모든 양자 게이트가 단일이어야한다면 측정은 어떻습니까?

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가역성을 허용하려면 모든 양자 연산이 단일이어야하지만 측정은 어떻습니까? 측정은 행렬로 표현 될 수 있으며,이 행렬은 큐 비트에 적용되므로 양자 게이트의 작동과 같습니다. 그것은 확실히 뒤집을 수 없습니다. 비단 일 게이트가 허용되는 상황이 있습니까?

— 헤더
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단일 연산은 퀀텀 연산 의 특별한 경우 일 뿐이며 밀도 연산자를 밀도 연산자에 매핑하는 선형 완전 포지티브 맵 ( "채널")입니다. 이는 채널의 크라우스 표현에서 여기서 소위 크라우스 연산자 는 ( 표기법 ). 종종 이전의 불평등의 평등이 유지되는 추적 보존 양자 연산 만 고려합니다. 추가로 Kraus 연산자가 하나만 있으면 (그래서 ) 양자 연산이 단일임을 알 수 있습니다.

Φ (ρ) = \sum_{i = 1}^{n} K_{i} ρ K_{i}^{†},

$\Phi(\rho)=\sum_{i=1}^n K_i \rho K_i^\dagger,$

K_{i}

$K_i$

\sum_{i = 1}^{n} K_{i}^{†} K_{i} \leq I

$\sum_{i=1}^n K_i^\dagger K_i\leq \mathbb{I}$

n = 1

$n=1$

그러나 양자 게이트 는 특정 시간 동안 해밀턴 (Hamiltonian)의 작용을 통해 구현되므로 슈뢰딩거 방정식에 따라 단일 시간 진화를 제공하기 때문에 단일 게이트 입니다.

— 스턴
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+1 양자 정보 (양자 정보가 아닌)에 관심이있는 모든 사람은 닐슨과 추앙의 양자 운영에 대해 알아야합니다. 나는 모든 유한 차원 양자 연산이 더 큰 힐버트 공간에서의 일부 단일 연산과 수학적으로 동등하고 하위 시스템에 대한 제한 (부분 추적에 의해)이라는 것을 언급 할 가치가 있다고 생각합니다 (Stinespring 확장의 Wikipedia 페이지는 너무 기술적이기 때문에) .

— Ninnat Dangniam

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짧은 답변

양자 작업 이 단일 일 필요 는 없습니다 . 실제로, 많은 양자 알고리즘 및 프로토콜은 비 일치 성을 사용합니다.

긴 답변

측정은 알고리즘의 기본 구성 요소 인 비단 일 전이의 가장 명백한 예일 것입니다 ( "측정"은 분리 연산 후 얻은 확률 분포의 샘플링과 동등하다는 의미에서 ). $\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

보다 일반적으로, 확률 적 단계를 포함하는 모든 양자 알고리즘은 비단 일 연산을 요구한다. 염두에 두어야 할 대표적인 예는 선형 방정식 시스템을 해결하기위한 HHL09의 알고리즘입니다 ( 0811.3171 참조 ). 이 알고리즘의 중요한 단계는 매핑 . 여기서 은 일부 연산자의 고유 벡터입니다. 이 매핑은 반드시 확률 적이며 따라서 단일 적이 지 않습니다. $|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$ $|\lambda_j\rangle$

(클래식) 피드 포워드를 사용하는 모든 알고리즘 또는 프로토콜도 단일 작업을 사용하지 않습니다. 이것은 단방향 양자 계산 프로토콜 의 전체입니다 (이름에서 알 수 있듯이 되돌릴 수없는 연산이 필요합니다).

단일 광자를 갖는 광학 양자 계산을위한 가장 주목할만한 방식은 또한 다른 광자의 상태를 뒤섞기 위해 측정 및 때때로 선택 후 선택을 요구한다. 예를 들어, KLM 프로토콜 은 확률 적 게이트를 생성하므로 적어도 부분적으로 비가 역적입니다. 주제에 대한 좋은 리뷰는 quant-ph / 0512071 입니다.

소멸 유도 된 양자 상태 엔지니어링 (예를 들어, 1402.0529 또는 srep10656 )에 의해 덜 직관적 인 예가 제공된다 . 이러한 프로토콜에서, 개방형 맵 소산 동역학을 사용하고, 시스템의 장기간 정지 상태가 원하는 방식으로 환경과 환경의 상호 작용을 엔지니어링합니다.

