명백한 립 로빈슨 속도 경계

Lieb-Robinson 범위는 지역 해밀턴으로 인해 시스템을 통해 효과가 전파되는 방식을 설명합니다. 그들은 종종 형태

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$ 여기서

A

$A$ 와

B

$B$ 는 해밀턴 인이 격자에서 국소 적 (예 : 가장 가까운 이웃) 상호 작용을 갖는 격자에서 거리

l

$l$ 만큼 분리 된 연산자이며 , 강도

J

$J$ 경계가

있습니다. 립 로빈슨 바운드 의 증거 는 일반적으로 속도 의 존재를 보여줍니다

v

$v$ ( 따라 다름 ). 이것은 종종 이러한 시스템의 속성을 바인딩하는 데 유용합니다. 예를 들어, 가장 가까운 이웃 Hamiltonian을 사용하여 GHZ 상태를 생성하는 데 걸리는 시간과 관련하여 여기 에 정말 좋은 결과가있었습니다 .

J

$J$

내가 했어 문제는 증거는 그 속도가 실제로 무엇에 꽉 값을 얻을 어렵다는 것을 충분히 일반적인 있다는 것입니다 이다 주어진 시스템을.

구체적으로, Hamiltonian 와 결합 된 1 차원 큐빗 체인을 상상해보십시오. 여기서

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$ 은 모든

n

$n$ 대해

입니다. 여기서

X_{n}

$X_n$ ,

Y_{n}

$Y_n$ 및

Z_{n}

$Z_n$ 파울리 연산자를 나타내는 소정의 큐 비트에 적용되고

n

$n$ 및

I

$\mathbb{I}$ 다른 곳에. 식에서시스템에 대한립-로빈슨 속도 $v$ 대해좋은 (즉, 가능한 한 타이트한) 상한을 줄 수 있습니까 (1)?

이 질문은 두 가지 다른 가정 하에서 제기 될 수 있습니다.

$J_n$ 및 $B_n$ 모든 시간에서 해결
$J_n$ 및 $B_n$ 시간이 다를 수있다.

전자는 증거를 더 쉽게 만들 수있는 강력한 가정이며 후자는 일반적으로 Lieb-Robinson 경계에 포함됩니다.

자극

양자 계산,보다 일반적으로 양자 정보는 흥미로운 양자 상태를 만드는 것으로 귀착됩니다. 등의 작품을 통해 이 , 우리는 정보는 식의로 인해 해밀턴 등 한 장소에서 진화를 겪고 양자 시스템에서 다른 전파하는 데 약간의 시간이 걸립니다 것을 알 수있다. (1) GHZ 상태와 같은 양자 상태 또는 위상 순서가있는 상태는 일정 시간이 소요됩니다. 결과가 현재 보여주는 것은 스케일링 관계입니다. 예를 들어 필요한 시간은 $\Omega(N)$ 입니다.

그래서 $N$ 에서 선형 적으로 확장되는 방식으로 정보 전송을 수행하거나 GHZ 상태 등을 생성하는 체계를 생각해 봅시다 . 그 계획이 실제로 얼마나 좋은가요? 명시적인 속도가 있다면, 하한과 비교할 때 스케일링 계수가 내 체계에서 얼마나 밀접하게 일치하는지 볼 수 있습니다.

언젠가 실험실에서 구현 된 프로토콜이라고 생각한다면, 광범위한 스케일링 기능뿐만 아니라 이러한 스케일링 계수를 최적화하는 데 많은 관심이 있습니다. 소음이 와서 모든 것을 엉망으로 만드는 것입니다.

추가 정보

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ 이 Hamiltonian에는 멋진 계산 기능이 있습니다. 특히, Hamiltonian은 표준 기준으로 1의 수를 기반으로하는 부분 공간 구조를 가지고 있으며 (여기 보존이라고 함) 더 나은 Jordan Jordan-Wigner 변환은 더 높은 여기 부분 공간의 모든 특성이 도출 될 수 있음을 보여준다 1- 여기 부분 공간에서. 이것은 본질적으로 우리 가 완전한 행렬 대신 $N\times N$ 행렬 $h$ 에 대해서만 수학을 수행해야한다는 것을 의미합니다 . 여기서 $2^N\times 2^N$ $H$

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$ Lieb-Robinson 속도가여기와여기와 같이

v = 2 J

$v=2J$ 라는 증거가있지만 모두 그룹 속도가

균일하게 연결된 체인에 가깝습니다.

