"코드 공간", "코드 워드"및 "안정제 코드"의 차이점은 무엇입니까?

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다음 세 단계를 계속 읽습니다 (예 : Nielsen and Chuang, 2010; 456 및 465 페이지). "코드 공간", "코드 단어"및 "안정제 코드"-정의를 찾는 데 어려움을 겪고 있으며 더 중요한 것은 서로 다릅니다.

그러므로 제 질문은 이 세 용어는 어떻게 정의되며 어떻게 관련되어 있습니까?

— 양자 스파게티 화
소스

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코드 공간 및 코드 워드

양자 오류 수정 코드는 종종 코드 공간으로 식별됩니다 (Nielsen & Chuang은 분명히 그렇게합니다). 코드 공간 EG에의 -qubit 양자 오류 정정 부호는 벡터 서브 스페이스 인 . $\mathcal C$ $n$ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$

코드 워드 (오류 수정의 고전 이론에서 차용 한 용어) 상태입니다 일부 코드 공간 :이고, 일부 데이터를 암호화 된 상태이다. $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

양자 오류 정정 코드

실제로, 우리는 다음과 같은 양자 오류 수정 코드를 보유하기 위해 사소한 특성을 요구합니다.

즉 이므로 인코딩되는 정보의 양의 비 - 제로가 있음; $\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
세트가 있다고 오퍼레이터 포함한 적어도 두 개의 연산자 경우 -되도록 상으로 직교하는 프로젝터이며 - 우리가 일부 스칼라 ( Knill-Laflamme 조건이라고 함 ). $\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$ $E_1 = \mathbb 1$ $P$ $\mathcal C$ $P E_{j} E_{k} P = α_{j, k} P$ $P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$ $\alpha_{j,k}$

이것은 당신이 원칙적으로 상태를 보호 할 수있는에 대한 오류 사업자의 일부 집합을 결정 에서 그 Knill-Laflamme 조건 연산자의 집합으로 개최 경우 , 일부 운영자 당신의 국가에 작용, 사실 검출 원칙적으로 가능하다 일부 반대 (발생했습니다 다른 연산자 )와 오차 취소 원래 상태로 저장된 데이터를 방해하지 않고 . $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\mathcal E$ $E \in \mathcal E$ $E$ $\mathcal E$ $\lvert \psi \rangle$

양자 에러 정정 코드는 코드 공간 인 , 함께 오류 연산자의 집합 즉, 정정 코드 양자 에러가 예방하는 것을 의미하는 에러 지정해야 함 - Knill-Laflamme 조건을 만족시킨다. $\mathcal C$ $\mathcal E$

코드 공간으로 양자 오류 수정 코드를 식별하는 것이 일반적인 이유

코드 공간 만으로 Knill-Laflamme 조건을 만족 하는 고유 한 연산자 집합 를 결정할 수 없습니다 . 그러나 코드에 의해 적은 가중치의 연산자 (작은 수의 큐 비트에서만 작동하는 연산자)를 동시에 수정할 수있는 방법 을 고려하는 것이 가장 일반적이며, 이는 코드 공간만으로도 얻을 수 있습니다. 코드 거리 코드 공간의 당신이에 행동 한 "코드 워드"를 변환해야한다는 큐 비트의 가장 작은 수입니다 로 구분 코드 워드 $\mathcal E$ $\mathcal C$ $\mathcal C$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$ . 코드 공간을 코드는이 후 말한다 차원 갖는 , 상기 설정된 해당 우리는 기껏 중량 모든 파울리 사업자들의 세트 고려해야한다는 . $[\![n,k,d]\!]$ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$ $2^k$ $\mathcal E$ $\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

경우에 따라 코드를 코드로 충분합니다. 예를 들어 5qubit 코드는 $[\![n,k,d]\!]$ $[\![5,1,3]\!]$ $[\![7,1,3]\!]$ $X$ $Z$

안정기 코드

$\mathscr S$ $\mathcal C$ $\mathcal G$ $P \in \mathscr S$

사람들이 실제로 고려하는 거의 모든 양자 오류 정정 코드는 안정기 코드입니다. 이것이 두 용어를 구별하는 데 문제가있는 이유 중 하나입니다. 그러나 원칙적으로 일반적인 오류 수정 코드가 선형 코드 일 필요가없는 것처럼 양자 오류 수정 코드가 안정기 코드 일 필요는 없습니다. 스태빌라이저 코드는 선형 에러 정정 코드가 고전적인 에러 정정 코드를 설명하는 매우 성공적인 방법 인 것처럼 양자 에러 정정 코드를 설명하는 매우 성공적인 방법이되었습니다. 실제로, 스태빌라이저 코드는 고전적인 선형 코드 이론을 양자 오류 정정에 자연스럽게 일반화 한 것으로 간주 될 수 있습니다 .

$\mathcal E$ $\sigma$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$

$E$ $P \in \mathscr S$ $P \in S$ $\sigma(E,S)$
$E, E'$ $\sigma(E,S)$ $\sigma(E',S)$ $E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

E = {E | \exists S \subseteq S : σ (E, S)}

$\mathcal E = \bigl\{ E \mathbin{\big\vert} \exists S \subseteq \mathscr S: \sigma(E,S) \bigr\}$

S \subseteq S

$S \subseteq \mathscr S$

σ

$\sigma$

$P \in \mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $E \lvert \psi \rangle$ $-1$ $P \in S$ $+1$ $\mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$

— 닐 드 보드 랩
소스

C

$\mathcal{C}$

| 0 ⟩

$\lvert 0 \rangle$

| 1 ⟩

$\lvert 1 \rangle$

C

$\mathcal{C}$

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용어는 약간 다를 수 있습니다. 예를 들어 Gottesman의 논문을 읽고 코드 공간에서 유효한 상태 인 코드 워드에 대해 이야기하고 '기본 코드 워드'를 논리 0과 1로 구분합니다.

— DaftWullie

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C

$\mathcal C$

μ

$\mu$

μ

$\mu$

E

$\mathcal E$

5

$|\psi_0\rangle$ $|\psi_1\rangle$

$\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$ $\alpha$ $\beta$

$S$ $S^2=\mathbb{I}$ $|\psi\rangle$ $S|\psi\rangle=|\psi\rangle$ $Z_m$ $X_m$ $m=1,\ldots k$ $S$ $\{Z_m,X_m\}=0$ $Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$

— 다 프트 울리
소스

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$k$ $n$

$|0\rangle$

코드 공간은 가능한 모든 코드 단어에 걸쳐있는 힐버트 공간입니다. 스태빌라이저 코드의 경우이 용어는 스태빌라이저 공간과 동의어입니다. 이 코드 공간 내의 모든 상태는 코드 워드입니다.

$+1$ $n-k$

— 제임스 우튼
소스