단일

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일부 범용 게이트 세트 (예 : CNOT- 게이트 및 단일 큐 비트 단일)를 사용하여 단일 의 회로 분해가 있다고 가정 합니다. 제어 대응하는 단일의 회로 적어 직접적인 방법이 같은 범용 게이트 세트를 사용는? $U$ $C_U$

예를 들어 회로로 를 사용하십시오. $U=i Y = H X H X$

게이트를 (CNOT) 게이트로 대체하여 를 얻을 수 있습니다 . $X$ $C_X$ $C_U$

이것은 제어 큐 비트가 상태 대상의 행동은 에 대한 동안 그것을위한 회로 적용 . 다른 경우, 특히 여러 큐 비트에서 작동하는 경우 이러한 회로를 찾는 것이 번거로울 수 있습니다. 의 회로 얻을 수있는 조리법 거기에 빌드하는 방법을 알고 주어진 ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— 스턴
소스

임의의 1 큐 비트 U로 CU를 빌드하는 방법을 묻고 있습니까? 이를 수행하는 방법은 N & C 4 장 (예 : 마지막 판의 그림 4.6 참조)에서 찾을 수 있으며, 이는 기본적으로 보여준 분해의 일반화입니다.

— glS

@glS oh wow, 나는 그것을 몰랐다. 내 예처럼 보입니다. 위상

어떻게 구현하는지보기에 좋습니다 . 그러나 그들은 더 많은 목표 큐 비트에 대한 일반화를 논의하지 않는 것 같습니까?

α

$\alpha$

— M. Stern

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문제는 전적으로 방법을 요청한다는 의미에서, 잘 정의되지 않을 수에 계산 의 분해에서 당신이 사용하고자하는 게이트의 집합을 지정해야합니다. 사실, 어떤 것으로 알려진 결과 -qubit 게이트 정확하게 사용하여 분해 될 수 단지 분해 : 질문에 순진 대답이 될 것이다 그래서, 단일 큐 비트 작업을 단일 큐 비트와 사용 들. $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

제공 : 질문의 다른 해석은 다음과 같다 , 수 I 컴퓨팅 단일 큐 비트 조작 세트를 사용 의 하지 제어 큐 비트에 , 그리고 최초의 큐 비트 인 컨트롤과의? 이는 Nielsen & Chuang의 4 장에서 찾은 결과를 일반화 할 수 있습니다 . $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

를 단일 큐 비트 게이트라고 합시다 . 그러면 가 항상 로 쓰여질 수 있음을 증명할 수 있습니다 . 여기서 는 Pauli X 게이트이고 및 는 ( 증거는 N & C를 참조하십시오). 팔로우 그 $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ 여기서, 게이트가 제 큐빗인가 단계, 및 이다 두 번째 큐빗에 적용됩니다. 첫 번째 큐빗이 후

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ 는 신원이되고, 두 번째 큐빗 에서는 신분을 제공하는

오퍼레이션이 있습니다 . 반면에 첫 번째 큐빗이

부터, 제 2 레일 당신은

(서로 위상과 같음),

정의는.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

위의 분해는 일반적인 qubit 단일 게이트에 대한 를 계산하는 순진한 방법을 찾는 데 사용될 수 있습니다 . 주요 관찰하는 경우이며 게이트 중 어느 세트 , $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$ 그러나 우리는 또한 모든 것을 알고 -qubit CNOTs의 조건과 단일 큐 비트 작업에서 분해 될 수있다. 그것은 그 다음 CCNOT과의 서열이다 CCNOT가 여기 작업 게이트는 두 큐빗 것에 에어컨 일부 큐빗인가가 및 어떤 큐 비트에 단일 큐 비트 동작이다. 그러나 다시 한 번 CCNOT 작업 (Toffoli라고도 함)은 N & C의 그림 4.9와 표시된대로 분해 될 수 있습니다.

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ 답의 첫 부분에 표시된 것처럼 분해됩니다.

이 방법은 및 단일 큐 비트 게이트 만을 사용하여 일반적인 큐빗 단일 게이트 를 분해 할 수있게한다 . 그런 다음 여러 제어 큐 비트의 경우 분해를 찾기 위해 더 나아가서 일반화 할 수 있습니다. 이를 위해 이제 Toffoli 게이트를 분해하는 방법 만 필요합니다. 이는 N & C의 그림 4.9에서 다시 볼 수 있습니다. $n$ $U$ $\text{CNOT}$

— glS
소스

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

5

이것이 귀하의 질문에 완전히 대답하지는 못할 수도 있지만, 생각의 방향을 제시 할 수 있다고 생각합니다. 다음은 두 가지 중요한 사실입니다.

$2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
$U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

$n\times n$

1 양자 계산을위한 기본 게이트 -A. Barenco (옥스포드), CH 베넷 (IBM), R. Cleve (캘거리), DP DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT & T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA ), H. Weinfurter (Innsbruck)

제어 된 단일 게이트의 2 가지 최적 구현-Guang Song, Andreas Klappenecker (Texas A & M University)

— 산차 얀 두타
소스