나는 최근에 창의적 기반에서 숫자의 영리한 사용을 부분적으로 또는 전체적으로 기반으로하는 수많은 알고리즘이 있다는 것을 알게되었습니다. 예를 들면 :
제 질문은 : 직관이나 증명의 핵심 단계로 영리한 숫자 체계를 사용하는 다른 알고리즘이 있습니까? . 나는 주제에 대한 강연을 모으는 것에 대해 생각하고있다. 그래서 더 많은 예를 얻어야할수록 좋다.
답변:
Chris Okasaki는 그의 저서 Purely Functional Data Structures 에서 "Numerical Representations"에 대해 아주 좋은 장을 가지고 있습니다. 본질적으로 숫자의 일부 표현을 취하여 데이터 구조로 변환합니다. 풍미를 제공하기 위해 해당 장의 섹션은 다음과 같습니다.
몇 가지 최고의 트릭은 다음과 같습니다.
다음은 해당 장에 대한 참조 목록입니다.
"삼진 숫자는 Sierpinski Triangle이나 Cantor 세트와 같은 자기 유사 구조를 편리하게 전달하는 데 사용할 수 있습니다." 출처
"2D 힐베르트 곡선의 표현에는 4 진수가 사용됩니다." 출처
"쿼터-허수 시스템은 1955 년 Donald Knuth가 고등학교 과학 재능 검색에 제출하여 처음 제안했습니다. 허수 2i를 기본으로 사용하는 비표준 위치 숫자 시스템입니다. 숫자 0, 1, 2, 3 만 사용하여 모든 복소수를 나타냅니다. " 출처
"로마 숫자는 이분법입니다." 출처
"Senary는 소수 연구에서 유용한 것으로 간주 될 수 있습니다. 2와 3을 제외한 모든 소수는 1 또는 5를 마지막 숫자로 갖기 때문입니다." 출처
"Sexagesimal (기본 60)은 60을 기본으로하는 숫자 체계입니다. 기원전 3 천년에 고대 수메르 인에서 시작되었으며 고대 바빌로니아 인에게 전 해졌고 여전히 수정 된 형태로 측정에 사용됩니다. 각도 인 시간, 각도, 지리적 좌표. " 출처
기타...
이 목록 은 좋은 출발점입니다.
지난번에 귀하의 질문을 읽었으며 오늘 문제에 직면했습니다. 집합의 모든 분할을 어떻게 생성합니까? 나에게 발생한 해결책과 내가 사용한 (아마도 귀하의 질문을 읽었 기 때문에) 다음과 같습니다.
(p) 파티션이 필요한 (n) 요소가있는 집합의 경우 기본 (p)의 모든 (n) 자리 숫자를 세어보세요.
각 숫자는 분할에 해당합니다. 각 숫자는 세트의 요소에 해당하며 숫자 값은 요소를 넣을 파티션을 알려줍니다.
놀랍지는 않지만 깔끔합니다. 완전하고 중복이 발생하지 않으며 임의의 기반을 사용합니다. 사용하는 기준은 특정 파티션 문제에 따라 다릅니다.
111222구별 222111됩니까?
저는 최근에 0과 2n -1 사이의 숫자에 대한 이진 표현을 기반으로 사전 식 순서로 하위 집합을 생성하는 멋진 알고리즘을 발견했습니다.이 알고리즘 은 숫자 비트를 사용하여 집합에 대해 선택해야하는 요소를 결정하고 로컬로 재정렬해야합니다. 사전 순서로 가져 오기 위해 생성 된 세트. 궁금하다면 여기에 글을 게시 했습니다 .
또한 많은 알고리즘이 스케일링 (예 : Ford-Fulkerson max-flow 알고리즘의 약한 다항식 버전)을 기반으로하며, 입력 문제에서 숫자의 이진 표현을 사용하여 대략적인 근사를 완전한 솔루션으로 점진적으로 정제합니다.
정확히 영리한 기본 시스템은 아니지만 기본 시스템의 영리한 사용 : Van der Corput 시퀀스는 숫자의 base-n 표현을 반대로하여 형성된 낮은 불일치 시퀀스 입니다. 그들은 2-D 구성하는 데 사용하고 홀턴 시퀀스 종류 등으로 볼 이 .
매트릭스 곱셈의 속도를 높이기 위해 이중 기본 시스템에 대해 모호하게 기억합니다.
이중베이스 시스템은 하나의 번호에 두 개의베이스를 사용하는 중복 시스템입니다.
n = Sum(i=1 --> l){ c_i * 2^{a_i} * 3 ^ {b_i}, where c in {-1,1}
중복은 하나의 숫자를 여러 방법으로 지정할 수 있음을 의미합니다.