2 J

$2J$ (그리고 그룹 속도는 Lieb-Robinson 속도와 밀접하게 연결되어 있다고 가정합니다). 가능한 모든 결합 강도 선택이 그와 같은 속도를 가지고 있음을 증명하지는 않습니다.

나는 동기 부여에 조금 더 추가 할 수 있습니다. 체인의 한쪽 끝에서 시작하는 단일 여기의 시간 진화를 고려하십시오. $\ket{1}$ , 그 진폭이 체인의 다른 쪽 끝을에 도착을 위해 무엇 $\ket{N}$ , 짧은 시간 $\delta t$ 이상. $\delta t$ 첫 번째 순서 는

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$ Lieb-Robinson 시스템에 의해 정의 된 '라이트 콘'외부에있을 것으로 예상되는 지수 기능을 볼 수 있지만 더 중요한 것은 진폭을 최대화하려면 모든

J_{n} = J

$J_n=J$ 설정해야합니다. 따라서 짧은 시간에 균일하게 결합 된 시스템이 가장 빠른 전송으로 이어집니다. 당신이 퍼지 약간의로 요청할 수 있습니다,이 더 밀어 시도, 수

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$ 큰

N

$N$ 한계를취하고계승에 대한 스털링 공식을 사용하여

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$ 약의 최대 속도 제안

e J

$eJ$ . 가깝지만 엄격하지는 않습니다 (고차 용어는 무시할 수 없으므로)!

simulation performance many-body-systems

— 다 프트 울리
소스

해당 모델의 증명에서 최상의 LR- 바운드를 계산 했습니까? 인용하는 속도와 어떻게 비교됩니까?

— Norbert Schuch

좋아, 나는 그것이 내가 지금 그것을 해석 적어도 방법 양자 컴퓨팅 질문입니다 인정 "의 선택 무엇

과

정보 / 상태의 최대 속도를 산출한다 (일부 제약 주제) / ... 이전." --- 이것이 올바른 해석입니까?

J_{n}

$J_n$

B_{n}

$B_n$

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch 확실하지 않습니다. "특정한 스케일링으로 프로토콜을 달성하는 커플 링 세트를 생각해 냈습니다.이 프로토콜은 Lieb-Robinson 경계에 의해 제약을받는 것으로 알려져 있습니다. 그 제약 조건을 포화시키는 정도는 얼마입니까?" 내 프로토콜이 얼마나 빠른지 측정합니다.

— DaftWullie

@DaftWullie 그래서-당신은 "내가 얼마나 최적에 가깝습니까?"또는 "어떤 종류의 경계에 얼마나 가깝습니까?

— Norbert Schuch

@ user1271772 맞습니다.

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— DaftWullie

일반적인 로컬 상호 작용 격자 모델에 직면 할 때 LR (Lieb-Robinson) 속도를 타당한 속도로 얻는 방법에 대한 일반적인 질문에 먼저 대답 한 다음, 귀하의 질문에 1D XY 모델로 돌아가겠습니다. 정확하게 풀 수있는 특별한.

