SAT-solver (Python)를 사용하여 특정 영역 내에서 유리 폴리 아미노산의 모든 조합 찾기

저는 SAT 솔버의 세계에 익숙하지 않으며 다음 문제에 관한 지침이 필요합니다.

고려해 보면:

❶ 4 * 4 그리드에서 14 개의 인접 셀을 선택했습니다.

❷ 크기가 4, 2, 5, 2 및 1 인 5 개의 폴리 노 미노 (A, B, C, D, E)가 있습니다

poly이 폴리 아미노는 자유 롭습니다 . 즉 모양이 고정되어 있지 않고 다른 패턴을 형성 할 수 있습니다

SAT 솔버를 사용하여 선택한 영역 내에서 5 개의 자유 폴리 아미노산 (회색 셀) 의 가능한 모든 조합을 어떻게 계산할 수 있습니까?

@spinkus의 통찰력있는 답변과 OR 도구 설명서에서 모두 빌려 다음 예제 코드를 만들 수 있습니다 (Jupyter Notebook에서 실행).

from ortools.sat.python import cp_model

import numpy as np
import more_itertools as mit
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline


W, H = 4, 4 #Dimensions of grid
sizes = (4, 2, 5, 2, 1) #Size of each polyomino
labels = np.arange(len(sizes))  #Label of each polyomino

colors = ('#FA5454', '#21D3B6', '#3384FA', '#FFD256', '#62ECFA')
cdict = dict(zip(labels, colors)) #Color dictionary for plotting

inactiveCells = (0, 1) #Indices of disabled cells (in 1D)
activeCells = set(np.arange(W*H)).difference(inactiveCells) #Cells where polyominoes can be fitted
ranges = [(next(g), list(g)[-1]) for g in mit.consecutive_groups(activeCells)] #All intervals in the stack of active cells



def main():
    model = cp_model.CpModel()


    #Create an Int var for each cell of each polyomino constrained to be within Width and Height of grid.
    pminos = [[] for s in sizes]
    for idx, s in enumerate(sizes):
        for i in range(s):
            pminos[idx].append([model.NewIntVar(0, W-1, 'p%i'%idx + 'c%i'%i + 'x'), model.NewIntVar(0, H-1, 'p%i'%idx + 'c%i'%i + 'y')])



    #Define the shapes by constraining the cells relative to each other

    ## 1st polyomino -> tetromino ##
    #                              #      
    #                              # 
    #            #                 # 
    #           ###                # 
    #                              # 
    ################################

    p0 = pminos[0]
    model.Add(p0[1][0] == p0[0][0] + 1) #'x' of 2nd cell == 'x' of 1st cell + 1
    model.Add(p0[2][0] == p0[1][0] + 1) #'x' of 3rd cell == 'x' of 2nd cell + 1
    model.Add(p0[3][0] == p0[0][0] + 1) #'x' of 4th cell == 'x' of 1st cell + 1

    model.Add(p0[1][1] == p0[0][1]) #'y' of 2nd cell = 'y' of 1st cell
    model.Add(p0[2][1] == p0[1][1]) #'y' of 3rd cell = 'y' of 2nd cell
    model.Add(p0[3][1] == p0[1][1] - 1) #'y' of 3rd cell = 'y' of 2nd cell - 1



    ## 2nd polyomino -> domino ##
    #                           #      
    #                           # 
    #           #               # 
    #           #               # 
    #                           # 
    #############################

    p1 = pminos[1]
    model.Add(p1[1][0] == p1[0][0])
    model.Add(p1[1][1] == p1[0][1] + 1)



