무작위 벤치마킹에서 충실도 사용 목적

종종, 두 밀도 매트릭스 $\rho$ 와 비교할 때 $\sigma$ (예 : $\rho$ 가 이상적인 의 실험적 구현 인 경우 $\sigma$ ),이 두 상태의 근접성은 양자 상태 충실도 의해 주어진다)

F = t r (\sqrt{\sqrt{ρ} σ \sqrt{ρ}}),

$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$ 부정 같이 정의하여

1 - F

$1-F$ .

게이트의 구현에 적합한 버전으로 얼마나 가까이 비교할 때 마찬가지로, 충실도가된다 여기서 는순수한 상태에대한Haar 측정 값입니다. 당연히, 이것은 작업하기가 비교적 불쾌해질 수 있습니다.

F (U, \tilde{U}) = \int {[t r (\sqrt{\sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}} \tilde{U} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\tilde{U}}^{†} \sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}}})]}^{2} d ψ,

$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$

d ψ

$d\psi$

자,하자가 매트릭스 정의 밀도 행렬, 또는의 경우 게이트 작업. 이어서, 규범 섀튼은 ¹ 과 같은 $M = \rho - \sigma$ $M = U - \tilde U$ ,, 또는 다른 예로서 규범다이아몬드 규범 $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$ 계산할 수 있습니다.

이 규범은 종종 계산하기 쉽게 ² 피델리티 위의 이상을. 더 중요한 것은 무작위 벤치마킹 계산에서 부정확성이 큰 척도로 보이지는 않지만 양자 프로세서의 벤치마킹 값을 볼 때마다 볼 때마다 사용되는 숫자입니다. ^삼

따라서 (in) 충실도가 양자 프로세서에서 랜덤 한 벤치마킹을 사용하여 게이트 오류를 계산하는 데 중요한 가치를 갖는 이유는 무엇입니까? 클래식 컴퓨터에서?

^{의 1 섀튼 피 규범 이다 $M$ $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 (클래식) 컴퓨터에서 노이즈 모델을 연결하고 시뮬레이션}

^{3 IBM의 QMX5 와 같은}

quantum-information randomised-benchmarking fidelity

— 미스 란 디르 24601
소스

Nielsen과 Chuang은 자신의 저서 "Quantum Computation and Quantum Information"에서 양자 정보에 대한 거리 측정에 관한 섹션 (9 장)을 가지고 있습니다.

놀랍게도 그들은 9.3 절에서 "양자 채널이 정보를 얼마나 잘 보존 하는가?"라고 말합니다. 충실도를 추적 표준과 비교할 때 :

마지막 섹션에서 설정된 트레이스 거리의 속성을 사용하면 대부분 트레이스 거리를 기반으로 병렬 개발을 수행하는 것이 어렵지 않습니다. 그러나 충실도는 계산하기가 더 쉬운 도구 인 것으로 나타 났으며, 그 이유로 우리는 충실도에 따라 고려 사항으로 제한합니다.

이것이 부분적으로 충실도가 사용되는 이유라고 생각합니다. 정적 거리 측정으로 유용한 것으로 보입니다.

또한 국가의 앙상블에 대한 충실도의 비교적 간단한 확장이있는 것처럼 보입니다.

F = \sum_{j} p_{j} F (ρ_{j}, E (ρ_{j}))^{2},

$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$

상태에서 시스템의 제조 가능성 및 관심있는 특정 채널 잡음, . $p_j$ $\rho_j$ $\mathcal{E}$ $0\leq F\leq 1$

채널이 얽힘을 얼마나 잘 보존하는지 측정하기 위해 얽힘 충실도에 대한 확장도 있습니다. 어떤 방식으로 외부 세계에 얽힌 것으로 가정 된 상태 와, 상태의 정제 (가상 시스템 )가 주어지면, 는 순수하다. 상태는 채널 에서 다이나믹하게 적용된다 . 프라임은 양자 연산을 적용한 후의 상태를 나타냅니다. 은 시스템 의 ID 맵입니다 . $Q$ $R$ $RQ$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{I}_R$ $R$

F (ρ, E) \equiv F (R Q, R' Q')^{2} = ⟨ R Q | (I_{R} \otimes E) (| R Q ⟩ ⟨ R Q |) | R Q ⟩

$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$

이 장에서는 충실도와 얽힘 충실도의 계산을 단순화하기 위해 파생 된 몇 가지 공식이 있습니다.

