최초의 해밀턴 인이 단열 양자 계산에서 최종 해밀턴 인과 통근하지 않는 것이 왜 중요한가?

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I는 많은 소스와 책 읽은 단열 양자 계산 는 것이 매우 중요하다 (AQC) 초기 해밀턴 로 출퇴근하지 최종 해밀턴 , 즉, . 그러나 나는 그것이 왜 그렇게 중요한지에 대한 논쟁을 본 적이 없다. $\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$ $\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

우리는 선형 시간 의존성을 가정하면 AQC의 해밀 토니안은

\hat{H} (t) = (1 - \frac{t}{τ}) {\hat{H}}_{i} + \frac{t}{τ} {\hat{H}}_{f}, (0 \leq t \leq τ)

$\hat{H}\left(t\right)~=~\left(1-\frac{t}{\tau}\right)\hat{H}_i+\frac{t}{\tau}\hat{H}_f, \qquad \left(0\leq t\leq \tau \right)$ 여기서단열 시간 스케일이다.

τ

$\tau$

그래서 제 질문 은 : 초기 해밀턴 인이 최종 해밀턴 인과 통근하지 않는 것이 왜 중요한가?

annealing adiabatic-model

— 터보 탄텐
소스

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단열 QC에서는 해밀턴에서 문제를 인코딩하여 결과를지면 상태에서 추출 할 수 있습니다. 지상 상태를 준비하는 것은 직접적으로하기가 어렵 기 때문에 대신 '쉬운'해밀턴의 지상 상태를 준비한 다음 천천히 둘 사이를 보간합니다. 충분히 느리게 이동하면 시스템 상태는 지상 상태를 유지합니다. 프로세스가 끝나면 솔루션이 제공됩니다.

이것은 단열 이론 에 따라 작동합니다 . 정리가 유지 되려면 지상 상태와 첫 번째 여기 상태 사이에 에너지 갭이 있어야합니다. 간격이 작을수록지면 상태와 첫 번째 여기 상태 간의 혼합을 방지하기 위해 보간 속도가 느려집니다. 갭이 닫히면 이러한 혼합을 막을 수 없으며 충분히 느려질 수 없습니다. 이 시점에서 절차가 실패합니다.

최초 및 최종 해밀턴 식 출퇴근의 경우 동일한 에너지 고유 상태를 갖습니다. 그래서 그들은 어떤 국가가 에너지를 할당 받았는지에 동의하고 그들이 얻는 에너지에만 동의하지 않습니다. 두 해밀턴 사람들 사이의 보간은 단지 에너지를 변화시킵니다. 따라서 최종 접지 상태는 처음에 여기 상태 였을 것이고, 원래의 접지 상태는 끝 부분에서 여기됩니다. 어느 시점에서, 서로를 지나갈 때, 이들 상태의 에너지는 같을 것이고, 따라서 그들 사이의 갭이 닫힙니다. 이것은 에너지 갭이 어느 시점에서 닫아야한다는 것을 알기에 충분합니다.

따라서 통근이 아닌 해밀턴 사람들이있는 것은 빈 공간을 유지하기위한 필수 조건이므로 AQC에 필요한 조건입니다.

— 제임스 우튼
소스

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이것은 매우 설득력 있고 명확하게 들립니다. 단열 진화 과정에서 피할 수없는 교차점이없는 이유를 명시 적으로 설명해 주시겠습니까 (지상 상태의 본질은 변할 수 있지만 퇴행성은 없습니다)?

— agaitaarino

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두 행렬 (이 경우 Hamiltonians)이 출퇴근하면 동일한 고유 벡터를 갖습니다. 따라서, 첫 번째 해밀턴 인의 기초 상태를 준비한다면, 그것은 (대략 말하면) 전체 단열 진화 과정에서 고유 상태로 남게됩니다.

좀 더 엄격 해지기를 원한다면 초기 Hamiltonian이 두 번째 Hamiltonian에 의해 퇴화되어 시스템이 독특한 지상 상태로 진화하기를 바랄 수 있습니다. 그러나 두 번째 해밀턴 인이 0이 아닌 순간에 퇴보가 해제된다는 점에 유의하십시오. 그것이 어떤 영향을 미칠 수 있는지는 순간적인 것입니다. 나는 당신이 적절한 단열 진화를 얻지 못한다고 생각합니다. 대신, 초기 상태를 새로운 고유 상태의 중첩으로 작성해야하며 시간이 지남에 따라 진화하기 시작하지만 목표 상태 (접지 상태)와 상태의 중첩을 증가시키지 않습니다.