    ## 3rd polyomino -> pentomino ##
    #                              #      
    #            ##                # 
    #            ##                # 
    #            #                 # 
    #                              #
    ################################

    p2 = pminos[2]
    model.Add(p2[1][0] == p2[0][0] + 1)
    model.Add(p2[2][0] == p2[0][0])
    model.Add(p2[3][0] == p2[0][0] + 1)
    model.Add(p2[4][0] == p2[0][0])

    model.Add(p2[1][1] == p2[0][1])
    model.Add(p2[2][1] == p2[0][1] + 1)
    model.Add(p2[3][1] == p2[0][1] + 1)
    model.Add(p2[4][1] == p2[0][1] + 2)



    ## 4th polyomino -> domino ##
    #                           #      
    #                           # 
    #           #               #   
    #           #               # 
    #                           # 
    #############################

    p3 = pminos[3]
    model.Add(p3[1][0] == p3[0][0])
    model.Add(p3[1][1] == p3[0][1] + 1)



    ## 5th polyomino -> monomino ##
    #                             #      
    #                             # 
    #           #                 # 
    #                             # 
    #                             # 
    ###############################
    #No constraints because 1 cell only



    #No blocks can overlap:
    block_addresses = []
    n = 0
    for p in pminos:
        for c in p:
            n += 1
            block_address = model.NewIntVarFromDomain(cp_model.Domain.FromIntervals(ranges),'%i' % n)
                model.Add(c[0] + c[1] * W == block_address)
                block_addresses.append(block_address)

    model.AddAllDifferent(block_addresses)



    #Solve and print solutions as we find them
    solver = cp_model.CpSolver()

    solution_printer = SolutionPrinter(pminos)
    status = solver.SearchForAllSolutions(model, solution_printer)

    print('Status = %s' % solver.StatusName(status))
    print('Number of solutions found: %i' % solution_printer.count)




class SolutionPrinter(cp_model.CpSolverSolutionCallback):
    ''' Print a solution. '''

    def __init__(self, variables):
        cp_model.CpSolverSolutionCallback.__init__(self)
        self.variables = variables
        self.count = 0

    def on_solution_callback(self):
        self.count += 1


        plt.figure(figsize = (2, 2))
        plt.grid(True)
        plt.axis([0,W,H,0])
        plt.yticks(np.arange(0, H, 1.0))
        plt.xticks(np.arange(0, W, 1.0))


        for i, p in enumerate(self.variables):
            for c in p:
                x = self.Value(c[0])
                y = self.Value(c[1])
                rect = plt.Rectangle((x, y), 1, 1, fc = cdict[i])
                plt.gca().add_patch(rect)

        for i in inactiveCells:
            x = i%W
            y = i//W
            rect = plt.Rectangle((x, y), 1, 1, fc = 'None', hatch = '///')
            plt.gca().add_patch(rect)

문제는 5 개의 고유 / 고정 폴리 아미노를 하드 코딩 했으며 각 폴리 아미노에 대한 각 가능한 패턴이 고려되도록 제약 조건을 정의하는 방법을 모른다 는 것입니다 (제공되는 경우).

편집 : 나는 "무료" 라는 단어를 놓쳤다 원래 답변에서 고정 폴리 아미노에 OR 도구를 사용하여 답변했습니다. AFAICT는 OR-Tools를 사용한 구속 조건 프로그래밍에서 정확하게 표현하기가 매우 어려운 것으로 밝혀진 자유 폴리오 미노에 대한 솔루션을 포함하는 섹션을 추가했습니다.

OR 도구를 사용한 고정 폴리곤 :

예 , OR-Tools에서 제약 조건 프로그래밍 으로 할 수 있습니다 . OR-Tools는 2D 그리드 지오메트리에 대해 전혀 알지 못하므로 위치 구속 조건 측면에서 각 모양의 지오메트리를 인코딩해야합니다. 즉, 모양은 서로 특정 관계를 가져야하고 격자의 경계 내에 있어야하며 겹치지 않아야하는 블록 / 셀의 모음입니다. 구속 조건 모델이 있으면 CP-SAT Solver 에게 문의하십시오. 에 가능한 모든 솔루션에 대해 해결 .

