범용 양자 게이트 세트 (CNOT, H, Z, X 및 π / 8)의 "유니버시티"에 대한 수학적 근거는 무엇입니까?

이 답변에서 CNOT, H, X, Z 및 게이트는 보편적 인 게이트 세트를 형성 한다고 언급했습니다 . 이 게이트는 충분한 수의 게이트가 임의의 단일 양자 게이트를 복제하는 것에 임의로 접근 할 수 있습니다. Umesh Vazirani 교수의 EdX 강의에서 얻은 사실). 그러나 이것에 대한 수학적 정당성이 있습니까? 있어야합니다! 관련 논문을 검색하려고했지만 찾을 수 없었습니다.$\pi/8$

언급 한 답변은 Michael Nielsen과 Isaac Chuang의 책 Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press)을 참조하며,이 게이트의 보편성에 대한 증거가 포함되어 있습니다. (2000 년 판에서 이것은 194 페이지에서 찾을 수 있습니다.) 핵심 통찰력은 게이트 (또는 게이트)가 게이트 와 함께 블로 치 구체에서 각도가 다른 두 개의 다른 회전을 생성한다는 것입니다. 있는 비이성적 의 배수 . 이것은 및 게이트의 조합이 블로흐 구체의 표면을 조밀하게 채울 수있게하여 1 큐빗 단위 연산자와 근사하게한다.$T$$\pi/8$$H$$2\pi$$T$$H$

이것이 효율적 으로 이루어질 수 있다는 것은 Solovay-Kitaev 정리에 의해 보여 집니다 . 여기서 "효율적으로"는 다항식을 의미 합니다. 여기서 은 원하는 정확도입니다. 이것은 Nielsen과 Chuang의 저서 (2000 년판 부록 3)에서도 입증되었습니다. 명시 적 구성은 https://arxiv.org/abs/quant-ph/0505030 에서 찾을 수 있습니다 .$\log(1/\epsilon)$$\epsilon$

CNOT 게이트를 결합하면 Barenco et al.에서 알 수 있듯이 임의의 멀티 큐빗 단위를 추정 할 수 있습니다 . 물리학. 개정 A 52 3457 (1995). (이 백서의 양식은 https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016 에서 확인할 수 있습니다 .)이 내용은 Nielsen과 Chuang (2000 년 판 191 페이지)에서도 설명합니다.

와 도 필요하지 않습니다 . , 및 이면 충분합니다.$Z$$X$
$\rm{CNOT}$$H$$T=\pi/8$

1) 와 는 한 큐 비트에서 가능한 단일 변환을 만들기에 충분합니다. 2) 추가하면 게이트 만 사용하여 오류 내로 일반 단일 변환을 합성 할 수 있습니다 .$H$$T$
$\rm{CNOT}$$\epsilon>0$$\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

오류에 대한 싶다면 할 수 당신은 위상 게이트를 추가 할 경우에만 기꺼이 , 여전히 가능하다 , 만약 당신이 만들려는 단일의 요소 양식의 경우에만 : 여기서 모든 변수는 정수입니다. 놀랍게도,이 정확한 합성을 위해서는 최대 1 개의 보조 큐 비트가 필요합니다.$\epsilon=0$$\pi/2$$\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$

또 다른 범용 게이트 세트는 이며 실제로는 단일 큐가 3 쿼 비트 도이치 게이트 입니다.D ( θ $\{{\rm{CCNOT}},H\}$ ${D(\theta)}$