단일 qubit를 나타내는 Bloch sphere의 대안

단일 qubit 을 나타 내기 위해 Hilbert 공간에 단일 벡터를 사용합니다.이 정규 직교 기저 중 하나는 입니다.$|\psi\rangle$$\mathbb{C}^2$$(|0\rangle, |1\rangle)$

Bloch ball을 사용하여 을 그릴 수 있습니다 . 그러나 직교 벡터는 공간적으로 반 평행이기 때문에이 표기법이 매우 혼란 스럽 습니다 (이 Physics Stackexchange 질문에 대한 간단한 설명 ).$|\psi\rangle$

단일 큐 비트에 대한 다른 그래픽 표현을 알고 있습니까?

사용자의 질문에 포함 된 링크에서 user098876 "Bloch sphere 이해"에 의해 작성된 다른 질문에 대해 Daniel은 다음과 같이 유용한 의견을 제시합니다.

"양자 2 수준 시스템의 상태를 나타 내기 위해 구체에 점을 그리는 것은 그러한 점을 3D 공간에서 실제 벡터로 생각해야한다는 의미는 아닙니다. – DanielSank Sep 3 '15 at 20:17"

지나치게 단순화 된 설명 : 구면에 투영 된 양면 평면 (또는 두 평면)입니다.

"직교 벡터가 공간적으로 반 평행이기 때문에이 표기법이 매우 혼란 스러웠습니다 ( 이 Physics Stackexchange 질문에 대한 간단한 설명 ). 단일 큐빗에 대해 다른 그래픽 표현을 알고 있습니까?"

qubits에서 qudits까지 확장되는보다 일반적인 표현을 제공하기 위해 많은 노력이 진행되고 있습니다. Majorana 구체를 사용한이 설명과 표현 은 그렇게 다르지 않습니다 . 그것은 여전히 ​​구체이지만, 덜 혼란 스럽습니다.

Majorana 구체의 큐 비트에 대해서는 " Bloch 구체의 점으로 N- 큐빗 상태 "를 참조하십시오 .

"개요. 우리는 Majorana 표현이 N-qubit 시스템의 순수한 상태를 표현하는 데 어떻게 사용될 수 있는지를 보여줍니다. 결론적으로, Majorana 표현은 spin- 입자를 연구 할 때 유용 하지만 다른 표현은 의 상태 N -qubit 시스템이 논의된다. 시각화하는 데 도움이 외에도 N은 또한 도움이 특별한 식별 할 수있는 후자의 표현 상태와 그들이 회전 및 기타 작업으로 변환하는 방법을, -qubit N은 Majorana 표현에서했던 것처럼, 상태를 -qubit 스피너 보스-아인슈타인 응축액의 맥락. "$S$$N$$N$$N$

"주요 표현, qutrit Hilbert 공간 및 qutrit 게이트의 NMR 구현 "을 참조하십시오 .

페이지 1:

"블로흐 구가 상 하나의 큐 비트의 양자 상태의 표시를 제공하는 내부에 놓인 표면 상에 매핑 순수한 상태와 혼합 된 상태로, (세 실제 치수 단위 구).이 기하학적 표현 유용입니다 특히 NMR 기반 양자 계산의 경우, 양자의 상태와 그 변형의 시각화를 제공하는 곳 스핀 1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$ NMR rf 펄스를 통한 자화 및 그 변형은 블로흐 구체에서 시각화됩니다. 더 높은 수준의 양자 시스템에 대한 기하학적 표현에 대한 몇 가지 제안이 있었지만, Bloch sphere-like picture를 더 높은 스핀으로 확장하는 것은 간단하지 않습니다. 기하학적 표현 된 스핀 '순수한 상태 Majorana 제안 하였다'2 '로 표시되는SMajorana 구라는 단위 구 표면에서'포인트.$s$$_s$