다음은 4x4 그리드에 두 개의 직사각형 모양을 가진 개념에 대한 간단한 증거입니다 (일부 해석기 코드를 추가하여 모양 설명에서 일련의 OR- 도구 변수 및 제약 조건으로 이동하는 것이 좋습니다) 제약 조건을 직접 입력하는 것은 약간 지루하기 때문에).

from ortools.sat.python import cp_model

(W, H) = (3, 3) # Width and height of our grid.
(X, Y) = (0, 1) # Convenience constants.


def main():
  model = cp_model.CpModel()
  # Create an Int var for each block of each shape constrained to be within width and height of grid.
  shapes = [
    [
      [ model.NewIntVar(0, W, 's1b1_x'), model.NewIntVar(0, H, 's1b1_y') ],
      [ model.NewIntVar(0, W, 's1b2_x'), model.NewIntVar(0, H, 's1b2_y') ],
      [ model.NewIntVar(0, W, 's1b3_x'), model.NewIntVar(0, H, 's1b3_y') ],
    ],
    [
      [ model.NewIntVar(0, W, 's2b1_x'), model.NewIntVar(0, H, 's2b1_y') ],
      [ model.NewIntVar(0, W, 's2b2_x'), model.NewIntVar(0, H, 's2b2_y') ],
    ]
  ]

  # Define the shapes by constraining the blocks relative to each other.
  # 3x1 rectangle:
  s0 = shapes[0]
  model.Add(s0[0][Y] == s0[1][Y])
  model.Add(s0[0][Y] == s0[2][Y])
  model.Add(s0[0][X] == s0[1][X] - 1)
  model.Add(s0[0][X] == s0[2][X] - 2)
  # 1x2 rectangle:
  s1 = shapes[1]
  model.Add(s1[0][X] == s1[1][X])
  model.Add(s1[0][Y] == s1[1][Y] - 1)

  # No blocks can overlap:
  block_addresses = []
  for i, block in enumerate(blocks(shapes)):
    block_address = model.NewIntVar(0, (W+1)*(H+1), 'b%d' % (i,))
    model.Add(block[X] + (H+1)*block[Y] == block_address)
    block_addresses.append(block_address)
  model.AddAllDifferent(block_addresses)

  # Solve and print solutions as we find them
  solver = cp_model.CpSolver()
  solution_printer = SolutionPrinter(shapes)
  status = solver.SearchForAllSolutions(model, solution_printer)
  print('Status = %s' % solver.StatusName(status))
  print('Number of solutions found: %i' % solution_printer.count)


def blocks(shapes):
  ''' Helper to enumerate all blocks. '''
  for shape in shapes:
    for block in shape:
      yield block


class SolutionPrinter(cp_model.CpSolverSolutionCallback):
    ''' Print a solution. '''

    def __init__(self, variables):
        cp_model.CpSolverSolutionCallback.__init__(self)
        self.variables = variables
        self.count = 0

    def on_solution_callback(self):
      self.count += 1
      solution = [(self.Value(block[X]), self.Value(block[Y])) for shape in self.variables for block in shape]
      print((W+3)*'-')
      for y in range(0, H+1):
        print('|' + ''.join(['#' if (x,y) in solution else ' ' for x in range(0, W+1)]) + '|')
      print((W+3)*'-')


if __name__ == '__main__':
  main()

제공합니다 :

...
------
|    |
| ###|
|  # |
|  # |
------
------
|    |
| ###|
|   #|
|   #|
------
Status = OPTIMAL
Number of solutions found: 60

무료 폴리 이모 니아 :

셀 그리드를 그래프로 간주하면 문제는 각 파티션이 특정 크기를 가지며 각 파티션이 연결된 구성 요소 인 그리드 셀의 k- 파티션을 찾는 것으로 해석 될 수 있습니다 . 즉, AFAICT는 연결된 구성 요소와 폴리오 미노 간에 차이가 없으며이 답변의 나머지 부분에서 이러한 가정이 이루어집니다.

