CLRS, 3 판, 155 페이지에서는 MAX-HEAPIFY에서
자식 하위 트리의 크기는 각각 최대 2n / 3입니다. 최악의 경우는 트리의 맨 아래 수준이 정확히 절반이 찼을 때 발생합니다.
나는 나무의 바닥이 정확히 반쯤 찼을 때 왜 최악인지 이해합니다. 그리고이 질문 에서도 MAX-HEAPIFY의 최악의 경우에 대답됩니다 . "최악의 경우는 트리의 맨 아래 수준이 정확히 절반이 찼을 때 발생합니다."
내 질문은 2n / 3을 얻는 방법입니다.
맨 아래 레벨이 반쯤 차면 자식 트리의 크기가 최대 2n / 3 인 이유는 무엇입니까?
그것을 계산하는 방법?
감사
답변:
각 노드에 정확히 0 개 또는 2 개의 자식이있는 트리에서 자식이 0 개인 노드의 수는 자식이 2 개인 노드의 수보다 하나 더 많습니다. {설명 : 높이 h에있는 노드의 수는 2 ^ h입니다. 기하학적 시리즈의 합산 공식은 (높이 0에서 h-1까지 노드의 합) + 1과 같습니다. 높이 0에서 h-1까지의 모든 노드는 정확히 2 개의 자식이있는 노드입니다.}
ROOT
L R
/ \ / \
/ \ / \
----- -----
*****
k를 R의 노드 수라고합시다. L의 노드 수는 k + (k + 1) = 2k + 1입니다. 총 노드 수는 n = 1 + (2k + 1) + k = 3k + 2입니다. (루트 + L + R). 비율은 (2k + 1) / (3k + 2)이며, 2/3 이상으로 제한됩니다. k가 무한대로가는 한계는 2/3이기 때문에 2/3보다 작은 상수는 작동하지 않습니다.
Understand the maximum number of elements in a subtree happens for the left subtree of a tree that has the last level half full.Draw this on a piece of paper to realize this.
이것이 명확 해지면 2N / 3의 경계를 쉽게 얻을 수 있습니다.
트리의 총 노드 수가 N이라고 가정 해 보겠습니다.
트리의 노드 수 = 1 + (왼쪽 하위 트리의 노드 수) + (오른쪽 하위 트리의 노드 수)
트리의 마지막 레벨이 절반으로 채워진 경우 iF는 오른쪽 하위 트리가 높이 h이고 왼쪽 하위 트리가 높이 (h + 1)이면 왼쪽 하위 트리라고 가정합니다.
왼쪽 하위 트리의 노드 수 = 1 + 2 + 4 + 8 .... 2 ^ (h + 1) = 2 ^ (h + 2) -1 ..... (i)
오른쪽 하위 트리의 노드 수 = 1 + 2 + 4 + 8 .... 2 ^ (h) = 2 ^ (h + 1) -1 ..... (ii)
따라서 다음을 연결합니다.
트리의 노드 수 = 1 + (왼쪽 하위 트리의 노드 수) + (오른쪽 하위 트리의 노드 수)
=> N = 1 + (2^(h+2)-1) + (2^(h+1)-1)
=> N = 1 + 3*(2^(h+1)) - 2
=> N = 3*(2^(h+1)) -1
=> 2^(h+1) = (N + 1)/3
이 값을 방정식 (i)에 대입하면 다음을 얻습니다.
Number of nodes in Left Subtree = 2^(h+2)-1 = 2*(N+1)/3 -1 =(2N-1)/3 < (2N/3)
따라서 N 노드가있는 트리의 하위 트리에서 최대 노드 수의 상한은 2N / 3입니다.
This is the most the heap can get imbalanced; adding another node will either begin to rebalance the heap (by filling out the other, right, half of the last level) or break the heap's shape property of being a complete binary tree
높이의 완전한 이진 트리 h의 경우 노드 수는 f(h) = 2^h - 1입니다. 위의 경우 하반부가 가득 찬 거의 완전한 이진 트리가 있습니다. 우리는 이것을 root + left complete tree + right complete tree. 원래 나무의 높이가 h이면 왼쪽은 h - 1이고 오른쪽은 h - 2. 그래서 방정식은
n = 1 + f(h-1) + f(h-2) (1)
우리는 f(h-1)다음과 같이 표현 하기 위해 위에서 해결하고 싶습니다.n
f(h-2) = 2^(h-2) - 1 = (2^(h-1)-1+1)/2 - 1 = (f(h-1) - 1)/2 (2)
위의 (1)을 사용하여
n = 1 + f(h-1) + (f(h-1) - 1)/2 = 1/2 + 3*f(h-1)/2
=> f(h-1) = 2*(n-1/2)/3
따라서 O (2n / 3)
-노드 수
레벨 0에서 레벨 n까지 모든 노드의 합계,
기하학적 시리즈 합산 규칙에서 우리는
x = 2를 대체하면
2 ^ (n + 1)은 n + 1 수준의 총 노드이므로 자식이 0 개인 노드 수는 자식이 2 개인 노드 수보다 하나 더 많다고 말할 수 있습니다.
이제 왼쪽 하위 트리, 오른쪽 트리 및 합계의 노드 수를 계산해 보겠습니다.
위의 추론으로 왼쪽 하위 트리의 리프 노드 수 또는 루트 = k + 1입니다. 루트의 오른쪽 하위 트리에있는 비 리프 노드 수 = k는 트리가 정확히 절반이 찼다 고합니다.
루트의 왼쪽 하위 트리에있는 총 노드 수 = k + k + 1 = 2k +
이것이 아이들의 하위 트리가 각각 최대 2n / 3 크기를 갖는다 고 말하는 이유입니다.