두 큐빗이 얽힌다는 것은 무엇을 의미합니까?

나는 qubits에 대한 일종의 온라인 조사를 해왔으며 그것들을 악명 높게 만드는 요인, 즉 qubits가 1과 0을 동시에 보유하도록 허용하고 또 다른 것은 qubits가 어떻게 든 얽혀서 얼마나 멀리 있든 관련 데이터를 가질 수 있다는 것입니다 그것들은 (은하의 반대편에도있다).

Wikipedia에서 이것에 대해 읽는 동안 나는 이해하기 어려운 방정식을 보았습니다. 다음은 Wikipedia 링크 입니다.

질문 :

1. 그들은 처음에 어떻게 얽혀 있습니까?

2. 그들은 그들의 데이터를 어떻게 관련 시키는가?

간단한 예를 들어, 명확한 상태 및 두 개의 큐 비트가 있다고 가정하십시오 . 시스템의 결합 상태는 또는 입니다.| 0 ⟩ | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ | 00 $|0\rangle$$|0\rangle$$|0\rangle\otimes |0\rangle$$|00\rangle$

그런 다음 qubits에 다음 연산자를 적용하면 (이미지는 초 고밀도 코딩 위키 페이지 에서 잘림 ) 결과 상태는 얽힌 상태 ( 종 상태 중 하나)입니다 .

먼저 이미지에서 첫 번째 qubit에 작동하는 hadamard gate가 있습니다. 더 긴 형식의 이므로 두 번째 qubit의 ID 연산자입니다.$H\otimes I$

hadamard 행렬은 와 같이 기본이 .{| 0⟩,| 1⟩

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$

hadamard 연산자가 작동 한 후 상태는 이제

$$(H\otimes I)(|0\rangle\otimes|0\rangle)=H|0\rangle\otimes I |0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes (|0\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle)$$

회로의 다음 부분은 제 큐 비트가있는 경우에만 상기 제 큐빗에 작용하는 제어되지 게이트 인 .$1$

당신은 나타낼 수 같이 , 어디비트 에 대한 투영 연산자 이거나 행렬 형식 의 투영 연산자 입니다. 마찬가지로되고 .| 0 ⟩ ⟨ 0 | ⊗ I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ⊗ X | 0 ⟩ ⟨ 0 | 0 ( 1 0 0 0 ) | 1 ⟩ ⟨ 1 | ( 0 0 0 1$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$|0\rangle\langle0|$$0$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle\langle1|$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

연산자로 표현 비트 플립 연산자 .( 0 1 1 0$X$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

매트릭스는 전체적으로( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0$CNOT$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\0 & 0 &1 & 0 \\\end{pmatrix}$

를 적용 할 때 상태를 벡터 로 작성하여 행렬 곱셈을 사용할 수 있습니다. 또는 텐서 제품 양식을 사용할 수 있습니다.( $CNOT$$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 \end{pmatrix}$

$$CNOT (\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle))=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

상태의 첫 번째 부분 에서 첫 번째 비트는 이므로 두 번째 비트는 그대로 남아 있습니다. 상태의 두번째 부분 첫번째 비트는 이므로, 두번째 비트는 에서 플립됩니다 .0 | 10 ⟩ 1 0 $|00\rangle$$0$$|10\rangle$$1$$0$$1$

마지막 상태는 최대 얽힌 상태 인 4 개의 벨 상태 중 하나 인 입니다.

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

그들을 얽혀되는 것이 통지를 무엇을 의미하는지 확인하려면 당신은 당신이이 것을 발견하면, 첫 번째 큐 비트 말의 상태를 측정 할 수 있다면 즉시 또한 당신에게 두 번째 큐 비트를 알려주는 것으로이 있기 때문에, 그것이 우리의 유일한 가능성입니다.$0$$0$

예를 들어이 상태와 비교하십시오.

$$\frac{1}{2}(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle).$$

첫 번째 큐 비트가 0임을 측정하면 상태는 축소되며 두 번째 큐빗 은 여전히 ​​50-50 확률입니다. qubit은 또는 입니다.0$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|01\rangle)$$0$$1$

바라건대 이것은 상태가 어떻게 얽히게 될 수 있는지에 대한 아이디어를 제공합니다. 얽힌 광자 또는 전자 등과 같은 특정 예를 알고 싶다면 특정 게이트를 구현하는 방법을 조사해야하지만 여전히 같은 방식으로 수학을 쓸 수 있습니다 과 은 다른 것을 나타낼 수 있습니다. 다른 물리적 상황.$0$$1$

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업데이트 1 : QM / QC / Dirac 표기법에 대한 미니 안내서