가능한 모든 "각 파티션이 특정 크기를 갖는 그리드 셀의 k- 파티션"을 찾는 것은 OR-Tools 제약 조건 프로그래밍에서 표현하기가 쉽지 않습니다. 그러나 연결성 부분은 어려운 AFAICT입니다 (나는 오랫동안 시도하고 실패했습니다 ...). OR-Tools 제약 조건 프로그래밍이 올바른 접근법이 아니라고 생각합니다. 네트워크 최적화 라이브러리에 대한 OR-Tools C ++ 참조에는 연결된 구성 요소 에 대한 몇 가지 내용이 있지만 살펴볼 가치가 있음을 알았습니다. 반면에 파이썬의 순진 재귀 검색 솔루션은 꽤 가능합니다.

다음은 "손으로"순진한 솔루션입니다. 꽤 느리지 만 4x4 케이스에는 견딜 수 있습니다. 주소는 그리드의 각 셀을 식별하는 데 사용됩니다. 또한 위키 페이지 는이 알고리즘과 같은 것을 순진한 솔루션으로 암시하고 유사한 폴리 아미노 문제에 대해 더 효율적인 것을 제안하는 것처럼 보입니다.

import numpy as np
from copy import copy
from tabulate import tabulate

D = 4 # Dimension of square grid.
KCC = [5,4,2,2] # List of the sizes of the required k connected components (KCCs).
assert(sum(KCC) <= D*D)
VALID_CELLS = range(2,D*D)

def search():
  solutions = set() # Stash of unique solutions.
  for start in VALID_CELLS: # Try starting search from each possible starting point and expand out.
    marked = np.zeros(D*D).tolist()
    _search(start, marked, set(), solutions, 0, 0)
  for solution in solutions:  # Print results.
    print(tabulate(np.array(solution).reshape(D, D)))
  print('Number of solutions found:', len(solutions))

def _search(i, marked, fringe, solutions, curr_count, curr_part):
  ''' Recursively find each possible KCC in the remaining available cells the find the next, until none left '''
  marked[i] = curr_part+1
  curr_count += 1
  if curr_count == KCC[curr_part]: # If marked K cells for the current CC move onto the next one.
    curr_part += 1
    if curr_part == len(KCC): # If marked K cells and there's no more CCs left we have a solution - not necessarily unique.
      solutions.add(tuple(marked))
    else:
      for start in VALID_CELLS:
        if marked[start] == 0:
          _search(start, copy(marked), set(), solutions, 0, curr_part)
  else:
    fringe.update(neighbours(i, D))
    while(len(fringe)):
      j = fringe.pop()
      if marked[j] == 0:
        _search(j, copy(marked), copy(fringe), solutions, curr_count, curr_part)

def neighbours(i, D):
  ''' Find the address of all cells neighbouring the i-th cell in a DxD grid. '''
  row = int(i/D)
  n = []
  n += [i-1] if int((i-1)/D) == row and (i-1) >= 0 else []
  n += [i+1] if int((i+1)/D) == row and (i+1) < D**2 else []
  n += [i-D] if (i-D) >=0 else []
  n += [i+D] if (i+D) < D**2 else []
  return filter(lambda x: x in VALID_CELLS, n)

if __name__ == '__main__':
  search()

제공합니다 :

...
-  -  -  -
0  0  1  1
2  2  1  1
4  2  3  1
4  2  3  0
-  -  -  -
-  -  -  -
0  0  4  3
1  1  4  3
1  2  2  2
1  1  0  2
-  -  -  -
Number of solutions found: 3884

OR-Tools에서 간단하게 연결된 영역을 제한하는 비교적 간단한 방법은 경계를 회로 로 제한하는 것 입니다. 모든 polyominos의 크기가 8보다 작 으면 간단하게 연결되지 않은 것에 대해 걱정할 필요가 없습니다.

