(n & -n) == n이면 n이 2의 거듭 제곱 인 이유는 무엇입니까?

Question 1

if ((n & -n) == n) // i.e., n is a power of 2
    // rest of the code

왜 이런거야?

Question 2

(0 & -0) == 00은 2의 거듭 제곱이 아니기 때문에 설명이 완전히 정확 하지는 않습니다. 그것을 말하는 더 좋은 방법은

((n & -n) == n) n이 2의 거듭 제곱이거나 2의 제곱 또는 0의 음수 일 때.

n이 2의 거듭 제곱이면 이진수의 n은 단일 1 다음에 0이 오는 것입니다. 2의 보수에서 -n은 역 + 1이므로 비트가 정렬됩니다.

 n      0000100...000
-n      1111100...000
 n & -n 0000100...000

왜이 일이 일어나는지 알아보기 위해 2의 보수를 역 + 1로 간주하고 -n == ~n + 1

n          0000100...000
inverse n  1111011...111
                     + 1
two's comp 1111100...000

2의 보수를 얻기 위해 하나를 추가 할 때 하나를 끝까지 가지고 있기 때문입니다.

n이 2의 거듭 제곱이 아닌 경우 † 2의 보수가 해당 캐리로 인해 가장 높은 비트 세트를 갖지 않기 때문에 결과는 비트가 누락됩니다.

†-또는 2의 제곱의 0 또는 음수 ... 위에 설명 된대로.

Question 3

때문에 2의 보수에 -n있다 ~n+1.

n가 2의 거듭 제곱 이면 1 비트 만 설정됩니다. 그래서 ~n그 비트를 제외한 모든 비트가 설정되었습니다. 하나를 추가하면 그 보장, 다시 특별 비트를 설정 n & (that thing)같다 n.

그 반대는 또한 해당 Java 소스의 이전 줄에서 0과 음수가 제외 되었기 때문에 사실입니다. 경우 n다음 하나 개 이상의 비트 세트를 가지고 그 중 하나는 최고 이러한 비트입니다. 이 비트는 "흡수"할 더 낮은 클리어 비트가 있으므로에 의해 설정 되지 않습니다+1 .

 n: 00001001000
~n: 11110110111
-n: 11110111000  // the first 0 bit "absorbed" the +1
        ^
        |
        (n & -n) fails to equal n at this bit.

Question 4

이것이 사실 인 이유를 확인하려면 값을 비트 맵으로보아야합니다.

1 & 1 = 1
1 & 0 = 0
0 & 1 = 0
0 & 0 = 0

따라서 두 필드가 모두 1 인 경우에만 1이 나옵니다.

이제 -n은 2의 보수를합니다. 이 모든 변화 0에 1그리고 1을 추가합니다.

7 = 00000111
-1 = NEG(7) + 1 = 11111000 + 1 = 11111001

하나

8 = 00001000
-8 = 11110111 + 1 = 11111000 

00001000  (8)
11111000  (-8)
--------- &
00001000 = 8.

2의 거듭 제곱에 대해서만 (n & -n)n이됩니다.
이것은 2의 거듭 제곱이 0의 긴 바다에서 단일 세트 비트로 표현되기 때문입니다. 부정은 1의 바다에서 정반대의 단일 0 (1이 있었던 지점) 을 산출합니다 . 1을 더하면 낮은 값이 0이있는 공간으로 이동합니다.
그리고 비트 및 (&)는 1을 다시 필터링합니다.

Question 5

2의 보수 표현에서 2의 거듭 제곱에 대한 독특한 점은 n = 2 ^ k 인 k 번째 비트를 제외하고 모두 0 비트로 구성된다는 것입니다.

base 2    base 10
000001 =  1 
000010 =  2
000100 =  4
     ...

2의 보수에서 음수 값을 얻으려면 모든 비트를 뒤집고 1을 더합니다. 2의 거듭 제곱의 경우, 이는 양수 값에있는 1 비트까지 포함하여 왼쪽에 1 묶음과 오른쪽에 0 묶음이 있음을 의미합니다.

n   base 2  ~n      ~n+1 (-n)   n&-n  
1   000001  111110  111111      000001
2   000010  111101  111110      000010
4   000100  111011  111100      000100
8   001000  110111  111000      001000

2 열과 4 열의 결과가 2 열과 동일하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

이 차트에서 누락 된 다른 값을 살펴보면 이것이 2의 거듭 제곱 외에는 어떤 것도 유지하지 않는 이유를 알 수 있습니다.

n   base 2  ~n      ~n+1 (-n)   n&-n  
1   000001  111110  111111      000001
2   000010  111101  111110      000010
3   000011  111100  111101      000001
4   000100  111011  111100      000100
5   000101  111010  111011      000001
6   000110  111001  111010      000010
7   000111  111000  111001      000001
8   001000  110111  111000      001000

n & -n은 (n> 0 인 경우) 1 비트 만 설정되며 해당 비트는 n에서 최하위 설정 비트가됩니다. 2의 거듭 제곱 인 모든 숫자의 경우 최하위 세트 비트가 유일한 세트 비트입니다. 다른 모든 숫자에는 둘 이상의 비트 세트가 있으며 그 중 최하위 비트 만 결과에 설정됩니다.

Question 6

2의 거듭 제곱과 2 의 보수 의 속성입니다 .

예를 들어, 8을 사용하십시오.

8  = 0b00001000

-8 = 0b11111000

2의 보수 계산 :

Starting:  0b00001000
Flip bits: 0b11110111  (one's complement)
Add one:   0b11111000  

AND 8    : 0b00001000

2의 멱수를 들어, 단지 하나의 비트가 설정 될 것이다 첨가하면 N 발생할 수 있도록 ^제 2의 비트를 ^N 으로 설정되어야한다 (하나의 N에 들고 유지 ^번째 비트). 그런 다음 AND두 개의 숫자가 있으면 원래의 숫자를 얻습니다.

2의 거듭 제곱이 아닌 숫자의 경우 다른 비트가 뒤집 히지 않으므로 AND원래 숫자가 생성되지 않습니다.

Question 7

간단히 말해서, n이 2의 거듭 제곱이면 한 비트 만 1로 설정되고 나머지 비트는 0으로 설정됩니다.

00000...00001 = 2 ^ 0
00000...00010 = 2 ^ 1
00000...00100 = 2 ^ 2
00000...01000 = 2 ^ 3
00000...10000 = 2 ^ 4

and so on ...

그리고 -n2의 보수 이기 때문에 n(즉, 1 인 유일한 비트는 그대로 남아 있고 해당 비트의 왼쪽에있는 비트는 1에 위치합니다. 이는 AND 연산자의 결과 &가 0이 되므로 실제로 중요하지 않습니다. 두 비트 중 하나가 0 임) :

000000...000010000...00000 <<< n
&
111111...111110000...00000 <<< -n
--------------------------
000000...000010000...00000 <<< n

Question 8

예를 통해 표시 :

16 진수 8 = 0x000008

-8 in hex = 0xFFFFF8

8 & -8 = 0x000008