— glS
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양자 컴퓨팅에서 물리학으로 주제를 벗어나게 될 위험에 대해, 나는이 주제의 관련 하위 질문이라고 생각하는 것에 대답하고이를 양자 컴퓨팅의 단일 게이트에 대한 토론에 알릴 것입니다.

여기서 질문은 : 양자 게이트에서 왜 단일성을 원하는가?

덜 구체적인 대답은 위와 같으며 우리에게 '가역성'을 제공하거나 물리학자가 종종 그것에 대해 시스템의 대칭 유형에 대해 이야기합니다. 지금은 양자 역학에서 수강하고있어, 및 단일 게이트 그 과정에서 자른 방법은 물리적 변환해야하는 욕망에 의해 동기가되었다 : 대칭으로하는 행위. 이것은 변환에 두 가지 조건을 부과했습니다 . $\hat{U}$ $\hat{U}$

변환은 상태에 대해 선형으로 작동해야합니다 (이것은 매트릭스 표현을 제공합니다).
변환은 확률 또는보다 구체적으로 내부 곱을 유지해야합니다 . 이것은 우리가 정의하면 :

| ψ^{'} ⟩ = U | ψ ⟩, | ϕ^{'} ⟩ = U | ϕ ⟩

$|\psi '\rangle = U |\psi\rangle, |\phi'\rangle = U |\phi\rangle$

내부 제품의 보존은 . (자세한 내용은 박사 반 Raamsdonk의 정보를 참조하기위한 두 번째 규격에서 unitarity을 유도 할 수있다 여기에 ). $\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$

이것은 왜 가역성을 유지하는 작업이 단일해야하는지에 대한 질문에 대한 답입니다.

측정 자체가 왜 단일이 아닌지에 대한 질문은 양자 계산과 관련이 있습니다. 측정은 기본적으로 투영입니다. 본질적으로 하나 이상의 기본 상태를 상태 자체로 "답변"해야합니다. 또한 측정에 대한 "답변"과 일치하는 방식으로 상태를 유지하며 상태가 시작한 기본 확률과 일치 하지 않습니다 . 따라서 연산은 변환 의 사양 1을 충족하지만 사양 2를 만족 시키지는 않습니다. 모든 행렬이 동일하게 생성되는 것은 아닙니다! $U$

양자 계산으로 다시 반올림하기 위해, 측정은 파괴적이고 투영 적이라는 사실 (즉, 동일한 상태의 반복 측정을 통해서만 중첩을 재구성 할 수 있으며 모든 측정은 우리에게 0/1 답변 만 제공합니다)은 양자 컴퓨팅과 정기 컴퓨팅 미묘한 차이 (그리고 그것을 고정시키기 어려운 이유의 일부). 힐버트 공간의 크기만으로 양자 컴퓨팅이 더 강력하다고 가정 할 수있을 것입니다. 그러나 해당 정보를 추출 할 수있는 능력은 매우 제한적입니다.

내가 이해하는 한 이것은 정보 저장 목적으로 큐 비트가 일반 비트만큼 좋으며 더 나쁘지 않다는 것을 보여줍니다. 그러나 우리는 기본 선형 대수 구조 때문에 정보가 교환되는 방식으로 양자 계산에 영리 할 수 있습니다.

— 에밀리 타이 허스트
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1

마지막 단락은 조금 비밀 스럽습니다. 여기서 "미끄러운"분리 란 무엇입니까? 측정이 파괴적이라는 사실이 그러한 분리에 대해 어떤 의미를 갖는지 또한 분명하지 않습니다. 이 요점을 명확하게 설명해 주시겠습니까?

— glS

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@glS, 좋은 지적, 그것은 잘못 표현되었습니다. 도움이 되나요? 필자는 특히 힐버트 공간 크기만으로는 양자 계산을 강력하게 만드는

— 우선 순위

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여기에는 몇 가지 오해가 있습니다. 대부분 은 양자 역학 의 순수한 국가 형식에 대한 노출에서 비롯된 것이므로 하나씩 해결해 보겠습니다.

가역성을 허용하려면 모든 양자 연산이 단일이어야하지만 측정은 어떻습니까?