이 코드는 모든 3884 솔루션을 찾습니다.

from ortools.sat.python import cp_model

cells = {(x, y) for x in range(4) for y in range(4) if x > 1 or y > 0}
sizes = [4, 2, 5, 2, 1]
num_polyominos = len(sizes)
model = cp_model.CpModel()

# Each cell is a member of one polyomino
member = {
    (cell, p): model.NewBoolVar(f"member{cell, p}")
    for cell in cells
    for p in range(num_polyominos)
}
for cell in cells:
    model.Add(sum(member[cell, p] for p in range(num_polyominos)) == 1)

# Each polyomino contains the given number of cells
for p, size in enumerate(sizes):
    model.Add(sum(member[cell, p] for cell in cells) == size)

# Find the border of each polyomino
vertices = {
    v: i
    for i, v in enumerate(
        {(x + i, y + j) for x, y in cells for i in [0, 1] for j in [0, 1]}
    )
}
edges = [
    edge
    for x, y in cells
    for edge in [
        ((x, y), (x + 1, y)),
        ((x + 1, y), (x + 1, y + 1)),
        ((x + 1, y + 1), (x, y + 1)),
        ((x, y + 1), (x, y)),
    ]
]
border = {
    (edge, p): model.NewBoolVar(f"border{edge, p}")
    for edge in edges
    for p in range(num_polyominos)
}
for (((x0, y0), (x1, y1)), p), border_var in border.items():
    left_cell = ((x0 + x1 + y0 - y1) // 2, (y0 + y1 - x0 + x1) // 2)
    right_cell = ((x0 + x1 - y0 + y1) // 2, (y0 + y1 + x0 - x1) // 2)
    left_var = member[left_cell, p]
    model.AddBoolOr([border_var.Not(), left_var])
    if (right_cell, p) in member:
        right_var = member[right_cell, p]
        model.AddBoolOr([border_var.Not(), right_var.Not()])
        model.AddBoolOr([border_var, left_var.Not(), right_var])
    else:
        model.AddBoolOr([border_var, left_var.Not()])

# Each border is a circuit
for p in range(num_polyominos):
    model.AddCircuit(
        [(vertices[v0], vertices[v1], border[(v0, v1), p]) for v0, v1 in edges]
        + [(i, i, model.NewBoolVar(f"vertex_loop{v, p}")) for v, i in vertices.items()]
    )

# Print all solutions
x_range = range(min(x for x, y in cells), max(x for x, y in cells) + 1)
y_range = range(min(y for x, y in cells), max(y for x, y in cells) + 1)
solutions = 0


class SolutionPrinter(cp_model.CpSolverSolutionCallback):
    def OnSolutionCallback(self):
        global solutions
        solutions += 1
        for y in y_range:
            print(
                *(
                    next(
                        p
                        for p in range(num_polyominos)
                        if self.Value(member[(x, y), p])
                    )
                    if (x, y) in cells
                    else "-"
                    for x in x_range
                )
            )
        print()


solver = cp_model.CpSolver()
solver.SearchForAllSolutions(model, SolutionPrinter())
print("Number of solutions found:", solutions)

각 polyonomino 및 가능한 각 왼쪽 상단 셀에 대해이 셀이 둘러싸는 사각형의 왼쪽 상단 부분인지 나타내는 부울 변수가 있습니다.

각 셀과 각 polyomino에 대해이 셀이이 polyomino에 의해 사용되는지 여부를 나타내는 부울 변수가 있습니다.

이제 각 셀과 각 polyomino에 대해 일련의 영향이 있습니다. 왼쪽 상단 셀이 선택되면 각 셀이 실제로이 polyomino에 의해 채워짐을 의미합니다.

그런 다음 제약 조건 : 각 셀마다 최대 하나의 폴리오 미노가 각 폴리오 미노에 대해 점유합니다. 왼쪽 상단에 정확히 하나의 셀이 있습니다.

이것은 순수한 부울 문제입니다.