일반적으로 단일 qubit에 대해 인 표준 계산 (직교 정규) 기준이 있습니다. 은 벡터 공간입니다.H = 스팬 { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$$\mathcal{H}=\operatorname{span}\{|0\rangle,|1\rangle\}$

우리가 식별 할 수있는 기초의 순서에 와 과 와 . 그런 다음이 기준을 사용하여 단일 qubit 연산자를 행렬 형식으로 작성할 수 있습니다. 예를 들어 및 을 사용해야 하는 비트 플립 연산자 (pauli- ) 는 로 쓸 수 있습니다. 에서 행렬의 첫 번째 열은 첫 번째 기본 벡터의 이미지입니다.( 1 0 ) | 1 ⟩ ( 0 1 ) X σ X | 0 ⟩ ↦ | 1 ⟩ | 1 ⟩ ↦ | 0 ⟩ ( 0 1 1 0$|0\rangle$$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle$$\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$$X$$\sigma_x$$|0\rangle\mapsto |1\rangle$$|1\rangle \mapsto |0\rangle$$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

-qubits 가 여러 개인 경우 공간에 속해야합니다 . 이 공간의 기본은 0과 1의 문자열로 표시됩니다 (예 : ). 일반적으로 .H ⊗ n : = n − t i m e s ⏞ H ⊗ H ⊗ ⋯ ⊗ H | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ ⊗ ... ⊗ | 0 ⟩ | 011 ... 0 $n$$\mathcal{H}^{\otimes n}:=\overbrace{\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}}^{n-times}$$|0\rangle\otimes|1\rangle\otimes |1\rangle\otimes\ldots \otimes|0\rangle$$|011\ldots0\rangle$

의 기초 인 두 큐빗의 간단한 예 는 또는 속기 입니다. { | 0⟩⊗ | 0⟩, | 0⟩⊗ | 1⟩, | 1⟩⊗ | 0⟩, | 1⟩⊗ | 1⟩}{ | 00⟩, | 01⟩, | 10⟩, | 11⟩$\mathcal{H}^{\otimes 2}=\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$$\{|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle\}$$\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}$

행렬을 사용하기 위해이 기준을 정렬하는 방법에는 여러 가지가 있지만, 자연적인 방법은 문자열을 2 진 숫자처럼 위와 같이 정렬하는 것입니다. 예를 들어 큐 비트의 경우 과 같이 기본을 주문할 수 있습니다.{ | 000 ⟩ , | 001 ⟩ , | 010 ⟩ , | 011 ⟩ , | (100) ⟩ , | (101) ⟩ , | (110) ⟩ , | 111 ⟩ } $3$

$$\{|000\rangle,|001\rangle,|010\rangle,|011\rangle,|100\rangle,|101\rangle,|110\rangle,|111\rangle\}.$$

이것이 유용한 이유 는 연산자의 행렬을 위해 Kronecker 제품 과 일치하기 때문 입니다. 예를 들어, 기본 벡터를 먼저 살펴보십시오.

$$|0\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

과

$$|0\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

그리고 비슷하게

$$|1\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1\\0 \end{pmatrix},\quad |1\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

예를 들어 두 큐 비트에서 작동하는 연산자 가 있고 위와 같이 기본을 주문하면 행렬의 크로네 커 곱을 사용하여 행렬을 찾을 수 있습니다.$X_1X_2:=X\otimes X$

$$X_1X_2=X\otimes X=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 0\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0&0&1\\ 0 &0&1&0\\0 &1&0&0\\1 &0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

위에서 의 예를 보면 . 이것은 와 같이 행렬 형태로 계산 될 수 있습니다. 는 위에서 행렬인지 확인할 수 있습니다 .$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$^*$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$CNOT$

계산 공간이 -qubits에 대해 으로 커지기 때문에 모든 것을 행렬 표현으로 변환하는 대신 속기 및 텐서 제품을 사용하는 것이 좋습니다. 이는 3 큐빗의 경우 행렬, -qubits입니다. 이 행렬과 신속 매트릭스 형태로 변환 실용성보다는된다.$2^n$$n$$8\times 8$$4$$16\times 16$

이외에도 : 같은 벡터를 사용하여 표시 할 디랙 표기법에 몇 가지 일반적인 방법이 있습니다 ; 이중 벡터 예 :, 벡터 과 사이의 내부 곱 ; 와 같은 공간의 연산자 .| 0 ⟩ ⟨ 0 | ⟨ 0 | 1 ⟩ | 0 ⟩ | 1 ⟩ X = | 0 ⟩ ⟨ 1 | + | 1 ⟩ ⟨ 0 $^*$$|0\rangle$$\langle 0|$$\langle 0|1\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$$X=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$

과 같은 연산자 투영 연산자는 및 만족하므로 (직교) 투영 연산자 입니다.P 2 = P P † = $P_0=|0\rangle\langle0|$$P^2=P$$P^\dagger=P$

링크 된 위키 백과 기사가 엉킴을 고전 물리학과 구별되는 특징으로 사용하려고 노력하고 있지만, 나는 우리의 직관이 조금 더 잘 작동하는 고전적인 것들을 보면서 얽힘에 대해 약간의 이해를 시작할 수 있다고 생각합니다 ...