이것은 거짓입니다. 일반적으로 양자 시스템의 상태는 힐버트 공간 벡터 일뿐만 아니라 밀도 행렬 힐버트 공간 에 작용하는 단위 추적, 양의 반정 수 연산자 , 즉 , 및 (순수한 상태 벡터는 힐버트 공간의 벡터가 아니라 복잡한 투영 공간의 광선입니다 . 이것은 힐버트 공간이 아닌 됩니다. 밀도 매트릭스는 양자 상태의 통계적 앙상블을 설명하는 데 사용됩니다. $\mathcal{H}$ $-$ $\mathcal{H}$ $\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ $Tr(\rho) = 1$ $\rho \geq 0$ $\mathbb{C}P^1$ $\mathbb{C}^2$

밀도 행렬은 경우 순수 라고 하고 경우 혼합 이라고 합니다. 이므로 순수한 상태 밀도 매트릭스를 처리하면 (즉, 통계적 불확실성이 없습니다) 밀도 매트릭스는 실제로 투영 연산자 이며 와 같은. $\rho^2 = \rho$ $\rho^2 < \rho$ $\rho^2 = \rho$ $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ $\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

가장 일반적인 양자 동작 즉, CP-MAP (완전히 긍정적 맵)이며, 되도록 ( 인 경우 CPTP (완전히 양수 및 추적 보존 ) 맵 또는 양자 채널 )이라고합니다. 를 크라우스 연산자 라고 합니다. $\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$

Φ (ρ) = \sum_{i} K_{i} ρ K_{i}^{†}; \sum_{i} K_{i}^{†} K_{i} \leq I

$\Phi(\rho) = \sum_i K_i \rho K_i^\dagger; \sum_i K_i^\dagger K_i \leq \mathbb{I}$

\sum_{i} K_{i}^{†} K_{i} = I

$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$

{K_{i}}

$\{K_i\}$

이제 모든 양자 작업이 가역성을 허용하기 위해 단일하다는 OP의 주장에 이르렀습니다. 이것은 사실이 아닙니다. 양자 역학 (폐쇄 시스템 양자 진화의 경우) 에서 시간 진화 연산자 ( ) 의 단일성 은 단순히 슈뢰딩거 방정식의 결과입니다. $e^{-iHt/\hbar}$

그러나 밀도 행렬을 고려할 때 가장 일반적인 발전은 CP 맵 (또는 추적을 유지하기 위해 폐쇄 시스템의 CPTP 및 확률)입니다.

비단 일 게이트가 허용되는 상황이 있습니까?

예. 기억해야 할 중요한 예는 크라우스 (Kraus) 연산자 (단일하지 않은)가 시스템이 발전하는 "게이트"인 개방 양자 시스템입니다.

Kraus 연산자가 하나뿐이면 입니다. 그러나 는 하나뿐 이므로 이거나 는 단일입니다. 따라서 시스템은 (이전에 보았던 표준 진화)로 진화합니다. 그러나 일반적으로 몇 개의 크라우스 연산자가 있으므로 진화는 단일하지 않습니다. $\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$ $i$ $K^\dagger K = \mathbb{I}$ $K$ $\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$

마지막 요점 :

측정은 행렬로 표현 될 수 있으며,이 행렬은 큐 비트에 적용되므로 양자 게이트의 동작과 같은 것으로 보입니다. 그것은 확실히 뒤집을 수 없습니다.

(파동 함수 등)와 표준 양자 역학에서, 시스템의 발전은 두 부분으로 구성된다 평활 한 다음 단일 시스템의 해밀 토니안하에 진화와 갑자기 측정이 이루어진다 양자 점프 라고도 파동 함수 붕괴 . 일부 붕괴 연산자는양자 상태 및 에서 작동하면 상태에서 시스템을 찾을 가능성이 있습니다. $-$ $-$ $|\phi\rangle \langle\phi|$ $|\psi\rangle$ $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ $|\phi\rangle$ 측정 후. 측정 오퍼레이터는 모든 프로젝터 (또는 OP가 제안한대로 매트릭스) 이후에 선형적이고 물리적으로 단위 진화와 물리적으로 유사해서는 안됩니다 (매트릭스를 통해 발생). 이것은 흥미로운 질문이며 제 생각에는 육체적으로 대답하기가 어렵습니다. 그러나 나는 이것을 수학적으로 약간 밝힐 수 있습니다.

우리가 현대 형식주의에서 일하고 있다면, 측정은 POVM 요소에 의해 주어진다 ; 힐베르트 공간의 에있는 은자 양의 반올림 연산자 (힐버트 공간의) 아이덴티티 연산자와 합산하는 입니다. 따라서 측정 값은 $\{M_{i}\}$ $\mathcal{H}$ $\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$

ρ \to \frac{E_{i} ρ E_{i}^{†}}{Tr (E_{i} ρ E_{i}^{†})}, where M_{i} = E_{i}^{†} E_{i} .

