
List<Double> lowerAngles_ = new LinkedList<Double>();
List<Double> upperAngles_ = new LinkedList<Double>();
sumAngles = 0;
sumSqrAngles = 0;
for(double angle : _angles)
{
sumAngles += angle;
sumSqrAngles += angle*angle;
if(angle < 180)
lowerAngles_.add(angle);
else if(angle > 180)
upperAngles_.add(angle);
}
Collections.sort(lowerAngles_);
Collections.sort(upperAngles_,Collections.reverseOrder());
lowerAngles = new double[lowerAngles_.size()];
Iterator<Double> lowerAnglesIter = lowerAngles_.iterator();
for(int i = 0; i < lowerAngles_.size(); i++)
lowerAngles[i] = lowerAnglesIter.next();
upperAngles = new double[upperAngles_.size()];
Iterator<Double> upperAnglesIter = upperAngles_.iterator();
for(int i = 0; i < upperAngles_.size(); i++)
upperAngles[i] = upperAnglesIter.next();
}
List<Double> averageAngles = new LinkedList<Double>();
averageAngles.add(180d);
double variance = varnc(180,_angles.length,sumAngles,sumSqrAngles);
double lowerBound = 180;
double sumLC = 0;
for(int i = 0; i < lowerAngles.length; i++)
{
//get average for a segment based on minimum
double testAverageAngle = (sumAngles + 360*i)/_angles.length;
//minimum is outside segment range (therefore not directly relevant)
//since it is greater than lowerAngles[i], the minimum for the segment
//must lie on the boundary lowerAngles[i]
if(testAverageAngle > lowerAngles[i]+180)
testAverageAngle = lowerAngles[i];
if(testAverageAngle > lowerBound)
{
double testVariance = varlc(testAverageAngle,_angles.length,sumAngles,sumSqrAngles,i,sumLC);
if(testVariance < variance)
{
averageAngles.clear();
averageAngles.add(testAverageAngle);
variance = testVariance;
}
else if(testVariance == variance)
averageAngles.add(testAverageAngle);
}
lowerBound = lowerAngles[i];
sumLC += lowerAngles[i];
}
//Test last segment
{
//get average for a segment based on minimum
double testAverageAngle = (sumAngles + 360*lowerAngles.length)/_angles.length;
//minimum is inside segment range
//we will test average 0 (360) later
if(testAverageAngle < 360 && testAverageAngle > lowerBound)
{
double testVariance = varlc(testAverageAngle,_angles.length,sumAngles,sumSqrAngles,lowerAngles.length,sumLC);
if(testVariance < variance)
{
averageAngles.clear();
averageAngles.add(testAverageAngle);
variance = testVariance;
}
else if(testVariance == variance)
averageAngles.add(testAverageAngle);
}
}
double upperBound = 180;
double sumUC = 0;
for(int i = 0; i < upperAngles.length; i++)
{
//get average for a segment based on minimum
double testAverageAngle = (sumAngles - 360*i)/_angles.length;
//minimum is outside segment range (therefore not directly relevant)
//since it is greater than lowerAngles[i], the minimum for the segment
//must lie on the boundary lowerAngles[i]
if(testAverageAngle < upperAngles[i]-180)
testAverageAngle = upperAngles[i];
if(testAverageAngle < upperBound)
{
double testVariance = varuc(testAverageAngle,_angles.length,sumAngles,sumSqrAngles,i,sumUC);
if(testVariance < variance)
{
averageAngles.clear();
averageAngles.add(testAverageAngle);
variance = testVariance;
}
else if(testVariance == variance)
averageAngles.add(testAverageAngle);
}
upperBound = upperAngles[i];
sumUC += upperBound;
}
//Test last segment
{
//get average for a segment based on minimum
double testAverageAngle = (sumAngles - 360*upperAngles.length)/_angles.length;
//minimum is inside segment range
//we test average 0 (360) now
if(testAverageAngle < 0)
testAverageAngle = 0;
if(testAverageAngle < upperBound)
{
double testVariance = varuc(testAverageAngle,_angles.length,sumAngles,sumSqrAngles,upperAngles.length,sumUC);
if(testVariance < variance)
{
averageAngles.clear();
averageAngles.add(testAverageAngle);
variance = testVariance;
}
else if(testVariance == variance)
averageAngles.add(testAverageAngle);
}
}
double[] averageAngles_ = new double[averageAngles.size()];
Iterator<Double> averageAnglesIter = averageAngles.iterator();
for(int i = 0; i < averageAngles_.length; i++)
averageAngles_[i] = averageAnglesIter.next();
return averageAngles_;
}
각도 세트의 산술 평균은 평균이 무엇인지에 대한 직관적 인 아이디어와 일치하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 세트 {179,179,0,181,181}의 산술 평균은 216 (및 144)입니다. 당신이 즉시 생각하는 대답은 아마도 180 일 것입니다. 그러나 산술 평균은 엣지 값에 큰 영향을받는 것으로 잘 알려져 있습니다. 또한 각도가 벡터가 아니라는 점을 기억해야합니다. 때로는 각도를 처리 할 때 보이는 것처럼 매력적입니다.
이 알고리즘은 물론 시간과 같이 모듈 식 산술 (최소 조정)을 준수하는 모든 수량에도 적용됩니다.
또한 이것이 벡터 솔루션과 달리 이것이 실제 각도의 평균 임에도 불구하고 반드시 사용해야하는 솔루션이라는 것을 의미하지는 않지만 해당 단위 벡터의 평균이 실제 값일 수 있음을 강조하고 싶습니다. 사용해야합니다.
