여러 큐 비트 상태를 간결하게 나타내는 방법은 무엇입니까?

양자 컴퓨팅이 가능한 양자 장치에 대한 액세스는 여전히 극히 제한적이기 때문에 , 고전적인 컴퓨터에서 양자 계산 을 시뮬레이션 하는 것이 중요 합니다 . 벡터로서 $n$ 큐 비트 의 상태를 나타내는 것은 $2^n$ 요소를 취하는데 , 이는 그러한 시뮬레이션에서 고려할 수있는 큐 비트의 수를 크게 제한한다.

단순한 벡터 표현보다 적은 메모리 및 / 또는 계산 능력을 사용한다는 점에서 더 컴팩트 한 표현 ¹ 을 사용할 수 있습니까 ? 어떻게 작동합니까?

구현하기 쉽지만, 벡터 표현이 희소성 및 / 또는 중복성을 나타내는 상태에서는 벡터 표현이 낭비되는 것이 분명합니다. 구체적인 예를 들어 3 큐 비트 상태 ( 1 / √)를 고려하십시오.$(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$. 이 갖는$2^3$요소이지만 만 가정$3$요소의 대부분이 존재하여, 가능한 값을$0$. 물론, 양자 계산을 시뮬레이션하는 데 유용하려면 큐 비트에서 게이트와 게이트의 동작을 나타내는 방법을 고려해야하며, 이것에 대한 무언가를 포함시키는 것도 환영 할 만하지 만 큐빗에 대해서도들을 수 있으면 좋을 것입니다.

_{1. 본인은 그러한 표현을 활용 / 발표 할 수있는 소프트웨어, 라이브러리 또는 기사가 아닌 표현에 대해 묻고 있습니다. 당신이 표현을 제시하고 설명한다면 당신은 그것이 이미 사용 된 곳을 언급하는 것을 환영합니다.}

상태를 간결하게 표현하는 방법에는 여러 가지가 있으며 그 유용성은 상황에 따라 크게 좌우됩니다.

우선, 어떤 상태라도 동일한 상태를보다 효율적으로 표현할 수있는 절차를 가질 수 없다는 점에 주목하는 것이 중요합니다. 문자열에 의존하지 않는 매핑을 사용하여 1 비트 문자열로 표시합니다).

그러나 몇 가지 가정을 시작하자마자 주어진 컨텍스트에서 상태를 나타내는보다 효율적인 방법을 찾을 수 있습니다. 이 작업을 수행하는 방법에는 여러 가지가 있으므로 생각 나는 몇 가지를 언급하겠습니다.

1. 이미 케트 상태의 표준 벡터 표현은 상태가 순수 하다는 가정하에 작동하는 "압축 표현"으로 생각할 수 있습니다 . 사실, 당신이 필요로 실제 (일반적으로 혼합) 임의 표현하는 자유도 n은 -qubit 상태를, 만 2 N + 1 - 2 순수를 나타냅니다.$4^n-1$$n$$2^{n+1}-2$

2. 상태 가 거의 순수 하다고 가정하면 , 즉 ρ 가 일부 표현에서 희박한 경우 (즉, ρ 가 낮은 순위) 다시 상태를 효율적으로 특성화 할 수 있습니다. A에 대한 D (그래서 차원 시스템 D = 2 N 대한 N 개의 -qubit 계) 대신 ~ 사용하는 D 2 개 파라미터 만 사용 충실한 표현을 가질 수 O ( R d는 로그 2 D를 ) 여기서, R은 희소성 인 국가의 ( 0909.3304 참조)$\rho$$\rho$$\rho$$d$$d=2^n$$n$$d^2$$\mathcal O(r d \log^2 d)$$r$ 그리고 그 이후의 작품).

3. 제한된 수에만 관심이있는 경우 기대 값의 경우, 크기가 O ( n log ( n ) log ( | S | ) ) 인 n- qubit 상태의 압축 표현을 찾을 수 있습니다 . 이것은 지수 감소에 해당 합니다. 이것은 quant-ph / 0402095 에서 (내 생각에) 보여 졌지만 , 1801.05721 에 제공된 소개 는 물리학자가 더 접근하기 쉬울 수 있습니다 (최적화 방법의 개선 사항 제시). 여러 유사한 결과에 대해서는이 마지막 논문의 참고 문헌을 참조하십시오.$|S|$$n$$\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$

4. 상태의 얽힘이 제한적이라는 것을 알고 있다면 (정확하게 정의 할 수있는 의미에서) 텐서 네트워크 (도입은 예를 들어 1708.00006 ) 와 관련하여 다시 효율적인 표현을 찾을 수 있습니다 . 더 최근에는 기계 학습에서 영감을 얻은 ansatze ( 1606.02318 및 많은 후속 작업)를 사용하여 일부 유명한 Hamiltonian 의지 면 상태를 나타낼 수 있음이 밝혀졌습니다 . ( 1710.04045 ) 따라서 자체 카테고리로 이동해야하는지 잘 모르겠습니다.

위의 모든 상황에서 주어진 상태를보다 효율적으로 나타낼 수 있지만 시스템 의 진화 를 시뮬레이션 하려면 일반적으로 원래 비효율적 인 표현으로 돌아 가야합니다. 주어진 진화를 통해 상태 의 역학 을 효율적으로 표현하려면 이것이 가능할 수 있도록 진화에 대한 가정이 다시 필요합니다. 이와 관련하여 염두에 두어야 할 유일한 결과는 클래식 ( "비 양자"가 아니라 설립 된 것처럼) Gottesman-Knill 정리 이며, Clifford 양자 회로를 효율적으로 시뮬레이션 할 수 있습니다.