$\rho \rightarrow \frac{E_i \rho E_i^\dagger}{\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger)}, \text{ where } M_i = E_i^\dagger E_i.$

되는 측정 결과의 확률 하는데 사용되는 재 정규화 부 트레이스 상태. 분자 는 선형 연산이지만 에 대한 확률 론적 의존성 은 비선형 성 또는 비가역성을 가져옵니다 . $\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$ $M_i$ $\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$ $p_i$

편집 1 : CPTP 맵과 더 큰 힐버트 공간의 단일 작업 사이에 동 형사상을 제공하고 (텐서 처리 된) 힐버트 공간을 부분적으로 추적하는 Stinespring 확장 정리에 관심이있을 수 있습니다 ( 1 , 2 참조 ).

— keisuke.akira
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측정 아이디어에 대한 다른 답변을 보완하는 약간의 비트를 추가하겠습니다.

측정은 일반적으로 양자 역학의 가정으로 수행됩니다. 일반적으로 힐버트 공간에 대한 몇 가지 선행 가정이 있지만 다음과 같습니다.

모든 측정 가능한 물리량 는 Hilbert space 에 작용 하는 연산자 의해 설명됩니다 . 이 연산자를 관찰 가능이라고하며 고유 값은 측정 결과 일 수 있습니다. $A$ $\hat{A}$ $\mathcal{H}$
시스템 상태에서 관찰 가능 로 측정 하고 결과가 인 경우 측정 직후 시스템 상태는 여기서, 은 고유 값 의 고유-하위 공간에있는 프로젝터 입니다. $A$ $\psi$ $a_n$ $\frac{{\hat{P}}_{n} | ψ ⟩}{‖ {\hat{P}}_{n} | ψ ⟩ ‖},$ $\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$ $\hat{P}_n$ $a_n$

일반적으로 프로젝션 연산자 자체는 및 충족해야합니다. 즉, 위의 가정에서 관찰 할 수 있고 고유 값을 의미합니다. 또는 . 위 의 중 하나를 사용한다고 가정하면 고유 값을 이진 예 / 아니오로 해석 할 수 있습니다 . 관측 가능한 수량 이 상태의 측정 결과로 사용 가능한지 여부에 대한 대답 입니다. . $\hat{P}^\dagger=\hat{P}$ $\hat{P}^2=\hat{P}$ $1$ $0$ $\hat{P}_n$ $1,0$ $a_n$ $|\psi\rangle$

— 은밀한
소스

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측정은 단일 작업이기도합니다. 측정은 시스템뿐만 아니라 환경에서도 작동하는 복잡한 (양자) 작업과 같습니다. 양자 시스템 (환경을 포함하여)으로 모든 것을 모델링해야한다면, 단일 작업을 할 수있을 것입니다.

그러나 일반적으로 환경에 대한 정확한 조치를 알지 못하고 일반적으로 신경 쓰지 않기 때문에 일반적으로 이것에 대한 지적이 거의 없습니다. 우리가 시스템만을 고려한다면, 결과는 잘 알려진 파동 함수의 붕괴이며, 이는 실제로 비-일체 연산입니다.

— 피라미드
소스

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양자 상태는 두 가지 방식으로 변할 수 있습니다 : 1. 양자 , 2. 고전 .

양자 적으로 일어나는 모든 상태 변화 는 단일하다. 모든 양자 게이트, 양자 오류 등은 양자 변화 입니다.
고전적인 변화가 단일 일 필요 는 없다 . 예를 들어 측정은 고전적인 변화 이다.

더 많은 이유로, 양자 상태가 일단 측정되면 '방해'되었다고 말하는 이유는 무엇입니까?

— alphaQuant
소스

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오류가 "양자"인 이유는 무엇입니까?

— Norbert Schuch

@ NorbertSchuch : 일부 오류는 환경을 측정하는 환경의 형태로 나타날 수 있으며,이 사용자의 언어에서는 고전적인 것으로 간주 될 수 있지만 다른 오류는 Bloch 구의 회전 / 변환 형태로 나타날 수 있습니다. t 고전적으로 이해가됩니다. 확실하게 디코 히 런스 (decoherence)를 모델링하려면 완전한 양자 역학을 수행해야합니다.

— user1271772

모든 오류가 '양자'인 것은 아니지만 모든 '양자 오류'( 및 선형 조합)는 단일 함을 의미합니다. 내가 틀렸다면 정정 해주세요. 감사합니다.

σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}

$\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$

— alphaQuant

더 정확하게 말하면, QECC에 의해 처리되는 오류.

— alphaQuant

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"양자"와 "고전적"의 의미가 무엇인지 잘 모르겠습니다. CP 맵은 무엇입니까?

— Norbert Schuch