주어진 단일에 해당하는 가장 짧은 범용 양자 게이트 시퀀스

질문 : 단일 행렬이 작용하는 경우 $n$ 큐빗, 그 단위에 해당하는 Clifford + T 게이트의 가장 짧은 시퀀스를 찾을 수 있습니까?

질문에 대한 배경은 두 가지 중요한 참고 자료입니다.

1. Kliuchnikov, Maslov 및 Mosca 가 Clifford 및 T 게이트 로 생성 한 단일 큐 비트 단위의 빠르고 효율적인 정확한 합성
2. Giles와 Selinger 의 멀티 큐빗 Clifford + T 회로의 정확한 합성 .

최적의 분해를 얻는 것은 분명히 열린 문제입니다. (물론 분해는 다루기 어렵습니다.$\exp(n)$ 큰 문 $n$.) 먼저 "단순한"질문은 어떤 각도에서든 가장 짧은 일련의 노트와 단일 큐 비트 회전입니다 (IBM, Rigetti 및 Google이 현재 제공하는 것,이 보편적 인 게이트 기준은 Cliffords와 t-gates의 기초). 이 "간단한"질문도 공개되어 있으며 고유하지 않은 답변이 있습니다. 관련된 질문은 보편적 인 기초에서 지상 상태에서 주어진 최종 상태로 가기 위해 게이트를 정확히 최적으로 분해하는 것입니다.

나는 당신이 정확한 분해를 언급한다고 가정합니다. 근사 분해를 원한다면 Trotter-Suzuki 분해 또는 정확한 분해 근사와 같은 다양한 방법이 있습니다.

Qubiter의 "quantum csd compiler"는 LAPACK의 유명한 csd (Cosine-Sine Decomposition) 서브 루틴을 사용하여 n qubit 단위를 cnots와 single qubit rot로 최적화하지 않은 분해를 수행합니다. 일부 진취적인 사람은 Qubiter의 양자 컴파일러에 대한 최적화를 찾으려고 시도 할 수 있습니다. 예를 들어 Qubiter의 컴파일러를 사용하여 (이 논문을 작성했습니다) 클래식 컴퓨터가 Coppersmith의 양자 푸리에 변환 분해를 다시 발견하도록 할 수 있습니다!

Qubiter 는 오픈 소스이며 github에서 사용할 수 있습니다 (전체 공개-필자가 작성했습니다).

제공된 단일 (항목에 대한 이론적 제한의 수)에 대한 정확한 합성이 가능하고 질문에 설명 된 알고리즘이 해당 단일을 구현하는 Clifford + T 게이트 시퀀스를 제공했다고 가정하십시오. Giles-Selinger 논문에 명시된 바와 같이 최적의 순서와는 거리가 멀다. 이제이 시점에서 Clifford + T 게이트 세트로 생성 된 그룹의 단어 문제로 줄었습니다. 일부 그룹에는 주어진 단어를 줄이면서 그룹의 동일한 요소를 해당 클래스 내에서 가장 짧은 일반 형식으로 나타내는 알고리즘이 있습니다. 다른 사람들은 그렇지 않습니다.

원리를 설명하는 자세한 내용은 다음과 같습니다. $2$큐빗. 표시$S_1$ 큐 비트에서 위상 게이트를 수행하는 발전기 등 $1$, $CNOT_{12}$ ...에 대한 $1$이것들은 각각 문자로 취급됩니다. 알고리즘은 이러한 생성기에서 일부 단어를 추출합니다. 그룹은 이러한 생성기와 여러 관계가있는 그룹입니다.$S_i^4=1$ 과 $X_i Y_j = Y_j X_i$ 언제 $i \neq j$다른 많은 관계 중에서도 따라서 이것은 유한하게 생성 된 그룹을 정의합니다. 제공된 알고리즘의 단어가 있지만 최적화되지 않았기 때문에이 그룹의 단어 문제에서 가능한 가장 짧은 정규 형식을 제공하는 것이 과제입니다. 단어가 주어진다면$S_1 S_1 S_2 S_1 S_1$ 하나는 관계를 사용할 수 있습니다 $S_1 S_2 = S_2 S_1$ 두 번 $S_1^4=1$ 한 번 관계 $S_2$같은 그룹 요소를 나타내는 짧은 단어로. 주어진 그룹 프레젠테이션의 경우 임의의 단어를 사용하여 줄이는 알고리즘을 원합니다. 일반적으로 불가능합니다.

아래의 면책 조항 : Jon Aytac과의 다음 프로젝트 / Haskell 구현 공동.

Clifford + T 게이트 세트에 대한 단어 문제의 해결 가능성에 대해서는 잘 모르지만, 진화만으로 더 간단한 것을 할 수 있습니다 $r_i$) 그 세트와 형식의 관계에서만 $(r_i r_j)^{m_{ij}}=1$. 이것이 Clifford + T 게이트 세트와 관련된 Coxeter 그룹이지만 효율적으로 해결할 수있는 단어 문제입니다. 따라서 Giles-Selinger 알고리즘의 결과를 가져 와서 매우 단순한 관계 만 사용하여 잠재적으로 단축 할 수 있습니다 (진행 문자 만있는 세그먼트를 본 후). 실제로 주어진 단일 단위를 취하여이를 Clifford + T로 근사화하거나 정확하게 합성하는 알고리즘을이 절차에 적용하여 잠재적으로 약간 단축시킬 수 있습니다.