얽힘 충실도의 매력적인 특성 중 하나는 정확하게 계산할 수있는 매우 간단한 공식이 있다는 것입니다.

F (ρ, E) = \sum_{i} tr | (ρ E_{i}) |^{2}

$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$

여기서 '작동 요소' 는 완전성 관계를 만족시킵니다. 다른 사람이 더 실용적인 구현에 대해 언급 할 수는 있지만 이것이 내가 읽은 것입니다. $E_i$

업데이트 1 : Re M.Stern

동일한 참조 Nielsen과 Chuang입니다. "정의의 오른쪽에 나타나는 충실도가 왜 제곱인지 궁금 할 것입니다.이 질문에 대한 답은 두 가지입니다. 하나는 간단하고 하나는 복잡합니다. 더 복잡한 대답은 현재 양자 정보가 유아기 상태에 있으며 정보와 같은 개념에 대한 '정확한'정의가 무엇인지 명확하지 않다는 것입니다. 그럼에도 불구하고, 12 장에서 볼 수 있듯이, 앙상블 평균 충실도와 얽힘 충실도는 풍부한 양자 정보 이론을 일으켜 이러한 측정이 올바른 방향에 있다고 믿게합니다.

의 충실도를 보지 않는 이유에 대한 두 번째 질문에 대답하기 위해 $\bar{\rho}$ , 내가 PhysRevA에 있지만 arXiv 버전이 있다고 생각 "양자 상태의 앙상블 사이 Distinguishability 조치"에 언급 된 좋은 점있다 여기가 .

그들이 pg 4에서 언급 한 요점 은 동일한 앙상블 평균 밀도 행렬 가 발생하는 두 개의 앙상블 및 가 있고 충실도 가질 수 없다고 가정합니다 그들 사이를 구별하십시오. $rho$ $\sigma$ $\bar{\rho}=\bar{\sigma}$ $F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

$\mathcal{E}$

F_{m i n} = min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩ ⟨ ψ |, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)) \equiv min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

Due to concavity in both arguments you can restrict to pure states in this minimising, the equivalence in the second part is just notation.

In defining how well a gate is implemented one can look as well at a worst case implementation of a unitary gate $U$ by a channel $\mathcal{E}$ by defining

F (U, E) = min_{| ψ ⟩} F (U | ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

In the formula you've given and the paper you've linked, they integrate over $\psi$ , with an appropriate measure $^*$ . This makes me think this should be regarded instead as an average fidelity $\bar{F}(U,\tilde{U})$ , which you can imagine might be more useful in practical experiments, especially if you're repeating the experiment. It's probably unlikely to achieve the exact minimum.

There's an arXiv version of a paper here by Michael Nielsen where he talks about average gate fidelity.

The only extra difference between fidelity for a gate and average fidelity of a gate mentioned vs the formula you initially provided, is the square of the trace: $[\operatorname{trace}]^2$ you have. As in Update 1 some people prefer to use $F^2$ as the fidelity rather than $F$ , as it can supposedly be connected more readily to entanglement fidelity. I do need to read a bit more about that to comment properly.

( $\,^*$ ) Aside: I think calling it a 'Haar measure' might be misleading, I've seen in it in papers as well. As far as I know, the space of pure states is usually topologically $\Bbb{CP}^n$ , for an $n$ -dimensional hilbert space. Apparently the measure they use is inherited from the haar measure on $U(n)$ by a quotient or so I've read here: /physics//a/98869/41998.

— snulty
소스

That gives a reasonable explanation of why it could be useful for states and the bit about entanglement fidelity is definitely interesting, sure. However, the issue I've got is (as per this paper) that doing the same thing for gates just doesn't work in the same way. (unless I'm missing something else)

— Mithrandir24601

Could you give a reference for the fidelity of ensembles that you mention? Why is it different from the fidelity of the mixed state

\sum_{j} p_{j} ρ_{j}

$\sum_j p_j \rho_j$ ?

— M. Stern

@M.Stern I've moved my comments to an update.

— snulty

@Mithrandir24601 Apologies for being slow to reply, I've been trying to find time to read the paper you linked and time to write a response! See Update 2.

— snulty

As for your aside, you're correct - I'm just being a lazy physicist. It is (to my knowledge) a Haar measure, but calling it a 'Haar measure over states' is, yes, not exactly the most technically accurate statement ever... What's slightly more worrying is that arXiv currently seems to be down :(

— Mithrandir24601