spin- 시스템에 대한 Majorana 표현은 스핀 의 기하학적 위상 결정, N 점으로 N 스피너를 표현, 멀티 큐빗 얽힌 상태의 기하학적 표현, 혼란스러운 양자 역학 시스템의 통계 및 편광 특성 분석과 같은 광범위한 응용 분야를 발견했습니다 . 단일 qutrit (3 레벨 양자 시스템)는 qudit 기반 ( d 레벨 양자 시스템) 양자 컴퓨팅 방식 에서 특히 중요 합니다. qutrit는 컨텍스트와 같은 고유 한 양자 기능을 나타내는 가장 작은 시스템으로, 양자 컴퓨팅을위한 자원으로 추측되었습니다 . NMR qudit 양자 컴퓨팅은 spin s> 1로 핵을 사용하여 수행 할 수 있습니다.$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$ 또는 둘 이상의 결합 된 스핀-1에의해 모델링 될 수 있음$\frac{1}{2}$ 핵. 이 작업에서는 단일 qutrit에 대한 Majorana sphere 설명을 사용합니다. 여기서 qutrit 상태는 단위 구의 점 쌍으로 표시되어 qutrit 상태 공간에 대한 통찰력을 제공합니다.

5 페이지 :

자화 벡터의 크기 → M | 단일 qutrit의 순수한 앙상블에서 [ 0 , 1 ] 범위의 값을 가정 할 수 있습니다 . 반대로, 큐 비트의 순수한 앙상블은 항상 이와 관련된 자화 벡터의 단위 크기 를 갖 습니다$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ . 단일 qutrit 자화 벡터의 기하학적 사진은 Majorana 표현에 의해 제공됩니다. 가치 → M | 이등분선의 길이 O O '에 의존 하고 z를 따라 위치$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$축이며 회전 불변입니다. 따라서, 이등분 자 길이의 주어진 값에 대응하여, 표면이 일정한 자화의 표면 인 연속적으로 변화하는 반경을 갖는 동심원을 가정 할 수있다. 이 구체의 반지름은 → M | [ 0 , 1 ] 범위에서 다양합니다 .$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

페이지 10 :

끝 맺는 말

이 작업에서는 qutrit의 기하학적 표현이 설명되며, qutrit 상태는 Majorana 표현에 따라 단위 구에서 두 점으로 표시됩니다. 단일 큐 트리트 상태의 파라미터는 작용을 통해 표준 상태의 1 변수 군에서 임의의 상태를 생성 얻었다 변환. 스핀 -1 자화 벡터는 Majorana 구체에서 표현되었고 상태는 스핀 자화의 0 또는 0이 아닌 값에 따라 '포인팅'또는 '비 포인팅'으로 식별되었다. 의 작용에 의해 생성 된 변환 S U ( 3 $SO(3)$$1$$SU(3)$발전기는 또한 Majorana 기하학적 사진에 통합되었습니다. 큐 비트와 달리, 고주파 펄스 측면에서 단일 양자 양자 게이트의 분해는 간단하지 않으며 Majorana 구체 표현은 이러한 게이트를 기하학적으로 설명하는 방법을 제공합니다. 다양한 양자 게이트의 작용 하에서 Majorana 구체의 쿼트를 나타내는 점의 역학에 대한 면밀한 관찰은 rf 펄스 분해를 얻기 위해 사용되었고, 기본 단일 쿼트 게이트는 NMR을 사용하여 실험적으로 구현되었다.