매번 0,1,2 또는 3을 뱉어내는 난수 생성기가 있다고 상상해보십시오. 일반적으로 이러한 확률을 동일하게 만들지 만 원하는 각 결과에 확률을 지정할 수 있습니다. 예를 들어, 확률 1/2로 각각 1과 2를주고 절대 0이나 3을주지 않도록하자. 난수 생성기가 무언가를 선택할 때마다 1이나 2를 주며, 무슨 일이 벌어지는 지 미리 알지 못한다 되려고. 이제이 숫자들을 이진수로, 1은 01, 2는 10으로 씁니다. 그리고 나서 우리는 Alice와 Bob에게 각 비트를 다른 사람에게줍니다. 이제 난수 생성기가 01 ​​또는 10의 값을 선택할 때 Alice는 한 부분을 가지고 Bob은 다른 부분을 갖습니다. 그래서 앨리스는 자신의 비트를 볼 수 있으며, 어떤 가치를 얻든 Bob은 반대의 가치를가집니다. 우리는이 비트들이 완벽하게 반-상관된다고 말합니다.

얽힘은 거의 같은 방식으로 작동합니다. 예를 들어, 양자 상태가 여기서 Alice는 한 큐빗의 보유하고 Bob은 다른 하나를 보유합니다. 앨리스가 단일 큐빗 프로젝션 측정을 선택하면 0 또는 1의 답을 얻게됩니다. Bob이 큐빗에서 동일한 측정을 수행하면 항상 반대 답변을 얻습니다. 여기에는 고전적인 사례를 재현하는 Z- 기준 측정이 포함됩니다.| ψ

$$\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|01\right\rangle-\left|10\right\rangle\right)$$ $\left|\psi\right\rangle$

차이점은 이것이 가능한 모든 측정 기준에 대해 사실이며 사실이기 때문에 측정 결과를 예측할 수 없어야하며 기존의 경우와는 다른 점입니다 (벨 테스트에 대해 읽으려는 경우가 있습니다) 특히 CHSH 테스트 ). 처음에 설명한 고전 난수 예제에서 난수 생성기가 무언가를 선택하면 복사 할 수없는 이유가 없습니다. 다른 사람은 Alice와 Bob의 대답이 무엇인지 알 수있을 것입니다. 그러나 퀀텀 버전에서는 Alice와 Bob이 존재하지 않는 답변이 사전에 있으므로 아무도 알 수 없습니다. 누군가가 그것들을 알고 있다면, 두 대답은 완벽하게 반-상관되지 않을 것입니다. 이것은 양자 키 분배 의 기초입니다 기본적으로 도청의 존재를 감지 할 수 있다고 설명합니다.

얽힘을 이해하는 데 도움이되는 추가 사항 : 수학적으로 중첩과 다르지 않으며, 어느 시점에서 중첩 된 부분을 멀리 떨어진 곳에서 분리한다는 것이 의미가 있습니다. 분리를하면 흥미로운 일을 할 수있는 자원이 제공됩니다. 실제로 얽힘은 '분산 중첩'이라고 부르는 것의 자원입니다.

얽힘은 양자 역학에서 수학적으로 모델링 된 실제 실험에서 입증 된 양자 물리 현상입니다. 우리는 그것이 어떤 철학적 (철학적으로)인지에 대한 몇 가지 창조적 인 추측을 내놓을 수 있지만, 하루가 끝나면 그것을 받아들이고 수학을 신뢰해야합니다.

통계적 관점에서 우리는 두 랜덤 변수 (퀴 비트) 사이의 완전한 상관 (1 또는 -1)으로 생각할 수 있습니다. 우리는 이러한 변수 결과를 미리 알지 못할 수도 있지만, 일단 상관 관계로 인해 변수 중 하나를 측정하면 다른 변수를 미리 볼 수 있습니다. 나는 최근 양자 컴퓨팅 시뮬레이터가 양자 얽힘을 처리하는 방법에 대한 기사 를 썼다 .