한 큐 비트 측정은 다른 큐 비트에 어떤 영향을 줍니까?

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양자 컴퓨터의 상태를 나타 내기 위해 모든 큐 비트는 하나의 상태 벡터에 기여합니다 (이것은 내가 이해하는 것처럼 양자와 고전 컴퓨팅의 주요 차이점 중 하나입니다). 내 이해는 여러 큐 비트 시스템에서 단 하나의 큐 비트 만 측정 할 수 있다는 것입니다. 1 큐 비트를 측정하면 전체 시스템에 어떤 영향을 미치나요 (특히 상태 벡터에 어떤 영향을 미칩니 까)?

quantum-state measurement

— 헤더
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큐 비트를 보는 방법에는 여러 가지가 있으며 상태 벡터 형식은 그 중 하나 일뿐입니다. 일반적인 선형 대수적 의미에서 측정은 기준 투영입니다. 여기에서는 Pauli가 관찰 할 수있는 관점에서 일반적인 예인 QC 회로 모델에 대한 예를 제공합니다.

첫째, 상태 벡터가 제공되는 기준에 관심이 있습니다. 모든 측정 연산자에는 고유 상태 세트가 있으며 사용자가 보는 모든 측정 값 (예 : $X,Y,Z, XX, XZ$ 등)이 있습니다. 상태 벡터를 작성하는 데 가장 적합한 기초를 결정하십시오. 질문에 대답하는 가장 쉬운 방법은 관심있는 기초가 무엇 인지 , 더 중요 하게는 방금 수행 한 측정으로 통근하는지 여부 를 아는 것입니다 .

간단하게하기 위해 두 큐 비트에 대해 $Z$ 기준으로 작성된 임의의 상태에서 두 개의 연결된 큐 비트로 시작한다고 가정 해 보겠습니다 .

| ψ ⟩ = a | 0_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + b | 0_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩ + c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩

$| \psi \rangle = a | 0_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle +b | 0_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle + c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle$

사용자가 만들 수있는 가장 간단한 측정 될 은 IS, 이어 최초의 큐 비트 연산자, 는 제 큐빗에 오퍼레이터. 측정은 무엇을합니까? 그것은 국가를 고유 국가 중 하나로 투영합니다. 방금 측정 한 것과 일치하지 않는 가능한 모든 답변을 제거하는 것으로 생각할 수 있습니다. 예를 들어 을 측정 하고 결과 얻는다면 결과 상태는 다음과 같습니다. $Z_{1}$ $Z$ $Z_{2}$ $Z$ $Z_{1}$ $1$

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{| c |^{2} + | d |^{2}}} (c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩)

$| \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{|c|^{2} +|d|^{2}}} \left(c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle \right)$

앞에 계수는 재 정규화를위한 것입니다. 을 측정 할 확률 은 $Z_{2}=0$ . 이것은 초기 상태에 있었던 확률과 다릅니다.. $\frac{1}{|c|^{2} +|d|^{2}} |c^{2}|$ $|a|^{2}+|c|^{2}$

그러나 다음 측정이 이전 측정과 통근하지 않는다고 가정하십시오. 확률을 이해하려면 상태 벡터를 기반으로 변경을 구현해야하기 때문에 까다로울 수 있습니다. 그러나 Pauli 측정을 사용하면 고유 염기가 좋은 방식으로 관련되기 때문에 쉬운 경향이 있습니다.

| 0_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ + | 1_{X} ⟩)

$| 0_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle + |1_{X} \rangle )$

| 1_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ - | 1_{X} ⟩)

$| 1_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle - |1_{X} \rangle )$

이해를 확인하는 좋은 방법 : 위 의 측정 후 을 측정 할 확률은 얼마입니까? 측정을 하지 않은 경우의 확률은 얼마입니까? 그렇다면 더 복잡한 질문은 한 번에 두 큐 비트에 작용하는 제품 연산자를 보는 것입니다. 예를 들어 측정 이 초기 상태에 어떤 영향을 줍니까? 여기서 는 두 연산자의 곱을 측정합니다. $X= +1$ $Z_{1}=1$ $Z_{1}$ $Z_{1}Z_{2}=+1$ $Z_{1}Z_{2}$

— 에밀리 타이 허스트
소스

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좋고 간단한 대답. 설명하는 것은 a) 투영 측정을 수행하고 b) 측정 결과 를 알고 있는 경우에만 해당됩니다 . 일반적으로 측정 후 상태를 설명하려면 혼합 상태가 필요합니다.

— M. Stern

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그 가정, 측정 전에, 당신의 -qubit 시스템이 어떤 상태에 , 여기서 단일 큐 비트의 힐베르트 공간이다. 쓰기 어떤 계수들에 대한 되도록 $n$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal H_2^{\otimes n}$ $\mathcal H_2 \cong \mathbb C^2$

| ψ ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{n}} u_{x} | x ⟩

$\lvert \psi \rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^n} u_x \lvert x \rangle$

u_{x} \in C

$u_x \in \mathbb C$

.