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$희소성을 사용하는 것이 여기에 좋은 접근 방법인지 잘 모르겠습니다. 단일 큐빗 게이트조차도 희소 상태를 조밀 한 상태로 쉽게 바꿀 수 있습니다.

그러나 Clifford 게이트 만 사용하는 경우 스태빌라이저 형식을 사용할 수 있습니다 . 여기서 짧은 요점이다 ( 표기법 ) :
단일 큐빗 파울리 그룹 인 , 파울리 행렬의 모든 가능한 제품 (예를 포함한 I ). 여러 큐 비트의 Pauli 그룹은 G 1 의 텐서 곱 공간 , G n = G ⊗ n 1 입니다. 상태 안정제 | ψ ⟩ 안정화 모든 사업자의 파울리 그룹의 하위 그룹입니다$G_1=\langle X, Y, Z\rangle$$\mathbb{I}$$G_1$$G_n=G_1^{\otimes n}$$\ket{\psi}$ , 어떤 수단 의 | ψ ⟩ = | ψ ⟩ . 이것은 특정 (그러나 중요한) 상태에서만 작동한다는 점에 유의해야합니다. 아래에 예를 들어 보겠습니다. Pauli 그룹의 요소에 대한 제한은 필요하지 않지만 일반적입니다. 스태빌라이저는 연산자 s 1 , s 2 , ... s n에 의해 생성됩니다. 스태빌라이저는 상태를 고유하게 정의하고 효율적인 설명입니다. 2 n - 1 복소수대신 4 n 2 비트 ( G $\ket{\psi}$$s \ket{\psi} = \ket{\psi}$$s_1$$s_2$$s_n$$2^n-1$$4n^2$$G_1$16 개의 요소가 있습니다). 게이트 적용 하면 안정기 생성기는 s i → U † s i U 에 따라 업데이트됩니다 . Pauli 운영자를 Pauli 운영자로 맵핑하는 게이트를 Clifford 게이트라고합니다. 이것들은 우리의 상태에 대한 우리의 설명을 "지워지지"않는 문입니다.$U$$s_i \to U^\dagger s_i U$

그래프 상태는 위에서 설명한 안정기 형식에 중요한 예입니다. 개의 꼭짓점 V 와 모서리 E ⊂ V × V 로 구성된 (방향이 지정되지 않은) 수학적 그래프를 고려하십시오 . 각 정점은 하나의 큐 비트에 해당합니다. 그래프를 G = ( V , E )로 나타내겠습니다 . 상태에서 그래프 상태가 생성됩니다 | + ⟩ ⊗ n , 여기서 | + ⟩ = $n$$V$$E\subset V\times V$$G=(V,E)$$\ket{+}^{\otimes n}$$\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$$C_Z$

$\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$$\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$. Now apply the $C_Z$ gate to obtain $\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$. (The state is $\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$, which is local unitary equivalent to a Bell state)

The stabilizer formalism also plays an important role in quantum error correction.

Can one use a representation that is more compact, in the sense that it uses less memory and/or computational power than the simple vector representation? How does it work?

Source: "Multiple Qubits":

"A single qubit can be trivially modeled, simulating a fifty-qubit quantum computation would arguably push the limits of existing supercomputers. Increasing the size of the computation by only one additional qubit doubles the memory required to store the state and roughly doubles the computational time. This rapid doubling of computational power is why a quantum computer with a relatively small number of qubits can far surpass the most powerful supercomputers of today, tomorrow and beyond for some computational tasks.".

So you can't utilize a Ponzi scheme or rob Peter to pay Paul. Compression will save memory at the cost of computational complexity, or representation in a more flexible space (larger) would reduce computational complexity but at a cost of memory. Essentially what is needed is more capable hardware or smarter algorithms.

Here are some methods:

• Compression of the volume of sets of quantum states of the Qubit's metric:

The Fisher information metric can be used to map the volume of the qubit using an information geometry approach as discussed in "The Volume of Two-Qubit States by Information Geometry", "Analysis of Fisher Information and the Cramer-Rao Bound for Nonlinear Parameter Estimation After Compressed Sensing", and our "Intuitive explanation of Fisher Information and Cramer-Rao bound".

• Analogous to operand compression:

Computing depth-optimal decompositions of logical operations: "A meet-in-the-middle algorithm for fast synthesis of depth-optimal quantum circuits" or this Quora discussion on "Encoding the dimension of the particle".

• Analogous to memory compression:

Qutrit factorization using ternary arithmetic: "Factoring with Qutrits: Shor's Algorithm on Ternary and Metaplectic Quantum Architectures" and "Quantum Ternary Circuit Synthesis Using Projection Operations".

• Analogous to traditional optimization

"A Quantum Algorithm for Finding Minimum Exclusive-Or Expressions".

• Other:

Krull Dimensions or axiomatisation and graph rewriting: "Completeness of the ZX-calculus for Pure Qubit Clifford+T Quantum Mechanics".

By combining those techniques you ought to be able to squeeze the foot into the shoe. That would permit emulation of larger systems on conventional processors, just don't ask me to explain doctoral level work or write the code. :)