무화과. 1. Majorana 구체의 qutrit는 두 개의 점 과 P 2로 표시되며, 구의 중심과 각각 빨간색과 파란색으로 표시된 선으로 연결됩니다. θ 1 , ϕ 1 은 점 P 1에 해당하는 극각 및 방위각입니다 ( θ 2 , ϕ 2 는 점 P 2 의 각도 ). Majorana 다항식의 (a) 뿌리 평면에 나타낸다 (Z) = 0 점에 의해 P ' (1) 와 P ' $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$입체 투영으로 인해 Majorana 표현이 나타납니다. 단일 양자 기본 벡터의 마나 나 표현에 해당하는 세 가지 예가 표시됩니다 , ( C $(b)\;\vert+1\rangle$ 및 ( D $(c)\;\vert0\rangle$ . 점 중 하나는 단색 (빨간색) 원으로 표시되고 다른 점은 빈 (파란색) 원으로 표시됩니다.$(d)\;\vert-1\rangle$

참조 : " 높은 스핀 미국의 Majorana 표현 으로 (.PDF)" 휠러 (웹 사이트) 또는 " multispin 양자 상태의 위그 너 단층 촬영 "

단층 촬영을 사용한 모습- "이 논문에서는 이론적으로 임의의 다중 스핀 양자 상태의 구면 함수에 대한 단층 촬영 체계를 개발합니다. 우리는 주어진 밀도 연산자 (혼합 또는 순수한 양자 상태를 나타냄)의 일반화 된 Wigner 표현을 재구성하기위한 실험 체계를 연구합니다. ). "

이를 " Blotch sphere of three-vertex geometric phases의 Bloch-sphere 표현 "에 묘사 된 Bloch sphere의 복잡성과 비교해보십시오 . 모양은 사용 된 투영을 시각화하는 방법과 동일합니다.

덜 바쁜 이미지는 다음과 같습니다.

매우 큰 종이로 반으로 자른 블로흐 구체를 생각해보십시오. 용지 가장자리 (무한대)에서 시트 상단의 임의의 지점이 공의 상단 (시트의 밑면을위한 공의 하단)에 선을 그립니다 (무한대). 용지 중심 (혼합 상태)에 가장 가까운 점이 구의 중심에 선을 그립니다. 그것은 작은 공에서 무한대까지의 거리를 나타내고, qubit / qudit는 유한하기 때문에 종이 가 그렇게 크지 않습니다.

이제 2D 용지에 점을 그리고 종이에서 공까지 선을 그립니다. 종이를 제거하고 투명한 공을 보거나 통해 공의 다른 끝점을 봅니다.

위의 링크에서 훨씬 더 정확하고 어려운 설명이 제공됩니다.

@pyramids가 답변에서 전달한 내용에 추가 :

$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$.

$\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

$4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

이제 사용 호프 좌표는 이제 가정 해 봅시다 :

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

$\theta/2$$\theta$

$\psi,\phi,\theta$

$\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ $\alpha$$e^{i\psi}$

따라서 우리는 다음과 같이 끝납니다.

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ $\theta$$0$$\pi$$\phi$$0$$2\pi$

$2$$3$$2$

수학적으로 더 이상 자유도를 줄일 수 없으므로 Bloch 구보다 단일 큐 비트의 다른 "보다 효율적인"기하학적 표현이 없다고 말할 수 있습니다.

_{출처 : Wikipedia : Bloch_Sphere}

The Bloch sphere historically came about to describe spins where up and down can actually be viewed as being (anti)parallel rather than (mathematically) orthogonal.

You can naturally (and perhaps more naturally!) depict a qubit's state in a way that orthogonal states are indeed orthogonal. Then a pure 1-qubit state occupies a point on the surface of a 4-dimensional sphere.

(먼저 "평판 포인트"요구 사항은 어리 석습니다.이 말은 이전 게시물에 대한 의견이어야합니다.)

순수한 상태의 단일 큐비 트는 크기와 위상을 모두 인용 할 때 (즉, 복잡한 정규화) 3이 아닌 2 개의 실제 자유도를 갖습니다. 따라서, 가장 합리적인 2 차원 표면이 사용될 수있다 (예를 들어, 2 구 또는 위상 적으로 등가 인 것).

유용한 표현을 찾는 것은 또 다른 이야기입니다. 블로흐 구체는 혼합 된 상태 (3 자유도를 가짐)로 자연스럽게 확장되는 반면, 그렇지 않은 경우는 아닙니다.