Lieb-Robinson 범위는 지역 해밀턴으로 인해 시스템을 통해 효과가 전파되는 방식을 설명합니다. 그들은 종종 형태
|[A,B(t)]|≤Cevt−l,
여기서
A 와
B 는 해밀턴 인이 격자에서 국소 적 (예 : 가장 가까운 이웃) 상호 작용을 갖는 격자에서 거리
l 만큼 분리 된 연산자이며 , 강도
J 경계가
정해져 있습니다. 립 로빈슨 바운드 의
증거 는 일반적으로 속도 의 존재를 보여줍니다
v( 따라 다름 ). 이것은 종종 이러한 시스템의 속성을 바인딩하는 데 유용합니다. 예를 들어, 가장 가까운 이웃 Hamiltonian을 사용하여 GHZ 상태를 생성하는 데 걸리는 시간과 관련하여
여기 에 정말 좋은 결과가있었습니다 .
J
내가 했어 문제는 증거는 그 속도가 실제로 무엇에 꽉 값을 얻을 어렵다는 것을 충분히 일반적인 있다는 것입니다 이다 주어진 시스템을.
구체적으로, Hamiltonian 와 결합 된 1 차원 큐빗 체인을 상상해보십시오.
여기서
H=∑n=1NBn2Zn+∑n=1N−1Jn2(XnXn+1+YnYn+1),(1)
Jn≤J 은 모든
n 대해
J ≤ J 입니다. 여기서
Xn ,
Yn 및
Zn 파울리 연산자를 나타내는 소정의 큐 비트에 적용되고
n 및
I 다른 곳에.
식에서시스템에 대한립-로빈슨 속도v 대해좋은 (즉, 가능한 한 타이트한) 상한을 줄 수 있습니까 (1)?
이 질문은 두 가지 다른 가정 하에서 제기 될 수 있습니다.
- Jn 및 Bn 모든 시간에서 해결
- Jn 및 Bn 시간이 다를 수있다.
전자는 증거를 더 쉽게 만들 수있는 강력한 가정이며 후자는 일반적으로 Lieb-Robinson 경계에 포함됩니다.
자극
양자 계산,보다 일반적으로 양자 정보는 흥미로운 양자 상태를 만드는 것으로 귀착됩니다. 등의 작품을 통해 이 , 우리는 정보는 식의로 인해 해밀턴 등 한 장소에서 진화를 겪고 양자 시스템에서 다른 전파하는 데 약간의 시간이 걸립니다 것을 알 수있다. (1) GHZ 상태와 같은 양자 상태 또는 위상 순서가있는 상태는 일정 시간이 소요됩니다. 결과가 현재 보여주는 것은 스케일링 관계입니다. 예를 들어 필요한 시간은 Ω(N) 입니다.
그래서 N 에서 선형 적으로 확장되는 방식으로 정보 전송을 수행하거나 GHZ 상태 등을 생성하는 체계를 생각해 봅시다 . 그 계획이 실제로 얼마나 좋은가요? 명시적인 속도가 있다면, 하한과 비교할 때 스케일링 계수가 내 체계에서 얼마나 밀접하게 일치하는지 볼 수 있습니다.
언젠가 실험실에서 구현 된 프로토콜이라고 생각한다면, 광범위한 스케일링 기능뿐만 아니라 이러한 스케일링 계수를 최적화하는 데 많은 관심이 있습니다. 소음이 와서 모든 것을 엉망으로 만드는 것입니다.
추가 정보
이 Hamiltonian에는 멋진 계산 기능이 있습니다. 특히, Hamiltonian은 표준 기준으로 1의 수를 기반으로하는 부분 공간 구조를 가지고 있으며 (여기 보존이라고 함) 더 나은 Jordan Jordan-Wigner 변환은 더 높은 여기 부분 공간의 모든 특성이 도출 될 수 있음을 보여준다 1- 여기 부분 공간에서. 이것은 본질적으로 우리 가 완전한 2 N × 2 N 행렬 H 대신 N×N 행렬 h 에 대해서만 수학을 수행해야한다는 것을 의미합니다 . 여기서
h = N ∑ n = 1 B n | 엔2N×2NH
h=∑n=1NBn|n⟩⟨n|+∑n=1N−1Jn(|n⟩⟨n+1|+|n+1⟩⟨n|).
Lieb-Robinson 속도가
여기와
여기와 같이
v=2J 라는 증거가있지만 모두 그룹 속도가
2 J 인 균일하게 연결된 체인에 가깝습니다.
2J(그리고 그룹 속도는 Lieb-Robinson 속도와 밀접하게 연결되어 있다고 가정합니다). 가능한 모든 결합 강도 선택이 그와 같은 속도를 가지고 있음을 증명하지는 않습니다.
나는 동기 부여에 조금 더 추가 할 수 있습니다. 체인의 한쪽 끝에서 시작하는 단일 여기의 시간 진화를 고려하십시오. |1⟩ , 그 진폭이 체인의 다른 쪽 끝을에 도착을 위해 무엇 |N⟩ , 짧은 시간 δt 이상. δt 첫 번째 순서 는
⟨N|e−ihδt|1⟩=δtN−1(N−1)!∏n=1N−1Jn+O(δtN).
Lieb-Robinson 시스템에 의해 정의 된 '라이트 콘'외부에있을 것으로 예상되는 지수 기능을 볼 수 있지만 더 중요한 것은 진폭을 최대화하려면 모든
Jn=J설정해야합니다. 따라서 짧은 시간에 균일하게 결합 된 시스템이 가장 빠른 전송으로 이어집니다. 당신이 퍼지 약간의로 요청할 수 있습니다,이 더 밀어 시도, 수
tN−1(N−1)!∏n=1N−1Jn∼1
큰
N한계를취하고계승에 대한 스털링 공식을 사용하여
etJN−1∼1,
약의 최대 속도 제안
eJ. 가깝지만 엄격하지는 않습니다 (고차 용어는 무시할 수 없으므로)!