Todor Cooklev의 Vassil Dimitrov의 "행렬 다항식 계산을위한 하이브리드 알고리즘"기사를 찾을 수 있습니다.
내가 할 수있는 가장 짧은 개요를 제공하려고합니다.
그들은 행렬 다항식을 계산하려고했습니다 G(N,A) = I + A + ... + A^{N-1}.
Supoosing N은 복합 G(N,A) = G(J,A) * G(K, A^J)이며 J = 2를 신청하면 다음을 얻습니다.
/ (I + A) * G(K, A^2) , if N = 2K
G(N,A) = |
\ I + (A + A^2) * G(K, A^2) , if N = 2K + 1
또한,
/ (I + A + A^2) * G(K, A^3) , if N = 3K
G(N,A) = | I + (A + A^2 + A^3) * G(K, A^3) , if N = 3K + 1
\ I + A * (A + A^2 + A^3) * G(K, A^3) , if N = 3K + 2
이러한 방정식 중 일부는 첫 번째 시스템에서 빠르고 일부는 두 번째 시스템에서 더 낫다는 것이 "분명한"(농담으로)이므로에 따라 가장 좋은 것을 선택하는 것이 좋습니다 N. 그러나 이것은 2와 3 모두에 대해 빠른 모듈로 연산이 필요합니다. 이중베이스가 들어오는 이유는 다음과 같습니다. 기본적으로 둘 다에 대해 모듈로 연산을 빠르게 수행하여 결합 된 시스템을 제공 할 수 있습니다.
/ (I + A + A^2) * G(K, A^3) , if N = 0 or 3 mod 6
G(N,A) = | I + (A + A^2 + A^3) * G(K, A^3) , if N = 1 or 4 mod 6
| (I + A) * G(3K + 1, A^2) , if N = 2 mod 6
\ I + (A + A^2) * G(3K + 2, A^2) , if N = 5 mod 6
나는이 분야의 전문가가 아니기 때문에 더 나은 설명을 위해 기사를보십시오.
RadixSort는 다양한 숫자 기반을 사용할 수 있습니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Radix_sort bucketSort의 꽤 흥미로운 구현입니다.
해싱 문자열 (예 : Rabin-Karp 알고리즘에서)은 종종 문자열을 n 자리 숫자로 구성된 base-b 숫자로 평가합니다 (여기서 n은 문자열의 길이이고 b는 충분히 큰 일부 선택된 기본입니다). 예를 들어 문자열 "ABCD"는 다음과 같이 해시 될 수 있습니다.
'A'*b^3+'B'*b^2+'C'*b^1+'D'*b^0
ASCII 값을 문자로 대체하고 b를 256으로하면 다음과 같이됩니다.
65*256^3+66*256^2+67*256^1+68*256^0
그러나 대부분의 실제 응용 프로그램에서 결과 값은 결과를 충분히 작게 유지하기 위해 합당한 크기의 숫자를 모듈로 가져옵니다.
에 Hackers Delight (모든 프로그래머가 내 눈에 알아야 할 책) 대한 unusal 기지에 대한 완전한 장에서는이 같은 -2 거점으로 (네, 바로 부정적인 기지) -1 + I (나는 같은 허수 단위의 SQRT (-1)) 등 베이스. 또한 가장 좋은 기준이 무엇인지 좋은 계산을합니다 (하드웨어 설계 측면에서 읽고 싶지 않은 모든 사람들을 위해 : 방정식의 해는 e이므로 2 또는 3으로 갈 수 있으므로 3이 조금 더 나을 것입니다 (요인 2)보다 1.056 배 우수하지만 기술적으로 더 실용적 임).
내 마음에 떠오르는 다른 것들은 회색 카운터 (이 시스템에서 1 비트 만 변경하면 하드웨어 설계에서 준 안정성 문제를 줄이기 위해이 속성을 자주 사용함) 또는 이미 언급 한 Huffmann 인코딩의 일반화 인 산술 인코딩입니다.
이진수를 회색 코드로 변환하는 데 정말 마음에 듭니다. http://www.matrixlab-examples.com/gray-code.html
좋은 질문입니다. 목록은 실제로 길다. 말하는 시간은 혼합 염기의 단순한 예입니다 (일 | 시간 | 분 | 초 | 오전 / 오후).
관심이 있으시면 메타베이스 열거 형 n- 튜플 프레임 워크를 만들었습니다. 기본 번호 체계를위한 매우 달콤한 구문 설탕입니다. 아직 출시되지 않았습니다. 내 사용자 이름을 이메일로 보냅니다 (gmail에서).
base 2를 사용하는 내가 가장 좋아하는 것 중 하나는 Arithmetic Encoding 입니다. 알고리즘의 하트가 이진법으로 0과 1 사이의 숫자 표현을 사용하기 때문에 특이합니다.