\sum_{x} | u_{x} |^{2} = 1

$\sum_x \lvert u_x \rvert^2 = 1$

표준으로 첫 번째 큐 비트를 측정하는 경우 그리고
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{0 x^{'}} | 0 ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{1 x^{'}} | 1 ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{0x'} \,\lvert0\rangle \lvert x' \rangle, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{1x'} \,\lvert1\rangle \lvert x' \rangle,\end{aligned}$ $\lvert \psi_0 \rangle = \lvert \varphi_0 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_0 \vert \varphi_0 \rangle}\,$ 과 $\,\lvert \psi_1 \rangle = \lvert \varphi_1 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_1 \vert \varphi_1 \rangle}\,$ . 첫 번째 큐빗을 측정하고 상태 , 전체 시스템의 상태에 "붕괴" , 당신이 얻을 경우 당신이 얻을 무엇 . $\lvert 0 \rangle$ $\lvert \psi_0 \rangle$ $\lvert 1 \rangle$ $\lvert \psi_1 \rangle$
이 조건부 확률 분포의 개념을 광범위하게 유사하다 : 당신이 생각할 수 시스템 상태는 첫 번째 큐 비트에서 조절 된 및 시스템의 상태는 첫 번째 큐 비트에서 조절 된 (물론 제외하고는 이야기는 조금 더 최초의 큐 비트가 "몰래"상태 중 하나에 있지 않은 사실의 계정에 복잡한 것을 또는 ). $\lvert \psi_0 \rangle$ $\lvert 0 \rangle$ $\lvert \psi_1 \rangle$ $\lvert 1 \rangle$ $0$ $1$
위의 내용은 첫 번째 큐 비트 측정에 크게 의존하지 않습니다. 및 비트 스트링에서의 특정 비트의 고정 점에서 하나에 또는 , 위에 선택 하나와 일치하는 구성 요소 만 합산 또는 위로서, 진행한다. $\lvert \varphi_0 \rangle$ $\lvert \varphi_1 \rangle$ $x$ $0$ $1$ $0$ $1$
Emily가 지적한 것처럼 위의 내용은 표준 기준으로 측정하는 데 크게 의존하지 않습니다. 우리가 기준으로 첫 번째 큐빗 측정을 고려하고 싶다면 , 어디 및 우리는 $\lvert \alpha \rangle, \lvert \beta \rangle$ $\lvert \alpha \rangle = \alpha_0 \lvert 0 \rangle + \alpha_1 \lvert 1 \rangle$ $\lvert \beta \rangle = \beta_0 \lvert 0 \rangle + \beta_1 \lvert 1 \rangle$ 다음, 상기와 같이 진행.
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = (| α ⟩ ⟨ α | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (α_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + α_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | α ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = (| β ⟩ ⟨ β | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (β_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + β_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | β ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \Bigl(\lvert \alpha \rangle\!\langle \alpha \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\alpha_0^\ast u_{0x'} + \alpha_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\alpha\rangle \lvert x' \rangle\,, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \Bigl(\lvert \beta\rangle\!\langle \beta \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\beta_0^\ast u_{0x'} + \beta_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\beta\rangle \lvert x' \rangle\,, \end{aligned}$

— 닐 드 보드 랩
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다른 답변보다 공식적으로 언급되지는 않았지만 초보자에게는 이 비디오 에서 Vazirani 교수가 설명한 직관적 인 방법 이 좋습니다.

일반적인 2 qbit 상태가 있다고 가정하십시오.

$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{00} \\ \alpha_{01} \\ \alpha_{10} \\ \alpha_{11} \end{bmatrix} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

이제 (같이 하나에 축소 당신이 계산 기준에서 가장 중요한 (왼쪽) qbit을 측정한다고 가정 또는 ). 다음과 같은 두 가지 질문이 있습니다. $|0\rangle$ $|1\rangle$

측정 된 qbit가 붕괴 될 확률은 얼마입니까 ? 어때요 ? $|0\rangle$ $|1\rangle$
측정 후 2-qbit 시스템의 상태는 어떻습니까?

첫 번째 질문의 직관적 인 대답은 다음과 같습니다. 붕괴 확률을 찾으려는 값과 관련된 모든 진폭의 제곱의 합을 취하십시오. 따라서 측정 된 qbit 붕괴 가능성을 알고 싶다면 케이스와 관련된 진폭을 볼 수 있습니다. 및 , 사람들은 측정 qbit 인 경우이기 때문에 . 그러므로: $|0\rangle$ $|00\rangle$ $|01\rangle$ $|0\rangle$

$P[|0\rangle] = |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2$

마찬가지로 케이스와 관련된 진폭을 본다 및 , 그래서 : $|1\rangle$ $|10\rangle$ $|11\rangle$

$P[|1\rangle] = |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2$

측정 후 2-qbit 시스템의 상태는 사용자가 얻은 대답과 일치하지 않는 중첩의 모든 구성 요소를 제거하는 것입니다. 따라서 측정 한 경우 후, 측정 후의 상태이다 : $|0\rangle$

$\require{cancel} |\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \cancel{\alpha_{10}|10\rangle} + \cancel{\alpha_{11}|11\rangle} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle$

그러나이 상태는 정규화되지 않습니다. 제곱의 합은 1이되지 않으므로 정규화해야합니다.

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}$

$|1\rangle$

$\require{cancel} |\psi\rangle = \cancel{\alpha_{00}|00\rangle} + \cancel{\alpha_{01}|01\rangle} + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle = \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

정규화 :

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle}{\sqrt{|\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2}}$

가장 간단한 경우에, 다중 qbit 상태에서 하나의 qbit를 측정하는 동작을 계산하는 방법입니다!

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