일반적인 방법

(가장 짧은 범위의 상호 작용 모델에 대해) 가장 엄격한 날짜를 구하는 방법은 Ref1 = arXiv : 1908.03997에 도입되었습니다 . 기본 아이디어는 임의의 로컬 연산자 사이의 불평등 시간 정류자 $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ 의 표준은 1 차 선형 미분 방정식에 대한 솔루션에 의해 상한이 될 수 있다는 것입니다. 모델의 commutativity 그래프 . Sec.II 지시 신호의 (A)에 도입 된 바와 같이 교환 법칙 그래프는 쉽게 토니안 모델에서 도출 될 수 $\hat{H}$ 및 제시 다른 로컬 사업자 간의 교환 관계에 반영하도록 설계된 . 변형 불변 시스템에서,이 미분 방정식 세트는 푸리에 변환으로 쉽게 풀 수 있으며, LR 속도의 상한 은 Ref1의 식 (31)을 사용하여 최대 고유 주파수 에서 계산할 수 있습니다 . 다음에서는이 방법을 교육 학적 예로 1D XY 모델에 적용하겠습니다. 간단하게하기 위해, 시간에 독립적이고 변하지 않는 경우에 중점을 둘 것입니다 , $\hat{H}$ $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ $|J_n|=J>0$ (결과 바운드는 $B_n,J_n$ 부호에 의존하지 않음) 변하지 않는, 시간에 따라 변하는 변환의 경우, 미분 방정식을 수치 적으로 풀거나 (수천 개의 사이트 시스템에 대한 계산 작업이 용이함) 전체 상한 $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$ 이고 아래 방법을 사용하십시오 (그러나 이것은 숫자 방법에 비해 견고성이 약간 손상됩니다).

먼저 아래와 같이 commutativity 그래프를 그립니다. Hamiltonian ~ ( $X_{n}X_{n+1}$ , $Y_nY_{n+1}$ , $Z_n$ )의 각 연산자 는 꼭짓점으로 표시되며 해당 연산자가 출퇴근하지 않는 경우에만 두 꼭짓점을 연결합니다. 현재의 경우, 통근 방지 기능).
그런 다음 Ref1 의 미분 방정식 Eq. (10)을 적어 둡니다 :
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \sum_{α = 1, 2} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos k & 0 & B (1 + e^{i k}) \\ 0 & 2 J \cos k & B (1 + e^{i k}) \\ J (1 + e^{- i k}) & J (1 + e^{- i k}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (i κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{\cosh κ + \sqrt{\cosh^{2} κ + 4 y (1 + \cosh κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

$B/J\to \infty$ $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ $\mathcal{X}_y$ $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

일부 클래식 모델의 속도 한계

$v_{\text{LR}}$ $F(J_x,J_y,J_z)$ $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

\begin{array}{cl} Model & v_{LR} \\ d -dimensional TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩} X_{m} X_{n} + h \sum_{n} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d -dimensional Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩, s =↑, ↓} (a_{m, s}^{†} a_{n, s} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17.9 d J \\ + U \sum_{n} a_{n ↑}^{†} a_{n ↑} a_{n ↓}^{†} a_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{x}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \sum_{n} (J_{x} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{x}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

$J=h$ $v_{\text{LR}}=2J$ $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ $U=0$ $J_x=J_y,J_z=0$ $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$ . [실제로이 특별한 지점에서 후자의 두 가지는 공통된 그래프에서 직접 판단 할 수있는 TFIM의 분리 된 사슬에 해당합니다.]

자유 fermions에 매핑하여 1D XY에 대한 더 엄격한 경계

\hat{H} = \sum_{n} B_{n} (a_{n}^{†} a_{n} - 1 / 2) + \sum_{n} J_{n} (a_{n}^{†} a_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$ 자유 페르미온 문제를 수치 적으로 해결해야하지만 분석적으로 다루기 쉬운 두 가지 특별한 경우를 언급하겠습니다.

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$
$\begin{array}{rcl} a_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{a}}_{k} e^{- i 2 J t \cos k} e^{i k x} d k \\ = & \sum_{m} J_{| n - m |} (2 J t) a_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ $|n-m|$ $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$
$B_n,J_n$ $v_{\text{LR}}=0$
$[A_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n s t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ $d_{XY}=\xi \ln t$

— 라그 렌지
소스

모든

대해 당신이 말하는 것을 추론해야합니까?

X Y

$XY$

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$

2 J

$2J$

B_{n} (t)

$B_n(t)$

B = 0

$B=0$

B

$B$

\hat{H}

$\hat{H}$

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$

@DaftWullie DaftWullie에게, 내 답변에 여전히 빠진 것이 있거나 확실하지 않은 점이 있으면 알려주세요.

— Lagrenge

대답은 잠재적으로 유용하게 보입니다. 아직 논문을 볼 시간이 없었습니다 (2 주 정도 소요될 수 있음). 내가 모든 것을 이해한다고 가정하면, 그것이 당신의 대답을 받아 들일 것입니다.

— DaftWullie