— 다 프트 울리
소스

첫 번째 진술이 사실인지 궁금합니다. 예를 들어 Identity 매트릭스를 사용하면 모든 Hamiltonian을 통근합니다. 그러나 항등 행렬이 임의의 Hamiltonian과 동일한 고유 벡터를 가질 이유는 없습니다.

— Turbotanten

해밀턴의 기초를 포함하여 어떤 근거 로든 정체성을 많이 분해 할 수 있습니다 . 그러나 요점은 그것이 매우 퇴화한다는 것입니다. 그래서 당신은 나의 두 번째 단락에 대해 이야기하고 있습니다.

— DaftWullie

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문제를 해결하기 위해 초기 Hamiltonian이있는 최적화 옵티 마이저와 관련하여 Hamiltonian은 본질적으로 연산자의 곱 임을 의미합니다. 즉, 고유 상태는 고전적인 비트 스트링입니다. 따라서 시작시의 그라운드 스테이트 ( = 0)도 모든 가능한 비트 열의 중첩이 아니라 클래식이됩니다. $\sigma^Z$ $t$

더욱이, 구동 해밀턴이 통근하는 경우 AQC (예 : 개방 시스템 양자 어닐링, QAOA 등)의 엄격한 경계를 넘어서도 해밀턴 문제의 고유 상태 사이의 천이를 유도 할 수는 없지만 파동 함수의 진폭 위상 만 변경 ; 검색 공간을 탐색하기 위해 스핀 플랩을 유도 할 수있는 드라이버가 필요합니다.

— 데이비드 벤투 렐리
소스

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와 가 모두 대각선이기 때문에 출퇴근 하는 간단한 예부터 시작하겠습니다 . $H_i$ $H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H_i$ $|1\rangle$ $H_f$ $|0\rangle$

$\epsilon$
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

이것은 Eq. 2 Tanburn 등. (2015) .

$\epsilon = 0.1$
$||H_i - H_f||^2 = 0.1$
$\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$ $\epsilon$
$\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

따라서 때 $t=\frac{20}{29}\tau$ $E_{\rm{gap}}=0$ $\tau$ $\infty$

따라서 단열 정리가 여전히 적용되지만, Hamiltonian이 "천천히 느리게"변경해야한다고 말하면, "무한하게 느리게"변경해야한다는 것이 밝혀 지므로 AQC를 사용하여 답을 얻지 못할 것입니다.

— 사용자 1271772
소스

τ ≫ \frac{max_{0 \leq s \leq 1} | ⟨ ψ_{1} (s) | \frac{d \hat{H} (s)}{d s} | ψ_{0} (s) ⟩ |}{min_{0 \leq s \leq 1} Δ^{2} (s)}; s \equiv \frac{t}{τ}

$\tau \gg \frac{\underset{0\leq s \leq 1}{\text{max}} \left|\langle\psi_1(s)| \dfrac{d \hat{\mathscr{H}}(s)} {d s}|\psi_0(s)\rangle\right|} {\underset{0\leq s \leq 1}{\text{min}}\Delta^2(s)}; \qquad s\equiv\frac{t}{\tau}$

Δ^{2} (s) = (E_{1} (s) - E_{0} (s))^{2}

$\Delta^2(s) = (E_1(s)-E_0(s))^2$

@ Turbotanten : 현상금에 감사드립니다. 내 증거는 우리가 1 / gap ^ 2를 사용하든 1 / gap ^ 3을 사용하든 작동합니다. 두 경우 모두 gap = 0은 런타임 = 무한대를 의미합니다. 당신의 표현에서, 우리는 외부에 "max_s"를 가질 수 있으며, 분모에 "min_s"가 필요하지 않습니다. 또한 내가 연결 한 Tanburn 용지 2를 참조하면 gap ^ 3 공식을 제공하는데, 이것은 gap ^ 2 공식보다 약간 더 밀접한 경계입니다. 갭 ^ 2를 사용하는 것이 여전히 인기가 있습니다. 주로 일부 사람들이 갭 ^ 3에 대한 최근 문헌을 보지 못했기 때문입니다.

— user1271772